Valós analízis

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
Az első 4 részletösszege a négyszögjel Fourier sorának. A Fourier analízis a valós analízis fontos eszköze.

A valós analízis a matematika azon ága, amely a valós függvények analízisével foglalkozik. Ezen függvények analitikus tulajdonságait vizsgálja, mint például a konvergencia, határérték, folytonosság és egyéb tulajdonságok.

Területei[szerkesztés]

A valós számok konstrukciója[szerkesztés]

A valós számokat többféleképpen is definiálhatjuk, mint rendezett testet. A "mesterséges" módszer az axiómák megadása. Ugyanakkor bizonyos konstrukciók a racionális számok tulajdonságain alapulnak.

Sorozatok[szerkesztés]

Az függvény az pontnál balról a negatív végtelenbe, jobbról pedig a pozitív végtelenbe tart.

A sorozatokat úgy definiálhatjuk, mint függvényeket, amelyek alaphalmaza egy megszámlálható és teljesen rendezett halmaz, például a természetes számok halmaza. A valós analízisben a sorozat olyan függvény, amely alaphalmaza a természetes számok egy részhalmaza, a képhalmaza pedig a valós számok.[1]

Határérték[szerkesztés]

Az sorozatból képzett végtelen sor összege 1, amennyiben 1-től kezdjük az indexelést.

Egy függvény vagy sorozat határértéke egy olyan érték, amelyet a függvény vagy sorozat "tetszőlegesen megközelít", ahogy a függvény argumentuma megfelelő mértékben megközelít egy megadott értéket.[2] Ha az végtelen sorozat konvergens és -hoz tart, a következő jelölést alkalmazzuk: . [3]
A függvények határértéke egy adott pontban is értelmezhető, melynek jelölése az függvény pontjában , ahol a függvény -ban vett határértéke. Beszélhetünk egyoldali határértékről is: egy függvény egy adott pontjában jobb oldali határértékkel rendelkezik, ha az adott ponthoz jobbról () közelítve . Hasonló módon értelmezhető a bal oldali határérték is. [4]

Végtelen sorok és hatványsorok[szerkesztés]

A függvény nem rendelkezik egyoldali határértékekkel.

Az végtelen valós sorozat részletösszegeiből képzett sorozat a végtelen sor. [5] Egy végtelen sor konvergens, és az összege az valós szám, ha az -edik részletösszegből képzett valós sorozat konvergens és határértéke . [6] A végtelen sorok konvergenciájának vizsgálatához használt eszközök például a d'Alembert-féle hányadoskritérium [7] és a gyökkritérium [8] . Geometriai sorok esetén pedig , ha . [9] Felmerül tehát a kérdés, hogy egy adott függvény felírható-e végtelen sorként.
Amennyiben egy függvény megadható az alakban, ahol a hatványsor középpontja, az hatványsorba fejthető. [10] A hatványsorok középpontja körüli konvergenciasugár meghatározásához a Cauchy–Hadamard-tétel használható. [11] Egy arra alkalmas függvény hatványsorba fejtésének egy módja annak Taylor-sorrá alakítása. [12]

Folytonosság[szerkesztés]

Intuitív módon fogalmazva egy valós függvény folytonos, ha a függvény egy Descartes-féle koordináta-rendszerben ábrázolva egyetlen összefüggő vonallal ábrázolható. Pontosabban: egy függvény folytonos az értelmezési tartományának elemét képező pontban, ha . Ha az értelmezési tartományának egy pontjában ez a feltétel nem valósul meg, azt mondjuk, hogy ott a függvénynek szakadása van. Egy függvény csak akkor folytonos, ha az értelmezési tartományának minden pontjában folytonos. [13]
A valós analízis egyik legfontosabb tétele a Bolzano-tétel, amely kimondja, hogy egy intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felvevő, folytonos függvénynek van zérushelye. [14] Egy másik igen fontos tétel a Weierstrass-tétel, amely szerint ha az függvény folytonos az intervallumon, akkor az ezen az intervallumon felveszi a minimumát és maximumát. [15]

Differenciálás[szerkesztés]

A derivált a függvénygörbe érintőjének meredeksége, azaz az érintő a vízszintes tengellyel bezárt szögének tangense.

Egy függvény deriváltja az pontban a következő határérték:

Ha a derivált mindenhol létezik, akkor a függvény differenciálható. A magasabb deriváltak a deriváltak deriváltjaiként értelmezhetőek. [16] Mivel az derivált az függvényhez az pontban húzott érintő meredeksége, segítségével meghatározható a függvény egy adott pontjában vett érintőjének egyenlete. [17] Az első derivált továbbá például a függvény lokális szélsőértékeinek és értékkészletének meghatározásához is használható. A második derivált segítségével pedig a függvény konvex és konkáv részei és inflexiós pontjai is meghatározhatóak. A derivált a L'Hôpital-szabály felhasználásával bizonyos esetekben a határértékszámításkor is alkalmazható. [18]
A függvényeket csoportosíthatjuk a differenciálhatóságuk alapján. Legyen az összes folytonos függvény osztálya, pedig az összes olyan differenciálható függvény osztálya, amelyek deriváltjai folytonosak. Vagyis a -beli függvények pontosan azok a függvények, amelyek differenciálhatóak, és a deriváltjuk eleme -nak. Általánosítva, legyen rekurzió segítségével definiálva a következőképpen: valamely pozitív egész -ra azon differenciálható függvények osztálya, amelyeknek deriváltja eleme -nek. Minden részhalmaza -nek. jelöli az összes osztály metszetét. részhalmaza -nek.

A deriválás és a teljes függvényvizsgálat[szerkesztés]

Egy függvény első deriváltjának segítségével meghatározhatjuk a függvény monotonitását és szélsőértékeit. Ha az folytonos és differenciálható az zárt intervallumon, és minden belső pontjában , akkor az az intervallumon szigorúan monoton nő. Ugyanígy, ha folytonos és differenciálható az zárt intervallumon, és minden belső pontjában , akkor az az intervallumon szigorúan monoton csökken. Azokban a pontokban, ahol az imént meghatározott függvényeknél , előfordulhat, hogy lokális szélsőértéket találunk. Azokban a pontokban, ahol az szigorúan monoton növőből szigorúan monoton csökkenővé válik, lokális maximumról, azokban pedig, ahol szigorúan monoton csökkenőből szigorúan monoton növővé válik, lokális minimumról beszélhetünk. [19] A másodrendű feltétel alapján ha az legalább kétszer differenciálható függvényre teljesül, hogy egy pontjában és , akkor a függvénynek az adott pontban lokális minimuma van. A lokális maximum hasonlóan értelmezhező, de akkor . [20]
A második derivált segítségével meghatározható, hogy a függvény mely intervallumokban konvex és konkáv, továbbá hogy hol találhatóak az inflexiós pontjai. Ha az folytonos és kétszer differenciálható egy intervallumon belül, továbbá az intervallum minden belső pontjában , akkor az konvex az adott az intervallumon. Amennyiben ugyanezen alapfeltételek mellett az teljesül, az konkáv az adott intervallumon. Azokban a pontokban, ahol és a függvény konvexből konkávba vagy konkávból konvexbe fordul, a függvénynek inflexiós pontja van. [21]

Integrálás[szerkesztés]

Példa határozott integrálra
Egy függvény határozott integrálja úgy értelmezhető, mint a függvény grafikonja és a vízszintes tengely által bezárt előjeles területösszeg.

Riemann-integrálás[szerkesztés]

A Riemann-integrált a Riemann-összegek segítségével definiáljuk. Legyen a valós számok egy zárt intervalluma. Ekkor ezen intervallum megcímkézett particionálása egy véges sorozat,

Ez a partíció osztja részintervallumra, -ra az eredeti intervallumot. Egy függvény Riemann-összege egy adott címkézett partíción:

Vagyis azon téglalapok területeinek összege, amelyek alapjai a particionálás által létrehozott részintervallumok és magasságuk a függvény részintervallumokhoz tartozó kijelölt pontokban vett értékei: . pedig az -edik részintervallum hossza: . Egy függvény Riemann-integrájla az intervallumon , ha bármely -hoz létezik egy , úgy, hogy bármely címkézett partíciója, amelynek finomsága (vagyis a legnagyobb részintervallum mérete) vagy annál kisebb, akkor:

Ha a partíció címkéi a függvény adott intervallumon való maximum (vagy minimum) értékének helyei, akkor az ehhez a partícióhoz tartozó Riemann-összeg a felső (és alsó) Darboux-összeg, amely rámutat a Riemann-integrál és a Darboux-integrál szoros kapcsolatára. [22] [23]

Lebesgue-integrálás[szerkesztés]

A Lebesgue-integrálás a Riemann-integrálás kiterjesztése a nem Riemann-integrálható függvényekre, illetve kiterjeszti azt a halmazt is, amelyeken az integrálható függvények definiálhatóak.

Határozatlan integrálás[szerkesztés]

Az analízis alaptétele (animáció).

A határozatlan integrálás a deriválás fordított művele. Általános jelöléseket használva az függvény az egy adott intervallumon értelmezett függvény határozatlan integrálja (más néven primitív függvénye), ha az teljes értelmezési tartományában. Mivel egy hozzáadott konstans deriváltja mindig nulla, a határozatlan integrálokhoz mindig hozzá kell adnunk egy valós számot. [24] A határozatlan integrál jelölése:

A Newton-Leibniz-formula[szerkesztés]

Az analízis alaptétele alapján a folytonos függvény határozott integrálja kiszámíható a függvény primitív függvényének ismeretében

[25]

Fontos tételek[szerkesztés]

Az analízis fontos tételei például a Bolzano-Weierstrass és a Heine-Borel tétel; a Bolzano-tétel a középértéktételek, és az analízis alaptétele (Newton-Leibniz-tétel).

A valós analízis számos fogalma általánosítható a valós térről általánosabb metrikus terekre vagy éppen mérték-terekre, Banach terekre, és Hilbert terekre.

Fordítás[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Real analysis című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Források[szerkesztés]

  1. Gaughan, Edward. 1.1 Sequences and Convergence, Introduction to Analysis. AMS (2009) 
  2. Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals, 6th, Brooks/Cole (2008). ISBN 0-495-01166-5 
  3. Stover, Christopher: Határérték (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  4. Dawkins, Paul: The Definition Of The Limit. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
  5. Infinite series. Encyclopaedia Britannica. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
  6. Weisstein, Eric W: Sorok (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  7. Kudryavtsev, L. D.: D'Alembert criterion (convergence of series). Encyclopedia of Mathematics. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
  8. Weisstein, Eric W: Gyökkritérium (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  9. Ivanova, O. A.: Geometric progression. Encyclopedia of Mathematics. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
  10. Bornemann, Folkmar; Weisstein, Eric W: Hatványsorok (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  11. Grinshpan, Anatolii: Cauchy-Hadamard formula. [2019. január 31-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
  12. Kudryavtsev, L. D.: Taylor series. Encyclopedia of Mathematics. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
  13. Weisstein, Eric W: Folytonos függvény (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  14. Weisstein, Eric W: Bolzano-tétel (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  15. Solomentsev, E. D.: Weierstrass theorem. Encyclopedia of Mathematics. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
  16. Weisstein, Eric W: Derivált (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  17. Dawkins, Paul: Interpretation Of The Derivative. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
  18. Kouba, D. A.: The Plausibility of L'Hopital's Rule, The 0/0 Case. [2019. január 31-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
  19. Dawkins, Paul: Minimum And Maximum Values. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
  20. Tallos, Péter: Másodrendű feltételek. Matematika előadások pp. 44-45. [2019. január 31-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
  21. Dawkins, Paul: The Shape of a Graph, Part II. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
  22. Weisstein, Eric W: Riemann-integrál (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  23. Karátson, János: II. Határozott integrál (Riemann-integrál).. Az előadás anyagának törzsrésze pp. 3-4. [2019. január 31-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
  24. Stover, Christopher; Weisstein, Eric W: Integrál (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  25. Kudryavtsev, L. D.: Newton-Leibniz formula. Encyclopedia of Mathematics. (Hozzáférés: 2019. január 31.)