Hiperbolikus függvények

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
A trigonometrikus és hiperbolikus függvények, illetve ezek inverzei

A hiperbolikus függvények a matematikában a szögfüggvényekhez hasonló függvények.

A két alapvető hiperbolikus függvény a hiperbolikus szinusz (jelölése sh vagy sinh) és a hiperbolikus koszinusz (jelölése ch vagy cosh), melyekből levezethető a hiperbolikus tangens (jelölése th vagy tanh) függvény a szögfüggvényekhez hasonlóan. Ugyanúgy számolható belőlük a hiperbolikus szekáns és a hiperbolikus koszekáns, mint trigonometrikus megfelelőikből a szekáns és a koszekáns. Ezeknek a függvényeknek az inverzei az area hiperbolikus függvények. Ezt az adott függvény neve elé tett area szó jelzi. Mindezek a függvények egyes szerzőknél latin nevükkel szerepelnek, mint sinus hyperbolicus, cosinus hyperbolicus, tangens hyperbolicus, cotangens hyperbolicus, secans hyperbolicus, cosecans hyperbolicus; illetve az area függvények: area sinus hyperbolicus, area cosinus hyperbolicus, area tangens hyperbolicus, area cotangens hyperbolicus, area secans hyperbolicus, area cosecans hyperbolicus.

Ahogy a (cos t, sin t) pontok egy kört határoznak meg, az az egységkört, úgy a (ch t, sh t) pontok egy hiperbola jobb oldali félgörbéjét írják le, mely az egységhiperbolához tartozik. A kapcsolat a komplex számsíkon még nyilvánvalóbb, mivel . Így például . A komplex hiperbolikus szinusz és hiperbolikus koszinusz az egész komplex számsíkon folytonosan definiált, sőt holomorf függvények. A többi hiperbolikus függvénynek pólusai vannak a képzetes tengelyen.

A hiperbolikus függvények azért is fontosak, mert több lineáris differenciálegyenlet megoldását fel lehet írni a használatukkal. Ilyen például derékszögű koordináta-rendszerben a súlya alatt lelógó kábel egyenlete. Alkalmazhatóak ezen kívül a Laplace-egyenlet megoldásánál, amely a fizika több területén – az elektromágnesség elméletében, hőátadásban, folyadékok dinamikájában és a speciális relativitáselméletben – is fontos.

Definíciók[szerkesztés]

Az origóbóél kiinduló sugár az hiperbolát az pontban metszi, ahol a sugár, az -tengelyre vett tükörképe és a hiperbola által közrezárt terület

Az egységhiperbola egyenlete , így a két alapvető hiperbolikus függvény, a hiperbolikus koszinusz és a hiperbolikus szinusz:

Hasonló kapcsolatban állnak a trigonometrikus függvények az egységkörrel:

Itt az egyenes és a hiperbola metszéspontjának koordinátája, és az egyenes és a hiperbola metszéspontjának koordinátája. A értéke az koordináta az helyen, azaz az egyenes meredeksége.

Ha a területet integrálással számítjuk ki, akkor az exponenciális ábrázoláshoz jutunk, ami használható ekvivalens definícióként:

Ez alapján a hatványsorok:

Itt az szám faktoriálisa, vagyis az első pozitív egész szám szorzata. Szemben a és a hatványsorával, itt nincsenek negatív együtthatók.

Tulajdonságok[szerkesztés]

sh és ch[szerkesztés]

  • Minden valós számra és valós.
  • A valós függvény értékkészlete az összes valós szám; a valós értékkészletébe az egynél nem kisebb valós számok tartoznak.
  • A valós függvény szigorúan monoton nő, és a nulla helyen inflexiós pontja van, ahol nullhelye is van.
  • A valós szigorúan monoton csökken az intervallumon, és szigorúan monoton nő az intervallumon. Globális minimumát az helyen éri el.
  • A valós függvény aszimptotikus függvényei és . A valós függvény aszimptotikus függvényei és .
  • Mivel , azért a komplex hiperbolikus függvénytulajdonságok a valós függvényekre is teljesülnek:
  • Az függvény páratlan, az függvény páros.
  • A függvények periodikusak, periódusuk . Ez a valós függvényeken nem látszik, mivel a periódus tisztán képzetes; tehát a valós függvények nem periodikusak.
  • A következő szakaszok további összefüggéseket mutatnak be.

th és cth[szerkesztés]

  • Minden valós számra és minden nullától különböző valós számra valós. A függvény nem értelmezett nullában, ahol pólusa van.
  • A valós értékkészlete , a valós függvényé .
  • A valós függvénynek az helyen nullhelye van, ami inflexiós pont is.
  • A valós függvény szigorúan monoton nő; szigorúan monoton csökken, ha , és szigorúan monoton csökken, ha
  • Nem periodikus, páratlan függvények.
  • A valós aszimptotikus függvényei és . A valós függvény aszimptotikus függvényei és

sech és csch[szerkesztés]

  • Minden valós számra és minden nullától különböző valós számra valós. A függvény nem értelmezett nullában, ahol pólusa van.
  • A valós függvény értékkészlete ; a valós függvényé .
  • A valós függvény szigorúan monoton nő, ha , és szigorúan monoton csökken, ha . A valós függvény szigorúan monoton csökken, ha , és szigorúan monoton csökken, ha .
  • Nem periodikusak. páros, páratlan.
  • Mindkét függvénynek aszimptotája , ha .
  • A valós függvény maximumát az pontban éri el. a valós függvénynek nincsenek szélsőértékei.
  • A valós függvény inflexiós pontja az helyen vannak. A valós függvénynek nincsenek inflexiós pontjai.

Algebrai összefüggések[szerkesztés]

sh, ch és th
csch, sch és cth

A hiperbolikus függvények:

  • Hiperbolikus szinusz:
  • Hiperbolikus koszinusz:
  • Hiperbolikus tangens:
  • Hiperbolikus kotangens:
  • Hiperbolikus szekáns:
  • Hiperbolikus koszekáns:

ahol az imaginárius egység.

A fenti definíciókban a komplex alakok az Euler-formulából adódnak.

(Euler-azonosság)
(hiperbolikus egyenlet, a gemotriai definícióból közvetlenül adódik)

Szimmetria összefüggések[szerkesztés]

Innen:

Látható, hogy a ch x és sch x páros, a többi páratlan függvény.

,

így a többi hiperbolikus függvény is periodikus szerint.

Addíciós tételek[szerkesztés]

Speciálisan, ha :

illetve, ha :

Összegzés:

Hatványok[szerkesztés]

További összefüggések[szerkesztés]

, ahol az aranymetszés.

A hiperbolikus kotangensnek két fixpontja van, azaz két hely, ami megegyezik az ott felvett értékkel:

, ahol ((A085984 sorozat az OEIS-ben))

Komplex argumentumok[szerkesztés]

Ha valós és képzetes rész, akkor teljesül, hogy:

Például a harmadik és a negyedik egyenlőség levezethető a következőképpen:

Ha , akkor:

Az együtthatók összehasonlításával:

Kapcsolat a trigonometrikus függvényekkel[szerkesztés]

A szögfüggvények és a hiperbolikus függvények közötti kapcsolat:

ahol a Gudermann-függvény.

Átszámítási táblázat[szerkesztés]

Függvény

Deriváltak[szerkesztés]

A tangens hiperbolicus -edik deriváltja

ahol An,k Euler-számok.

Integrálok[szerkesztés]

A fenti kifejezésekben C az integrálás állandója.

Improprius integrál:

Differenciálegyenletek[szerkesztés]

A és függvények az

lineáris differenciálegyenlet alaprendszerét, más néven megoldásbázisát alkotják, ugyanúgy mint az és függvények. Ha a két függvény számára kezdeti feltételként előírjuk, hogy , és , legyen, akkor ezzel a és függvényeket választottuk. Ezeket a tulajdonságokat a definícióból is bizonyítani lehet.

A függvény megoldja a következő differenciálegyenleteket

vagy

az és kezdeti feltételekkel.

Taylor-sorba fejtés[szerkesztés]

A hiperbolikus függvények Taylor-sorai:

(Laurent-sor)
(Laurent-sor)

ahol

az n-ik Bernoulli-szám
az n-ik Euler-szám

A tangens hyperbolicus Taylor-sora így kezdődik:

ahol

az n-ik Bernoulli-szám. A konvergenciasugár .

Végtelen szorzatként[szerkesztés]

Legyen . Ekkor minden komplex -re:

Lánctörtként[szerkesztés]

Johann Heinrich Lambert képlete:

Bijektivitás[szerkesztés]

sh[szerkesztés]

Definiáljuk a következő halmazokat a komplex számokon:

Ekkor az függvény bijektíven leképezi az sávokat a halmazokra.

ch[szerkesztés]

Definiáljuk a következő halmazokat a komplex számokon:

Ekkor az függvény bijektíven leképezi az sávokat a halmazokra.

Inverz függvények[szerkesztés]

A hiperbolikus függvények inverz függvényeit áreafüggvényeknek vagy inverz hiperbolikus függvényeknek nevezzük:

  • áreaszinusz hiperbolikus és áreakoszinusz hiperbolikus
  • áreatangens hiperbolikus és áreakotangens hiperbolikus
  • áreaszekáns hiperbolikus és áreakoszekáns hiperbolikus

Az inverz függvényeket csak olyan leszűkítéseken lehet definiálni, ahol az adott függvény egyértelmű. Így a szinusz hiperbolikust nem kell leszűkíteni, de például a koszinusz hiperbolikust igen: a koszinusz hipőerbolikust az korlátozva definiálják az área koszinusz hiperbolikust. Elemi módszerekkel kiszámolható, hogy:

.
.

A tangens hiperbolicus bijektív függvény. Inverz függvénye az area tangens hiperbolicus, ami az intervallumon értelmezett:

Az area cotangens hiperbolicus:

a (-1,1)</math> intervallumon kívül értelmezve.

Hasonlóságok a szögfüggvényekkel[szerkesztés]

Kör és hiperbola kapcsolata

Az x y = 1 hiperbola x > 1 tartományban lévő tetszőleges pontja hiperbolikus háromszöget határoz meg, amelyben a hiperbolikus szög melletti oldal a ch értékkel egyenlő, míg a szöggel szemben fekvő oldal az sh-val. Azonban mivel a hiperbola (1,1) pontja az origótól √2 távolságra van, ezért az oldalak hosszát 1/√2 tényezővel kell szoroznunk, hogy a helyes eredményt kapjuk.

Mint ahogy a (cos x, sin x) pontok egy kört ( x2 + y2 = 1) határoznak meg, a (ch x, sh x) pontok az x² - y² = 1 egyenlő szárú hiperbola jobb oldali görbéjét írják le. Ez ezen a könnyen ellenőrizhető azonosságon:

és azon alapul, hogy ch x > 0 minden x-re.

A hiperbolikus függvények periodikusak komplex periódus szerint.

A x paraméter nem a kör középponti szöge, mint a szögfüggvényeknél, hanem a hiperbolikus „szög”, amelynek értéke a kétszerese annak a területnek, melyet az x tengely, a hiperbola és egy, a hiperbola (ch x, sh x) pontjából az origóba húzott egyenes határol.

A hiperbolikus függvényekre igen sok olyan azonosság érvényes, melyek hasonlóak a szögfüggvények azonosságaihoz. Az Osborne-szabály kimondja, hogy minden trigonometrikus azonosságot egy analóg hiperbolikus azonossággá lehet alakítani a következőképpen:

  • lecseréljük a szögfüggvényt a hiperbolikus megfelelőjével és
  • az sh * sh kifejezés előjelét megváltoztatjuk.

Néhány példa:

A „kétszeres szög” képletek:

és a „fél-szög” képletek:

Megjegyzés: Ez megfelel a szögfüggvény párjának.
Megjegyzés: Ez megfelel a szögfüggvény párja szorozva (-1)-gyel.

Az deriváltja , a deriváltja pedig .

Numerikus számítások[szerkesztés]

A tangens hyperbolicus számítható a képlettel. Ez azonban nagy, illetve kis abszolútértékű helyeken gondot okoz:

  • Nagy értékeknél túlcsordulás jön létre, habár az eredmény nagysága ezt nem indokolja
  • Kis értékek esetén vészes kiegyszerűsödés adódik, így az eredmény pontatlan lesz.

Ekkor a következő közelítések alkalmazhatók:

  • akkora pozitív szám, hogy . Ekkor

, ahol a szignifikáns számjegyek száma az adott számtípusnál, például double esetén 16.

  • nagy abszolútértékű negatív szám úgy, hogy , ahol szerepe a nagy pozitív számnál szereplő -hoz hasonló. Ekkor az előző esethez hasonlóan .
  • abszolútértékben kicsi. Például, ha , akkor ,
ahol jól közelíthető Taylor-sorának első néhány tagjával:

  • A többi hely esetén marad az eredeti képlet:

Alkalmazások[szerkesztés]

Az differenciálegyenlet megoldásai az

, ahol

alakú függvények.

Egy csak saját súlya által terhelt homogén lánc alakját hiperbolikus koszinusz függvénnyel lehet leírni. Ezt az alakot láncgörbének vagy katenoidnak hívják.

Egy x irányú Lorentz-transzformáció rapiditása segítségével a transzformáció mátrixa így írható le:

Látható a hasonlóság a forgatómátrixszal, amivel a négydimenziós Lorentz-transzformációk és a forgatások közötti hasonlóság is felismerhető.

A hiperbolikus szinusz és koszinusz a kozmológiában is előfordul. Egy lapos univerzumban, mely lényegében csak anyagot és sötét energiát tartalmaz (és ezáltal a mi univerzumunk közelítése), a skálafaktorok növekedését leíró összefüggés:

,

ahol karakterisztikus időskála; aktuális Hubble-paraméter és a sötét energia sűrűségparamétere. Az anyag sűrűségparaméterének időbeli függőségénél a koszinusz hiperbolikusz bukkan fel:

.

A tangens és a cotangens hyperbolicus használható arra, hogy az eltelt idő függvényében kiszámítsuk a légellenállásos esés sebességét, illetve turbulens áramlásban esik a tárgy (Newton-súrlódás). A koordinátarendszert úgy rögzítjük, hogy a helytengely felfelé mutasson, tehát a térbeli mozgás tükörképeként. A sebesség az differenciálegyenletből számítható, ahol nehézségi gyorsulás, pozitív konstans, melynek mértékegysége . A végsebesség , ami a sebesség határértéke. Teljesül továbbá, hogy:

  • az esés vagy hajítás kezdeti sebessége kisebb, mint a végsebesség: , ahol
  • hajítás esetén a kezdősebesség nagyobb, mint a végsebesség: , ahol

A speciális relativitáselméletben a sebesség és a rapiditás összefüggése , ahol a fénysebesség.

A kvantummechanikában egy kétállapotú rendszert ért termikus hatást írja le: Legyen az állapotokat ért összhatás, és az állapotok közötti energiakülönbség. Így a hatásszámok különbsége , ahol Boltzmann-állandó, és abszolút hőmérséklet.

Paramágnes mágnesesezésének leírásához fontos a Brillouin-függvény:

A kozmológiában Egy lapos univerzumban, mely lényegében csak anyagot és sötét energiát tartalmaz (és ezáltal a mi univerzumunk közelítése), a Hubble-paraméter időbeli változását leíró összefüggés: , ahol karakterisztikus időskála, és a Hubble-paraméter határértéke esetén; a Hubble-paraméter kiinduláskori értéke, és a sötét energia sűrűségparamétere. A sötét energia sűrűségparaméterét pedig az . összefüggés írja le.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Külső hivatkozások[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Hyperbelfunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
  • Ez a szócikk részben vagy egészben az Areafunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.