Racionális törtfüggvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A racionális törtfüggvény a valós számok halmazának olyan önmagára való leképezése, amelyben a hozzárendelést két polinom hányadosával adjuk meg:

.

Racionális törtfüggvény 1.jpg

A függvény két polinomfüggvény, vagyis racionális egészfüggvény hányadosa. Az együtthatók lehetnek racionális, valós vagy komplex számok, az egyetlen kikötés, hogy nem lehet nulla, emiatt nem lehet az azonosan nulla polinom.

A leképezés értelmezési tartománya azokból a valós számokból áll, amelyekre nem nulla.

Típusai[szerkesztés]

Ha a polinom foka nulla, azaz konstans, akkor a függvény polinomfüggvény, vagyis racionális egészfüggvény.

Egyébként, ha a nevező foka nagyobb, akkor valódi racionális törtfüggvényről van szó.

Ha ez nem teljesül, akkor a racionális törtfüggvény nem valódi. Polinomosztással egy polinom és egy racionális törtfüggvény összegeként ábrázolható.

A táblázat mutat néhány példát a számláló különböző fokaira és a nevező különböző fokaira:

Példa Alternatív írásmód z = n = Függvénytípus
3 0 racionális egészfüggvény
1 2 valódi racionális törtfüggvény
3 3 nem valódi racionális törtfüggvény
2 1 nem valódi racionális törtfüggvény

Tulajdonságai[szerkesztés]

Mivel -nek legfeljebb n nullhelye van, a függvény értelmezési tartománya legfeljebb n+1 nyílt intervallum uniója. Ezeken a nyílt intervallumokon a függvény folytonos és akárhányszor differenciálható. Az összefüggő zárt résztartományokon integrálható. A függvény grafikonja általában egy vagy több aszimptotával rendelkezik.

Fokszám, rendszám[szerkesztés]

Az m illetve n fokszámú polinomokkal definiált törtfüggvényeket (m/n)-edfokúnak nevezzük, s a grafikonjuk r rendszámát az egyenletük implicit alakjában szereplő legmagasabb fokszámmal adjuk meg:

Fontosabb törtfüggvények[szerkesztés]

Fordított arányosság[szerkesztés]

A görbe hiperbola (kúpszelet), explicit illetve implicit egyenlete:

(Az ábrán együtthatójú görbe, aszimptotái a koordináta-rendszer tengelyei.)

Racionális törtfüggvény 2.jpg

Lineáris törtfüggvény[szerkesztés]

A függvény és grafikonja az egyenes arányosság transzformáltja.

Reciprok hatványfüggvény[szerkesztés]

Racionális törtfüggvény 3.jpg

Pontosabban: negatív egész kitevőjű hatványfüggvény. Grafikonja hiperbolikus típusú görbe. Páros kitevő esetén a két ága az Y tengelyre, páratlan kitevő esetén az origóra szimmetrikus.

Reciprok polinomfüggvény[szerkesztés]

Az n-edfokú polinom reciprokaként megadott racionális törtfüggvény, melynek grafikonja a nevezőtől függően változatos alakú és számú nyílt görbeívből áll. A görbe rendszáma: r = n+1.

Racionális törtfüggvény 4.jpg

Az ábrán az explicit alakban adott harmadrendű görbe látható. (Ennek speciális esete az Agnesi-féle görbe)

Aszimptotika[szerkesztés]

A racionális törtfüggvényeknek szakadásuk van a nevező gyökeinél. Emellett még a végtelenben vett viselkedés is kérdéses.

A végtelenben vett viselkedés szempontjából a nevező és számláló foka döntő fontossággal bír. A szakasz további részében a számláló, a nevező fokszáma. Ha , akkor

  • tart -hez, hogyha , ahol a szignumfüggvény.
  • tart -hez, ha (az aszimptota párhuzamos az -tengellyel),
  • tart -hoz (az -tengely vízszintes aszimptota), ha .

Ha , akkor a második és a harmadik esetben ugyanaz a határérték, mint esetén. A többi eset:

  • Ha páros, akkor az érték ugyanaz, mint esetén.
  • Ha páratlan, akkor az előjel ellentettje az értékének.

Ahogy majd később írjuk, polinomosztással a függvény felbontható egy polinom és egy valódi racionális törtfüggvény összegére. A polinom aszimptotikus görbét ad. A speciális esetben ferde aszimptota adódik. Az aszimptotikus görbe vizsgálatával az viselkedése egyszerűbben elemezhető.

Példák:

  • Az lineáris törtfüggvény esetén a számláló foka és a nevező foka , így az határérték .
  • Az racionális törtfüggvény számlálójának foka , nevezőjének foka ; a főegyütthatók und , tehát adódik az aszimptota egyenlete: .
  • Az racionális törtfüggvény számlálójának foka , nevezőjének foka ; az és főegyütthatókkal adódik, hogy

, ha . Mivel páratlan, azért határértékének előjele az előző ellentettje. A függvény írható úgy is, mint , a ferde aszimptota egyenlete , amivel az előbbi értékek könnyebben adódnak.

Diszkusszió[szerkesztés]

Az függvényterm grafikonjának elemzésére a következő diszkusszió végezhető.

Szimmetria[szerkesztés]

Mivel szakadásai a gyökeiben vannak, a gyökök száma pedig véges, azért az periodikusságáról nem lehet szó.

Egy polinomfüggvény akkor páros vagy páratlan, ha minden kitevője páros vagy páratlan. Ha a számláló és a nevező típusa is ilyen, akkor az racionális törtfüggvény páros vagy páratlan. Nevezetesen:

  • Ha és egyszerre páros vagy páratlan, akkor a racionális törtfüggvény páros.
  • Ha és egyike páros, másika páratlan, akkor páratlan.

Egyéb esetben nehéz szimmetriáját meghatározni.

Példák:

  • Az függvény szimmetrikus az origóra, mivel páratlan és páros, a függvény páratlan.
  • Az függvény szimmetrikus az y tengelyre, mivel és is páratlan, így a hányados függvény páros. Kiemelve egy x-et a számlálóból és a nevezőből, egyszerűsíthetjük a függvényt az . Mivel itt és páros, azért a hányados függvény is páros.
  • Az függvényről nem lehet szimmetriát megállapítani az alakja alapján, de megmutatható, hogy szimmetrikus a P(1, 1) pontra, ugyanis:
    és
    .
Eszerint elvégezve az átalakításokat , tehát szimmetrikus az szimmetrikus a P(1, 1) pontra. Egy alternatív módszer, hogy belátjuk, hogy a függvény megkapható -ből eltolással, azaz 1-gyel x irányba, és 1-gyel y irányba.

Értelmezési tartomány, nevezetes pontok[szerkesztés]

A racionális törtfüggvény nincs értelmezve a polinom gyökeiben. Nullhelyei azok a helyek, melyek gyökei -nek, de nem gyökei -nak.

Speciális esetben az valós szám mind a számlálónak, mind a nevezőnek gyöke. Polinomosztással kiemelhető egy vagy több tényező mind a számlálóból, mind a nevezőből. Hogy hányszor, azt a gyök multiplicitásának nevezik.

  • Ha a nevezőben nagyobb a multiplicitás, akkor a hely pólushely, és a nevezőbeli multiplicitás a pólushely multiplicitása.
  • Különben a szakadás megszüntethető.

Példák:

  • Az függvény értelmezési tartománya , mivel a nevezőnek nullhelye . A függvénynek nullhelye van -ben, mivel ez a számlálónak egy olyan nullhelye, ami nem gyöke a nevezőnek. kétszeres pólus.
  • Az függvény értelmezési tartománya . Itt azonban 1 a számláló és a nevező közös gyöke. Kiemelve az tényezőt, adódik, hogy . Innen egyszeres pólus, megszüntethető szakadás, nullhely. Az helyen nincs nullhely, mivel itt a függvény nincs értelmezve. folytonos folytatására és .

Aszimptoták[szerkesztés]

Polinomosztással kapjuk a függvény alakját, ahol és polinomok, és fokszáma kisebb, mint fokszáma. Az függvény aszimptotikus viselkedését a polinom határozza meg. A polinomosztást csak a harmadik és a negyedik esethez érdemes elvégezni.

  1. → az x-tengely aszimptota:
  2. → függőleges aszimptota:
  3. → ferde aszimptota: (a 4-es speciális esete)
  4. → racionális egészfüggvény mint közelítőfüggvény, lásd approximáció

Derivált[szerkesztés]

A racionális törtfüggvények deriválásához általában a hányadosszabályt lehet használni, habár gyakran a láncszabály is hasznos lehet, például ha a nevező egy kéttagú összeg hatványa. A deriválás előtt előnyös elvégezni a polinomosztást, a számláló és a nevező közös tagjainak kiemelését egy külön tényezőbe, hogy a függvény alakja minél egyszerűbb legyen.

Példák:

  • Az függvény esetén érdemes a láncszabályt is használni, mivel a nevezőben binom hatványa szerepel. A láncszabállyal a nevező deriváltja:
    ,
így a teljes függvény deriváltja
.
A számlálóban kiemelhetünk egy tényezőt:
.
  • Az függvény polinomosztással
alakra hozható, ahonnan leolvasható a ferde aszimptota egyenlete:
.
A számláló és a nevező tényezőkre bontása:
,

felismerhető és kiemelhető mindkét helyen egy tényező. A deriválásra előkészített alak:

;

az egyszerűség kedvéért ebből az

;

tényezőt fogjuk deriválni. A hányadosszabállyal

.

A szélsőértékek kereséséhez a deriváltat újra beszorozzuk az elhagyott tényezővel:

.

Primitív függvény[szerkesztés]

A racionális egészfüggvényekkel szemben a racionális törtfüggvényeknek gyakran viszonylag nehéz meghatározni a primitív függvényét. A racionális törtfüggvény alakja szerint a következő összefüggéseket lehet használni, amihez általában a megfelelő alakra kell hozni:

ha
ha
vagy
ha
ha
ha

Szükség lehet a parciális törtekre bontásra is. Példák:

  • Keressük az függvény primitív függvényét. Polinomosztással:
    .
Az első szabály alkalmazásával a primitív függvény:
.
  • Keressük az függvény primitív függvényét, ha abszolútértéke legfeljebb 0,5. Polinomosztással
    .
A negyedik szabállyal:
.
  • Keressük az függvény primitív függvényét. A függvény írható úgy is, mint
    , ahol .
Az utolsó szabály primitív függvénye:
.
  • Az függvény primitív függvénye az helyettesítéssel határozható meg, miután a nevezőt teljes négyzetté alakítottuk:
  • Az primitív függvénye parciális törtekre bontással kapható a kiemelések után:

Alkalmazások[szerkesztés]

A természettudományokban és a technikában számos alkalmazásuk van a racionális törtfüggvényeknek:

  • Rögzített út megtételéhez szükséges idő és sebesség.
  • Adott mennyiségű oldott anyag koncentrációja fordítottan arányos az oldószer térfogatával.
  • Adott erő esetén a gyorsított test tömege és gyorsulása.
  • Egy síkkondenzátor elektromos kapacitása a lemezek közötti távolság függvényében:
,
ahol a lemezek felülete, a vákuum permittivitása, és a permittivitás.
  • A fizika több területén is előkerül az függvény a harmonikus középpel összefüggően. Ha az egyiket paraméternek tekintjük vagy adottnak vesszük, akkor a másik racionális törtfüggvénye adódik. KÉt másik függvény reciprokainak összegének reciprokáról van szó.
  • Az optikában egy lencse gyújtótávolsága a tárgy és a kép távolságágából számítható: ; átrendezve hasonló képlet adódik, de összeadás helyett kivonással.
  • Párhuzamos kapcsolás esetén két ellenállás, és együttes ellenállása: . Hasonló teljesül két sorosan kapcsolt kondenzátor kapacitására.
  • A mechanikában ha két rugót egymás után függesztünk, és rugóállandójuk és , akkor az együttes rugóállandó .
  • Feszültségelosztó esetén egy ellenálláson eső feszültség , ahol az elosztandó feszültség és a másik ellenállás.
  • Egy ellenállású fogyasztó által leadott teljesítményére adódik, hogy , ahol feszültség és a feszültségforrás belső ellenállása. A legnagyobb lehetséges teljesítmény: .
  • Egy nem túl rövid induktivitású tekercsre az sugárral összefüggésben teljesül a következő: , ahol a tekercs hossza, a menetek száma, a mágneses mező konstansa.
  • Egy Atwood-féle gép esetén az gyorsulás a következőképpen függ és tömegektől: ; tekinthető vagy racionális törtfüggvényének.
  • A geometria is felvethet olyan kérdéseket, amelyekre racionális törtfüggvény adja a választ: Egy test egy , , és élű téglatest és egy erre illesztett magasságú, sugarú félhenger egyesítése. Adott térfogat esetén a felszín: .

Polinomok hányadosteste[szerkesztés]

Az absztrakt algebrában a polinomok hányadosteste hasonlóan áll elő polinomokból. Egy test fölötti változós polinomgyűrű hányadostestéről van szó absztrakt értelemben.

A racionális törtfüggvények szoros kapcsolatban állnak a polinomok gyűrűjének hányadostestével, de a két fogalom nem azonos. Például a

és a

kifejezések mint a valós együtthatós polinomok hányadostestének elemei egyenlőek, mivel ott osztható -gyel, és a hányados . De ha -et és -et mint racionális törtfüggvényeket tekintjük, akkor nem egyenlőek, hiszen értelmezhető az helyen, viszont nem.

Véges test fölött a különbségtétel még egyszerűbb: (maradékosztályok teste modulo egyp prímszám) fölött definiált hányadostestben jóldefiniált racionális függvénye -nek, habár szűkebb értelemben véve nem függvény, mivel sehol sem értelmezhető.

Ugyanis behelyettesítve elemeit, kapjuk, hogy , ami nem értelmezhető, hiszen a kis Fermat-tétel miatt azonosan nulla. Végtelen test fölött ugyanez nem fordulhat elő, csak viszonylag kevés helyen nincs egy racionális törtfüggvény értelmezve. A Zariski-topológia szerint azok a helyek, ahol a függvény nincs értelmezve, Zariski-zárt halmazt alkotnak, és az értelmezési tartomány lezártja a teljes halmaz.

Legyen varietás, amit az polinomok definiálnak. Azaz

esetén. Vagyis

Az egfész függvények gyűrűje . A racionális függvények teste ennek hányadosteste.

Általánosabb a racionális leképezések fogalma, azaz a kvázi-projektív varietásoké. A racionális függvények egy varietás -be menő racionális leképezéseinek speciális esetei.

Források[szerkesztés]

Commons:Category:Rational functions
A Wikimédia Commons tartalmaz Racionális törtfüggvény témájú médiaállományokat.

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Rationale Funktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Irodalom[szerkesztés]

  • Bronstein – Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091
  • Dr. Hack & all.: Négyjegyű függvénytáblázatok,…(Nemzeti Tankönyvkiadó, 2004) ISBN 978-963-19-5703-7
  • Reiman István: Matematika (Műszaki Könyvkiadó, 1992)
  • Reinhardt, F. – Soeder, H.: SH atlasz-Matematika (Springer-Verlag, 1993)
  • Sain Márton: Matematikatörténeti ABC (Nemzeti Tankönyvkiadó - Typotex, 1993)
  • Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei (Közoktatásügyi Kiadóvállalat, 1951)
  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.