Hányadosszabály

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a hányadosszabály egy módszer arra, hogyan lehet egy függvény deriváltját megtalálni, ahol a függvény két másik deriválható függvény hányadosa. [1][2][3]

Ha az f(x) differenciálandó függvény felírható

f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}

alakban, ahol h(x)\not=0,

akkor a szabály szerint a g(x)/h(x) deriváltja:

f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}.

Még pontosabban, ha egy nyílt halmazban minden x tartalmaz egy a számot, mely kielégíti a h(x)\not=0 feltételt, továbbá g'(a) és h'(a) létezik, akkor f'(a) is létezik, és

f'(a)=\frac{h(a)g'(a) - h'(a)g(a)}{[h(a)]^2}.

Ez kiterjeszthető a második deriváltra is (ez bizonyítható ha kétszer vesszük a f(x)=g(x)(h(x))^{-1} deriváltját).

Az eredmény:

f''(x)=\frac{g''(x)[h(x)]^2-2g'(x)h(x)h'(x)+g(x)[2[h'(x)]-h(x)h''(x)]}{[h(x)]^4}.

A hányadosszabály levezethető a szorzatszabályból, és a láncszabályból.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

(4x - 2)/(x^2 + 1) deriváltja:

\begin{align}\frac{d}{dx}\left[\frac{(4x - 2)}{x^2 + 1}\right] &= \frac{(x^2 + 1)(4) - (4x - 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2}\\
& = \frac{(4x^2 + 4) - (8x^2 - 4x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-4x^2 + 4x + 4}{(x^2 + 1)^2}\end{align}.

A fenti példában:

g(x) = 4x - 2
h(x) = x^2 + 1


Hasonlóképpen a sin(x)/x2 deriváltja (ha x ≠ 0):


\frac{\cos(x) x^2 - \sin(x)2x}{x^4}

Korlátok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A hányados-szabály nem használható olyan pontokban, ahol a számláló, vagy a nevező nem diffrenciálható; Az lehetséges, hogy a hányados differenciálható ezekben a pontokban:

Például, tekintsük a következő függvényt:


f(x) = \frac{|x|+1}{|x|+1},

ahol |x|, x abszolút értéke.

A függvény értéke, természetesen f(x) = 1, úgy hogy mindenhol differenciálható, és f'(0) = 0. Ha megpróbáljuk a hányados-szabályt alkalmazni a f'(0)-ra, akkor egy definiálhatatlan érték jönne ki, mivel |x| nem differenciálható x = 0-nál.

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Algebrai bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A tétel algebrai bizonyítása[4]

Láncszabály alkalmazása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tekintsük az alábbi egyenletet:

 \frac{u}{v}\; =\; \frac{1}{4}\left[ \left( u+\frac{1}{v} \right)^{2}-\; \left( u-\frac{1}{v} \right)^{2} \right]

majd:

\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{d}{dx}\frac{1}{4}\left[ \left( u+\frac{1}{v} \right)^{2}-\; \left( u-\frac{1}{v} \right)^{2} \right]

ez vezet a következő egyenlőségre:

\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{1}{4}\left[ 2\left( u+\frac{1}{v} \right)\left( \frac{du}{dx}-\frac{dv}{v^{2}dx} \right)-\; 2\left( u-\frac{1}{v} \right)\left( \frac{du}{dx}+\frac{dv}
{v^{2}dx} \right) \right].

A szorzások elvégzése után:

\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{1}{4}\left[ \frac{4}{v}\frac{du}{dx}-\frac{4u}{v^{2}}\frac{dv}{dx} \right]

végül közös nevezőre hozva megkapjuk az eredményt:

\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{\left[ v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx} \right]}{v^{2}}

Szorzatszabály alkalmazása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szorzatszabály szorzatok (2 vagy több függvény szorzatánál) deriváltjának kiszámítására használható. Legyen  y = \frac{u}{v}.

Kissé átírva:

 y = \frac{u}{v} = uv^{-1}. A szorzatszabályt és a láncszabályt használva a differenciáláshoz:

\frac{dy}{dx} = u'v^{-1} - v^{-2}uv' = \frac{u'}{v} - \frac{uv'}{v^{2}}

Megszorozva az első tört számlálóját és nevezőjét v-vel, kapjuk:

\frac{dy}{dx} = \frac{vu'}{v^2} - \frac{uv'}{v^{2}} = \frac{vu' - uv'}{v^{2}} ,

ami a hányadosszabály.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • James Stewart: Calculus: Early Transcendentals. 6th ed. (hely nélkül): Brooks/Cole. 2008. ISBN 0495011665  
  • Ron Larson – Bruce H. Edwards: Calculus. 9th ed. (hely nélkül): Brooks/Cole. 2009. ISBN 0547167024  
  • Reiman István: Matematika. (hely nélkül): Typotex Kft. 2011. ISBN 9789632793009  
  • Gerőcs L – Dr.Vancsó Ödön: Matematika. (hely nélkül): Akadémia Kiadó Zrt. 2010. ISBN 9789630584883  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals, 6th, Brooks/Cole (2008). ISBN 0-495-01166-5 
  2. Calculus, 9th, Brooks/Cole (2009). ISBN 0-547-16702-4 
  3. Thomas' Calculus: Early Transcendentals, 12th, Addison-Wesley (2010). ISBN 0-321-58876-2 
  4. http://people.hofstra.edu/stefan_waner/realworld/proofs/quotientruleproof.html