Riemann-integrálás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az integrálszámítás tágabb értelemben a matematika analízis nevű ágának a része, újabb és szűkebb értelemben azonban csak a primitív függvények meghatározásának módszertanát és technikáit értjük alatta. Eredeti tárgykörét a 20. században jelentős eredményekkel gazdagított mérték- és integrálelmélet fogadta magába.

A matematikában az integrál fogalma alatt általában a valós függvénytan kalkulusán belül oktatott, Riemann-féle integrál fogalmát értjük, és az integrálszámítás szűkebb értelemben vett célja valós függvények primitív függvényeinek meghatározása, és ezek alkalmazása különféle (például geometriai és statikai) problémák megoldásában.

Alapintegrálok[szerkesztés]

Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket.

Általános integrálási szabályok[szerkesztés]

Tagonkénti integrálás[szerkesztés]

A tagonkénti integrálás az integrálandó lineáris kifejezések széttagolhatóságát jelenti, a következő műveleti tulajdonságok folytán:

Additivitás

Összegfüggvény (különbségfüggvény) primitív függvénye a tagok primitív függvényeinek összege (különbsége).

Homogenitás

Függvény konstansszorosának primitív függvénye a függvény primitív függvényének konstansszorosa.

Tagonként integrálható függvények például a polinomfüggvények.

Parciális integrálás[szerkesztés]

A vizsgált intervallumon folytonosan differenciálható f és g függvények esetén

Parciálisan integrálhatók például a sinn x, cosn x, exsinn x és excosn x függvények, továbbá P(x) valós polinomfüggvény esetén parciálisan integrálható:

  •   választással;
  •   választással;
  •   választással;
  •   választással;
  •   választással;
  •   választással.

Helyettesítéses integrálás[szerkesztés]

A vizsgált intervallumon folytonos f és folytonosan differenciálható g függvény esetén, ha F = ∫ f(x) dx, akkor

Megjegyzés. A helyettesítést az f( g(x) ) g'(x) alakú integrandus esetén konkrétan is elvégezhetjük, ha bevezetjük a t = g(x) új integrálási változót. Ennek differenciálja pont dt = g'(x) dx, így ekkor az integrál ∫ f(t) dt alakot ölt:

Nevezetes alesetek:

 (a lineáris belső függvény esete)


Az utolsó példa konkrét alkalmazásaiként kapjuk, hogy
    illetve

Speciális integrálási módszerek[szerkesztés]

Racionális törtfüggvények integrálása[szerkesztés]

Egy valós változóból és valós számokból a négy alapművelettel képzett, végső soron két polinom hányadosaként előálló racionális törtfüggvény integrálása a következő lépésekben történhet:

  1. A valós együtthatós racionális törtfüggvényt maradékos osztással az
    alakra hozzuk, ahol a polinom fokszáma már kisebb, mint a polinom fokszáma.
  2. A nevezőt első- és (negatív diszkriminánsú) másodfokú főpolinomok egyértelműen előálló szorzatára bontjuk:
  1. A törtet a faktorainak megfelelő parciális törtek összegére bontjuk fel:
                 
     
    A parciális törtek együtthatói a megfelelő lineáris egyenletrendszer megoldásával számíthatók ki.
  2. A parciális törtekre bontott kifejezést tagonként integráljuk a következő összefüggések alapján:

    • Az utolsó integrandus nevezőjében lévő másodfokú polinomot pedig teljes négyzetté alakítva, a megfelelő helyettesítéssel az integrál alakúra hozható, amelyet a következő redukciós formula segítségével számíthatunk ki:

Trigonometrikus függvények integrálása[szerkesztés]

Trigonometrikus függvényekből és valós számokból a négy alapművelettel képzett racionális kifejezések integrálása a helyettesítéssel visszavezethető egy racionális törtfüggvény integrálására.

A helyettesítésből ; és adódik.

Exponenciális függvények integrálása[szerkesztés]

Az exponenciális függvényből és valós számokból a négy alapművelettel képzett racionális kifejezések integrálása a helyettesítéssel visszavezethető egy racionális törtfüggvény integrálására.

A helyettesítésből adódik.

Hiperbolikus függvények integrálása[szerkesztés]

Hiperbolikus függvényekből és valós számokból a négy alapművelettel képzett racionális kifejezések integrálása a helyettesítéssel visszavezethető egy racionális törtfüggvény integrálására.

A helyettesítésből ; és adódik.

Minthogy azonban a hiperbolikus függvények voltaképpen speciális exponenciális függvények, az exponenciális függvények integrálási módszere is alkalmazható rájuk.

Irracionális függvények integrálása[szerkesztés]

A négy alapműveleten kívül gyökvonást vagy törtkitevőt is tartalmazó irracionális kifejezések integrálása a megfelelő helyettesítéssel sok esetben szintén visszavezethető racionális törtfüggvény integrálására. A legfontosabb esetek a következők:

  • alakú kifejezés integrálása helyettesítéssel;
  • alakú kifejezés integrálása helyettesítéssel;
  • alakú kifejezés integrálása esetén , illetve esetén helyettesítéssel;
  • alakú kifejezés integrálása helyettesítéssel, ahol a kitevők nevezőinek legkisebb közös többszöröse.

Az Euler-féle helyettesítések[szerkesztés]

alakú irracionális kifejezések integrálása a következő helyettesítések valamelyikével általában visszavezethető racionális törtfüggvény integrálására:

  • ;
  • ;
  • ahol az polinom valós gyöke.

A határozott integrál alkalmazásai[szerkesztés]

Területszámítás[szerkesztés]

Görbe alatti terület[szerkesztés]

Az határozott integrál geometriai jelentése: az , , egyenesek és az függvénygörbe által határolt síkidom előjeles területe (abban az értelemben, hogy az x-tengely alá eső területrészt az integrál negatív előjellel számolja). Ebből következik, hogy az és függvénygörbék, valamint az és egyenesek által határolt síkidom területe:

Az , , paraméteres alakban megadott görbe alatti terület:

Szektorterület[szerkesztés]

Az , , paraméteres alakban megadott görbéhez az origóból húzott szektor területe:

Az , polárkoordinátás alakban megadott görbéhez az origóból húzott szektor területe:

Ívhosszszámítás[szerkesztés]

Ha az függvény az intervallumon differenciálható, és ugyanitt folytonos, akkor a függvénygörbe hosszúsága az adott intervallumon:

Az , , paraméteres alakban megadott folytonos ív hossza:

Az , polárkoordinátás alakban megadott folytonos ív hossza:

Térfogatszámítás[szerkesztés]

Ha az x tengelyre forgásszimmetrikus test palástjának a tengellyel párhuzamos ívét a folytonos függvény írja le, akkor a forgástestnek a tengely szakaszára eső térfogata:

Az , , paraméteres alakban megadott folytonos ív x-tengely körüli megforgatásával nyert forgástest térfogata:

Felszínszámítás[szerkesztés]

Ha az x tengelyre forgásszimmetrikus test palástjának a tengellyel párhuzamos ívét a folytonos függvény írja le, akkor a tengely szakasza körüli palást felszíne:

Az , , paraméteres alakban megadott folytonos ív x-tengely körüli megforgatásával nyert forgástest palástjának felszíne:

Súlypontszámítás[szerkesztés]

Az függvénygörbe a és b abszcisszájú pontok által határolt ívének a súlypontja:

Ugyanezen ív alatti lemez súlypontja:

Az ívet az x-tengely körül megforgatva, a kapott forgástest súlypontjának abszcisszája pedig:

Források[szerkesztés]