Hiperbolikus függvények

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A trigonometrikus és hiperbolikusz függvények, illetve ezek inverzei

A hiperbolikus függvények a matematikában a szögfüggvényekhez hasonló függvények.

A két alapvető hiperbolikus függvény a hiperbolikus szinusz (jelölése sh vagy sinh) és a hiperbolikus koszinusz (jelölése ch vagy cosh), melyekből levezethető a hiperbolikus tangens (jelölése th vagy tanh) stb. függvény a szögfüggvényekhez hasonlóan. Ezeknek a függvényeknek az inverzei az area hiperbolikus függvények.

Ahogy a (cos t, sin t) pontok egy kört határoznak meg, úgy a (ch t, sh t) pontok egy hiperbola jobb oldali félgörbéjét írják le. A hiperbolikus függvények azért is fontosak, mert több lineáris differenciálegyenlet megoldását fel lehet írni a használatukkal. Ilyen például derékszögű koordináta-rendszerben a súlya alatt lelógó kábel egyenlete. Alkalmazhatóak ezen kívül a Laplace-egyenlet megoldásánál, amely a fizika több területén – az elektromágnesség elméletében, hőátadásban, folyadékok dinamikájában és a speciális relativitáselméletben – is fontos.

Algebrai összefüggések[szerkesztés]

sh, ch és th
csch, sch és cth

A hiperbolikus függvények:

  • Hiperbolikus szinusz:
  • Hiperbolikus koszinusz:
  • Hiperbolikus tangens:
  • Hiperbolikus kotangens:
  • Hiperbolikus szekáns:
  • Hiperbolikus koszekáns:

ahol az imaginárius egység.

A fenti definíciókban a komplex alakok az Euler-formulából adódnak.

Hasznos összefüggések[szerkesztés]

Innen:

Látható, hogy a ch x és sch x páros, a többi páratlan függvény.

Integrálok[szerkesztés]

A fenti kifejezésekben C az integrálás állandója.

Taylor-sorba fejtés[szerkesztés]

(Laurent-sor)
(Laurent-sor)

ahol

az n-ik Bernoulli-szám
az n-ik Euler-szám

Hasonlóságok a szögfüggvényekkel[szerkesztés]

Kör és hiperbola kapcsolata

Az x y = 1 hiperbola x > 1 tartományban lévő tetszőleges pontja hiperbolikus háromszöget határoz meg, amelyben a hiperbolikus szög melletti oldal a ch értékkel egyenlő, míg a szöggel szemben fekvő oldal az sh-val. Azonban mivel a hiperbola (1,1) pontja az origótól √2 távolságra van, ezért az oldalak hosszát 1/√2 tényezővel kell szoroznunk, hogy a helyes eredményt kapjuk.

Mint ahogy a (cos x, sin x) pontok egy kört ( x2 + y2 = 1) határoznak meg, a (ch x, sh x) pontok az x² - y² = 1 egyenlő szárú hiperbola jobb oldali görbéjét írják le. Ez ezen a könnyen ellenőrizhető azonosságon:

és azon alapul, hogy ch x > 0 minden x-re.

A hiperbolikus függvények periodikusak komplex periódus szerint.

A x paraméter nem a kör középponti szöge, mint a szögfüggvényeknél, hanem a hiperbolikus „szög”, amelynek értéke a kétszerese annak a területnek, melyet az x tengely, a hiperbola és egy, a hiperbola (ch x, sh x) pontjából az origóba húzott egyenes határol.

A hiperbolikus függvényekre igen sok olyan azonosság érvényes, melyek hasonlóak a szögfüggvények azonosságaihoz. Az Osborne-szabály kimondja, hogy minden trigonometrikus azonosságot egy analóg hiperbolikus azonossággá lehet alakítani a következőképpen:

  • lecseréljük a szögfüggvényt a hiperbolikus megfelelőjével és
  • az sh * sh kifejezés előjelét megváltoztatjuk.

Néhány példa:

A „kétszeres szög” képletek:

és a „fél-szög” képletek:

Megjegyzés: Ez megfelel a szögfüggvény párjának.
Megjegyzés: Ez megfelel a szögfüggvény párja szorozva (-1)-gyel.

Az sh x deriváltja ch x, a ch x deriváltja pedig sh x.

Kapcsolat az exponenciális függvénnyel[szerkesztés]

A hiperbolikus függvények definíciós képleteiből levezethetők a következő azonosságok:

és

Deriváltak[szerkesztés]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Külső hivatkozások[szerkesztés]