Riemann-integrálás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az integrálszámítás tágabb értelemben a matematika analízis nevű ágának a része, újabb és szűkebb értelemben azonban csak a primitív függvények meghatározásának módszertanát és technikáit értjük alatta. Eredeti tárgykörét a 20. században jelentős eredményekkel gazdagított mérték- és integrálelmélet fogadta magába.

A matematikában az integrál fogalma alatt általában a valós függvénytan kalkulusán belül oktatott, Riemann-féle integrál fogalmát értjük, és az integrálszámítás szűkebb értelemben vett célja valós függvények primitív függvényeinek meghatározása, és ezek alkalmazása különféle (például geometriai és statikai) problémák megoldásában.

Alapintegrálok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket.

\int x^n\,dx =\frac{x^{n+1}}{n+1}+c (x\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N}) \int x^\alpha\,dx =\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c (x\in\mathbb{R}^+,-1\neq\alpha\in\mathbb{R})
\int\frac{1}{x}\,dx =\,\ln|x|+c (0\neq x\in\mathbb{R}) \int e^x\,dx =\,e^x+c (x\in\mathbb{R})
\int a^x\,dx =\frac{a^x}{\ln a}+c (x\in\mathbb{R},1\neq a\in\mathbb{R}^+) \int\sin x\,dx =-\cos x\,+c (x\in\mathbb{R})
\int\cos x\,dx =\sin x\,+c (x\in\mathbb{R}) \int\frac{1}{\sin^2x}\,dx =-\mathrm{ctg}\,x\,+c (k\pi\neq x\in\mathbb{R},k\in\mathbb{Z})
\int\frac{1}{\cos^2x}\,dx =\mathrm{tg}\,x\,+c (\frac{k\pi}{2}\neq x\in\mathbb{R},k\in\mathbb{Z}) \int\mathrm{sh}\, x\,dx =\mathrm{ch}\,x\,+c (x\in\mathbb{R})
\int\mathrm{ch}\, x\,dx =\mathrm{sh}\, x\,+c (x\in\mathbb{R}) \int\frac{1}{\mathrm{sh}^2x}\,dx =-\mathrm{cth}\, x\,+c (0\neq x\in\mathbb{R})
\int\frac{1}{\mathrm{ch}^2x}\,dx =\mathrm{th}\, x\,+c (x\in\mathbb{R}) \int\frac{1}{1+x^2}\,dx =\mathrm{arc\,tg}\, x\,+c (x\in\mathbb{R})
\int\frac{1}{1-x^2}\,dx =\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right|+c =\left\{{\mathrm{ar\,th}\,x+c\quad(1>|x|\in\mathbb{R})\atop\mathrm{ar\,cth}\,x+c\quad(1<|x|\in\mathbb{R})}\right. \int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx =\mathrm{arc\,sin} x\,+c (1>|x|\in\mathbb{R})
\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx =\mathrm{ar\,sh}\,x+c (x\in\mathbb{R}) \int\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\,dx =\ln\left|x+\sqrt{x^2-1}\right|+c =\left\{\;{\mathrm{ar\,ch}\,x+c\quad\quad(1<x\in\mathbb{R})\atop\!-\mathrm{ar\,ch}(-x)+c\quad(1>x\in\mathbb{R})}\right.

Általános integrálási szabályok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tagonkénti integrálás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A tagonkénti integrálás az integrálandó lineáris kifejezések széttagolhatóságát jelenti, a következő műveleti tulajdonságok folytán:

Additivitás

Összegfüggvény (különbségfüggvény) primitív függvénye a tagok primitív függvényeinek összege (különbsége).

\int(f(x)\pm g(x))\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx

Homogenitás

Függvény konstansszorosának primitív függvénye a függvény primitív függvényének konstansszorosa.

\int c\,f(x)\,dx=c\int f(x)\,dx

Tagonként integrálható függvények például a polinomfüggvények.

Parciális integrálás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A vizsgált intervallumon folytonosan differenciálható f és g függvények esetén

\int f(x)\,g'(x)\,dx=f(x)\,g(x)-\int f'(x)\,g(x)\,dx

Parciálisan integrálhatók például a sinn x, cosn x, exsinn x és excosn x függvények, továbbá P(x) valós polinomfüggvény esetén parciálisan integrálható:

  • P(x)\,e^x\qquad f(x)=P(x),\ g'(x)=e^x  választással;
  • P(x)\ln x\qquad f(x)=\ln x,\ g'(x)=P(x)  választással;
  • P(x)\sin x\qquad f(x)=P(x),\ g'(x)=\sin x  választással;
  • P(x)\cos x\qquad f(x)=P(x),\ g'(x)=\cos x  választással;
  • P(x)\,\mathrm{arc\,sin}\;x\qquad f(x)=\mathrm{arc\,sin}\;x,\ g'(x)=P(x)  választással;
  • P(x)\,\mathrm{arc\,tg}\;x\qquad f(x)=\mathrm{arc\,tg}\;x,\ g'(x)=P(x)  választással.

Helyettesítéses integrálás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A vizsgált intervallumon folytonos f és folytonosan differenciálható g függvény esetén, ha F = ∫ f(x) dx, akkor

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=F(g(x))+C

Megjegyzés. A helyettesítést az f( g(x) ) g'(x) alakú integrandus esetén konkrétan is elvégezhetjük, ha bevezetjük a t = g(x) új integrálási változót. Ennek differenciálja pont dt = g'(x) dx, így ekkor az integrál ∫ f(t) dt alakot ölt:

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=\left.\int f(t)\,dt\,\right|_{t=g(x)}=F(t)\Big|_{t=g(x)}+C=F(g(x))+C

Nevezetes alesetek:

\int f(ax+b)\,dx =\frac{F(ax+b)}{a}+C
 (a lineáris belső függvény esete)
\int [g(x)]^\alpha\,g'(x)\,dx \ =\frac{[g(x)]^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C (\alpha\neq-1)


\int\frac{g'(x)}{g(x)}\,dx \ =\ln|g(x)|+C
Az utolsó példa konkrét alkalmazásaiként kapjuk, hogy
\int\mathrm{tg}\;x\,dx =-\int\frac{\cos'(x)}{\cos(x)}\,dx \ =-\ln|\cos x|+C
    illetve
\int\mathrm{ctg}\;x\,dx =\int\frac{\sin'(x)}{\sin(x)}\,dx =\ \ln|\sin x|+C

Speciális integrálási módszerek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Racionális törtfüggvények integrálása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy valós változóból és valós számokból a négy alapművelettel képzett, végső soron két polinom hányadosaként előálló \,R(x) racionális törtfüggvény integrálása a következő lépésekben történhet:

  1. A valós együtthatós racionális \,R(x) törtfüggvényt maradékos osztással az
    R(x)=r(x)+\frac{P(x)}{Q(x)}
    alakra hozzuk, ahol a \,P(x) polinom fokszáma már kisebb, mint a \,Q(x) polinom fokszáma.
  2. A \,Q(x) nevezőt első- és (negatív diszkriminánsú) másodfokú főpolinomok egyértelműen előálló szorzatára bontjuk:

    Q(x)=a_0(x-a_1)^{k_1}\cdots(x-a_n)^{k_n}(x^2-b_1x-c_1)^{l_1}\cdots(x^2-b_mx-c_m)^{l_m}
  3. A \frac{P(x)}{Q(x)} törtet a \,Q(x) faktorainak megfelelő parciális törtek összegére bontjuk fel:
    \frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{A_{11}}{x-a_1}+\frac{A_{12}}{(x-a_1)^2}+\cdots+\frac{A_{1k_1}}{(x-a_1)^{k_1}}+\cdots
    \cdots+\frac{A_{n1}}{x-a_n}+\frac{A_{n2}}{(x-a_n)^2}+\cdots+\frac{A_{nk_n}}{(x-a_n)^{k_n}}+
                  +\frac{B_{11}x+C_{11}}{x^2+b_1x+c_1}+\cdots+\frac{B_{1l_1}x+C_{1l_1}}{(x^2+b_1x+c_1)^{l_1}}+\cdots
      \cdots+\frac{B_{m1}x+C_{m1}}{x^2+b_mx+c_m}+\cdots+\frac{B_{ml_m}x+C_{ml_m}}{(x^2+b_mx+c_m)^{l_m}}
    A parciális törtek \,A_{ij},B_{ij},C_{ij} együtthatói a megfelelő lineáris egyenletrendszer megoldásával számíthatók ki.
  4. A parciális törtekre bontott kifejezést tagonként integráljuk a következő összefüggések alapján:
    • \int\frac{A}{x-a}\,dx=A\ln|x-a|
    • \int\frac{A}{(x-a)^k}\,dx=\frac{A}{(1-k)(x-a)^{k-1}}\quad(1<k\in\mathbb{N})
    • \int\frac{Bx+C}{x^2+bx+c}\,dx=\frac{B}{2}\ln|x^2+bx+c|+\frac{C-\frac{Bb}{2}}{\sqrt{c-\frac{b^2}{4}}}\,\arctan\frac{x+\frac{b}{2}}{\sqrt{c-\frac{b^2}{4}}}
    • \int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^l}\,dx=\frac{B}{2}\frac{(x^2+bx+c)^{1-l}}{1-l}+(C-\frac{Bb}{2})\int\frac{1}{(x^2+bx+c)^l}
      Az utolsó integrandus nevezőjében lévő másodfokú polinomot pedig teljes négyzetté alakítva, a megfelelő helyettesítéssel az integrál I_l=\int\frac{1}{(t^2+1)^l} alakúra hozható, amelyet a következő redukciós formula segítségével számíthatunk ki:
      I_l=\frac{1}{2l-2}\frac{t}{(t^2+1)^{l-1}}+\frac{2l-3}{2l-2}I_{l-1}

Trigonometrikus függvények integrálása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Trigonometrikus függvényekből és valós számokból a négy alapművelettel képzett \,R(\sin x,\cos x) racionális kifejezések integrálása a t=\tan\frac{x}{2} helyettesítéssel visszavezethető egy racionális törtfüggvény integrálására.

A helyettesítésből \sin x=\frac{2t}{1+t^2}; \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} és dx=\frac{2}{1+t^2}\,dt adódik.

Exponenciális függvények integrálása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az exponenciális függvényből és valós számokból a négy alapművelettel képzett \,R(e^x) racionális kifejezések integrálása a \,t=e^x helyettesítéssel visszavezethető egy racionális törtfüggvény integrálására.

A helyettesítésből dx=\frac{1}{t}\,dt adódik.

Hiperbolikus függvények integrálása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hiperbolikus függvényekből és valós számokból a négy alapművelettel képzett \,R(\sinh x,\cosh x) racionális kifejezések integrálása a t=\tanh\frac{x}{2} helyettesítéssel visszavezethető egy racionális törtfüggvény integrálására.

A helyettesítésből \sinh x=\frac{2t}{1-t^2}; \cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2} és dx=\frac{2}{1-t^2}\,dt adódik.

Minthogy azonban a hiperbolikus függvények voltaképpen speciális exponenciális függvények, az exponenciális függvények integrálási módszere is alkalmazható rájuk.

Irracionális függvények integrálása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A négy alapműveleten kívül gyökvonást vagy törtkitevőt is tartalmazó irracionális kifejezések integrálása a megfelelő helyettesítéssel sok esetben szintén visszavezethető racionális törtfüggvény integrálására. A legfontosabb esetek a következők:

  • R(x,\sqrt{a^2-x^2}) alakú kifejezés integrálása \frac{x}{a}=\sin t helyettesítéssel;
  • R(x,\sqrt{a^2+x^2}) alakú kifejezés integrálása \frac{x}{a}=\sinh t helyettesítéssel;
  • R(x,\sqrt{x^2-a^2}) alakú kifejezés integrálása x\geq0 esetén \frac{x}{a}=\cosh t, illetve x\leq0 esetén \frac{x}{a}=-\cosh t helyettesítéssel;

Az Euler-féle helyettesítések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

R(x,\sqrt{ax^2+bx+c}) alakú irracionális kifejezések integrálása a következő helyettesítések valamelyikével általában visszavezethető racionális törtfüggvény integrálására:

  • \sqrt{ax^2+bx+c}=t\pm x\sqrt{a}\qquad(a>0);
  • \sqrt{ax^2+bx+c}=tx\pm \sqrt{c}\qquad(c>0);
  • \sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-x_0), ahol \,x_0 az \,ax^2+bx+c polinom valós gyöke.

A határozott integrál alkalmazásai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Területszámítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Görbe alatti terület[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az \int \limits _a^b f(x)\,dx határozott integrál geometriai jelentése: az x=a, x=b, y=0 egyenesek és az y=f(x) függvénygörbe által határolt síkidom előjeles területe (abban az értelemben, hogy az x-tengely alá eső területrészt az integrál negatív előjellel számolja). Ebből következik, hogy az f(x) és g(x) függvénygörbék, valamint az x=a és x=b egyenesek által határolt síkidom területe:

\left|\int \limits _a^b[f(x)-g(x)]\,dx\right|

Az x=x(t), y=y(t), t\in[a,b] paraméteres alakban megadott görbe alatti terület:

\int \limits _a^b x'(t)y(t)\,dt

Szektorterület[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az x=x(t), y=y(t), t\in[a,b] paraméteres alakban megadott görbéhez az origóból húzott szektor területe:

\frac{1}{2}\int \limits _a^b[x(t)y'(t)-x'(t)y(t)]\,dt

Az r=r(\varphi), \varphi\in[\alpha,\beta] polárkoordinátás alakban megadott görbéhez az origóból húzott szektor területe:

\frac{1}{2}\int \limits _\alpha^\beta r^2(\varphi)\,d\varphi

Ívhosszszámítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha az f(x) függvény az [a,b] intervallumon differenciálható, és f'(x) ugyanitt folytonos, akkor a függvénygörbe hosszúsága az adott intervallumon:

\int \limits _a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx

Az x=x(t), y=y(t), t\in[a,b] paraméteres alakban megadott folytonos ív hossza:

\int \limits _a^b\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt

Az r=r(\varphi), \varphi\in[\alpha,\beta] polárkoordinátás alakban megadott folytonos ív hossza:

\int \limits _\alpha^\beta\sqrt{[r(\varphi)]^2+[r'(\varphi)]^2}\,d\varphi

Térfogatszámítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha az x tengelyre forgásszimmetrikus test palástjának a tengellyel párhuzamos ívét a folytonos f(x) függvény írja le, akkor a forgástestnek a tengely [a,b] szakaszára eső térfogata:

\pi\int_a^bf^2(x)\,dx

Az x=x(t), y=y(t), t\in[a,b] paraméteres alakban megadott folytonos ív x-tengely körüli megforgatásával nyert forgástest térfogata:

\pi\int_a^by^2(t)\,x'(t)\,dt

Felszínszámítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha az x tengelyre forgásszimmetrikus test palástjának a tengellyel párhuzamos ívét a folytonos f(x) függvény írja le, akkor a tengely [a,b] szakasza körüli palást felszíne:

2\pi\int \limits _a^bf(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx

Az x=x(t), y=y(t), t\in[a,b] paraméteres alakban megadott folytonos ív x-tengely körüli megforgatásával nyert forgástest palástjának felszíne:

2\pi\int \limits _a^by(t)\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt

Súlypontszámítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az f(x) függvénygörbe a és b abszcisszájú pontok által határolt ívének a súlypontja:

x_s=\frac{\int \limits _a^bx\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx}{\int \limits _a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx}\qquad y_s=\frac{\int \limits _a^bf(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx}{\int \limits _a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx}

Ugyanezen ív alatti lemez súlypontja:

x_s=\frac{\int \limits _a^bxf(x)\,dx}{\int \limits _a^bf(x)\,dx}\qquad y_s=\frac{\int \limits _a^bf^2(x)\,dx}{2\int \limits _a^bf(x)\,dx}

Az ívet az x-tengely körül megforgatva, a kapott forgástest súlypontjának abszcisszája pedig:

x_s=\frac{\int \limits _a^bxf^2(x)\,dx}{\int \limits _a^bf^2(x)\,dx}

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]