Valós analízis

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Az első 4 részletösszege a négyszögjel Fourier sorának. A Fourier analízis a valós analízis fontos eszköze.

A valós analízis a matematika azon ága, amely a valós függvények analízisével foglalkozik. Ezen függvények analitikus tulajdonságait vizsgálja, mint például a konvergencia, határérték, folytonosság és egyéb tulajdonságok.

Területei[szerkesztés]

A valós számok konstrukciója[szerkesztés]

A valós számokat többféleképpen is definiálhatjuk, mint rendezett test. A "mesterséges" módszer az axiómák megadása. Ugyanakkor bizonyos konstrukciók a racionális számok tulajdonságain alapulnak.

Sorozatok[szerkesztés]

A sorozatokat úgy definiálhatjuk, mint függvényeket, amelyek alaphalmaza egy megszámlálható és teljesen rendezett halmaz, például a természetes számok halmaza. A valós analízisben a sorozat olyan függvény, amely alaphalmaza a természetes számok egy részhalmaza a képhalmaza pedig a valós számok.[1]

Határérték[szerkesztés]

Egy függvény vagy sorozat határértéke egy olyan érték, amelyet a függvény vagy sorozat "tetszőlegesen megközelít", ahogy a függvény argumentuma megfelelő mértékben megközelít egy megadott értéket.[2]

Folytonosság[szerkesztés]

Egy valós függvény folytonos intuitív módon fogalmazva, ha a függvény egy Descartes koordináta rendszerben ábrázolva egyetlen összefüggő vonallal ábrázolható.

Egy f függvény akkor folytonos az értelmezési tartományának elemét képező a pontban, ha

Uniform folytonosság[szerkesztés]

Ha X és Y a valós számok részhalmazai, akkor az f : X → Y függvény akkor uniform folytonos, ha bármely ε > 0-ra létezik δ > 0 úgy, hogy bármely xy ∈ X, |x − y| < δ teljesül, hogy |f(x) − f(y)| < ε.

A folytonosság és az uniform folytonosság között az a különbség, hogy az uniform folytonosság esetében a δ értéke csak ε-tól függ, magától az a ponttól nem.

Abszolút folytonosság[szerkesztés]

Legyen egy intervalluma a valós számoknak. Az függvény akkor abszolút folytonos az halmazon ha bármely pozitív -hoz, létezik egy pozitív úgy, hogy bármely véges sorozatára a páronként diszjunkt részintervallumoknak amelyekre teljesül, hogy:[3]

-ra

igaz

.

Az alábbi állítások a valós f függvényre vonatkozóan az [a,b] kompakt intervallumon ekvivalensek:[4]

(1) f abszolút folytonos;
(2) f-nek létezik egy f ′ deriváltja majdnem mindenhol, és a derivált Lebesgue integrálható és
bármely x-re az [a,b] intervallumon;
(3) létezik egy Lebesgue integrálható függvény g az [a, b] intervallumon úgy, hogy
bármely x-re az [a,b] intervallumon.

Ha a fentiek teljesülnek akkor g = f ′ majdnem mindenhol. Az (1) és a (3) ekvivalenciáját a Lebesgue integrálás alaptételének nevezik.[5]

Differenciálás[szerkesztés]

Egy f függvény deriváltja az a pontban a következő határértékkel definiált:

Ha a derivált mindenhol létezik akkor a függvény differenciálható. A magasabb deriváltak a deriváltak deriváltjaiként értelmezhetőek.

A függvényeket csoportosíthatjuk a differenciálhatóságuk alapján. Legyen C0 az összes folytonos függvénynek az osztálya, C1 pedig az összes olyan differenciálható függvénynek a osztálya, amelyek deriváltjai folytonosak. Vagyis C1-beli függvények pontosan azok a függvények amelyek amelyek differenciálhatóak és a deriváltjuk eleme C0-nak. Általánosítva, legyen Ck rekurzió segítségével definiálva a következőképpen: Ck valamely pozitív egész k-ra, azon differenciálható függvények osztálya amelyek deriváltja eleme Ck-1-nek. Minden Ck részhalmaza Ck−1-nek. C jelöli az összes Ck osztály metszetét. Cω részhalmaza C-nek.

Integrálás[szerkesztés]

Riemann integrálás[szerkesztés]

A Riemann integrált a Riemann összegek segítségével definiáljuk. Legyen [a; b] egy zárt intervalluma a valós számoknak, ekkor ezen intervallum megcímkézett particionálása egy véges sorozat,

Ez a partíció ossza n részintervallumra, [xi−1, xi]-ra az eredeti [a; b] intervallumot. Egy f függvény Riemann összege egy adott címkézett partíción:

Vagyis azon téglalapok területeinek az összege, amelyek alapjai a particionálás által létrehozott részintervallumok és magasságuk a függvény részintervallumokhoz tartozó kijelölt pontokban vett értékei: . Δi pedig az i-edik részintervallum hossza:Δi = xixi−1. Egy f függvény Riemann integrájla az [a;b] intervallumon S, ha

Bármely ε > 0-hoz létezik egy δ > 0 úgy, hogy [a; b] bármely címkézett partíciója amelynek finomsága (vagyis a legnagyobb részintervallum mérete) δ vagy annál kisebb, akkor:

Ha a partíció címkéi a függvény adott intervallumon való maximum [vagy minimum] értékének helyei, akkor az ehhez a partícióhoz tartozó Riemann összeg, felső [illetve alsó] Darboux összeg, amely rámutat a Riemann integrál és a Darboux integrál szoros kapcsolatára.

Lebesgue integrálás[szerkesztés]

A Lebesgue integrálás a Riemann integrálás kiterjesztése nem Riemann-integrálható függvényekre, illetve kiterjeszti azt a halmazt is amelyeken az integrálható függvények definiálhatóak.

Fontos tételek[szerkesztés]

Az analízis fontos tételei például a Bolzano-Weierstrass és a Heine-Borel tétel; a Bolzano-tétel a középértéktételek, és az analízis alaptétele (Newton-Leibniz-tétel).

A valós analízis számos fogalma általánosítható a valós térről általánosabb metrikus terekre vagy éppen mérték-terekre, Banach terekre, és Hilbert terekre.

Fordítás[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Real analysis című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Források[szerkesztés]

  1. Gaughan, Edward. 1.1 Sequences and Convergence, Introduction to Analysis. AMS (2009) 
  2. Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals, 6th, Brooks/Cole (2008). ISBN 0-495-01166-5 
  3. Royden 1988, Sect. 5.4, page 108; Nielsen 1997, Definition 15.6 on page 251; Athreya & Lahiri 2006, Definitions 4.4.1, 4.4.2 on pages 128,129. The interval I is assumed to be bounded and closed in the former two books but not the latter book.
  4. Nielsen 1997, Theorem 20.8 on page 354; also Royden 1988, Sect. 5.4, page 110 and Athreya & Lahiri 2006, Theorems 4.4.1, 4.4.2 on pages 129,130.
  5. Athreya & Lahiri 2006, before Theorem 4.4.1 on page 129.