Racionális törtfüggvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A racionális törtfüggvény a valós számok halmazának olyan önmagára való leképezése, amelyben a hozzárendelést két polinom hányadosával adjuk meg:

.

RacTort-1.jpg

A leképezés értelmezési tartománya azokból a valós számokból áll, amelyekre nem nulla. (Értelemszerűen feltesszük, hogy nem az azonosan nulla polinom.)

Tulajdonságai[szerkesztés]

Mivel -nek legfeljebb n nullhelye van, a függvény értelmezési tartománya legfeljebb n+1 nyílt intervallum uniója. Ezeken a nyílt intervallumokon a függvény folytonos és akárhányszor differenciálható. Az összefüggő zárt résztartományokon integrálható. A függvény grafikonja általában egy vagy több aszimptotával rendelkezik.

Fokszám, rendszám[szerkesztés]

Az m illetve n fokszámú polinomokkal definiált törtfüggvényeket (m/n)-edfokúnak nevezzük, s a grafikonjuk r rendszámát az egyenletük implicit alakjában szereplő legmagasabb fokszámmal adjuk meg:

Fontosabb törtfüggvények[szerkesztés]

Fordított arányosság[szerkesztés]

A görbe hiperbola (kúpszelet), explicit illetve implicit egyenlete:

(Az ábrán együtthatójú görbe, aszimptotái a koordináta-rendszer tengelyei.)

RacTort-2.jpg

Lineáris törtfüggvény[szerkesztés]

A függvény és grafikonja az egyenes arányosság transzformáltja.

Reciprok hatványfüggvény[szerkesztés]

RacTort-3.jpg

Pontosabban: negatív egész kitevőjű hatványfüggvény. Grafikonja hiperbolikus típusú görbe. Páros kitevő esetén a két ága az Y tengelyre, páratlan kitevő esetén az origóra szimmetrikus.

Reciprok polinomfüggvény[szerkesztés]

Az n-edfokú polinom reciprokaként megadott racionális törtfüggvény, melynek grafikonja a nevezőtől függően változatos alakú és számú nyílt görbeívből áll. A görbe rendszáma: r = n+1.

RacTort-4.jpg

Az ábrán az explicit alakban adott harmadrendű görbe látható. (Ennek speciális esete az Agnesi-féle görbe)

Polinomok hányadosteste[szerkesztés]

A racionális törtfüggvények szoros kapcsolatban állnak a polinomok gyűrűjének hányadostestével, de a két fogalom nem azonos. Például a

és a

kifejezések mint a valós együtthatós polinomok hányadostestének elemei egyenlőek, mivel ott osztható -gyel, és a hányados . De ha -et és -et mint racionális törtfüggvényeket tekintjük, akkor nem egyenlőek, hiszen értelmezhető az helyen, viszont nem.

Irodalom[szerkesztés]

Bronstein – Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091
Dr. Hack & all.: Négyjegyű függvénytáblázatok,…(Nemzeti Tankönyvkiadó, 2004) ISBN 978-963-19-5703-7
Reiman István: Matematika (Műszaki Könyvkiadó, 1992)
Reinhardt, F. – Soeder, H.: SH atlasz-Matematika (Springer-Verlag, 1993)
Sain Márton: Matematikatörténeti ABC (Nemzeti Tankönyvkiadó - Typotex, 1993)
Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei (Közoktatásügyi Kiadóvállalat, 1951)
Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.