Hányadosszabály

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a hányadosszabály egy módszer arra, hogyan lehet egy függvény deriváltját megtalálni, ahol a függvény két másik deriválható függvény hányadosa.[1][2][3]

Ha az differenciálandó függvény felírható

alakban, ahol ,

akkor a szabály szerint a deriváltja:

Még pontosabban, ha egy nyílt halmazban minden x tartalmaz egy a számot, mely kielégíti a feltételt, továbbá és létezik, akkor is létezik, és

Ez kiterjeszthető a második deriváltra is (ez bizonyítható ha kétszer vesszük a deriváltját).

Az eredmény:

A hányadosszabály levezethető a szorzatszabályból, és a láncszabályból.

Példák[szerkesztés]

deriváltja:

.

A fenti példában:

Hasonlóképpen a sin(x)/x2 deriváltja (ha x ≠ 0):

Korlátok[szerkesztés]

A hányados-szabály nem használható olyan pontokban, ahol a számláló, vagy a nevező nem differenciálható. Az lehetséges, hogy a hányados differenciálható ezekben a pontokban:

Például, tekintsük a következő függvényt:

ahol |x|, x abszolút értéke.

A függvény értéke, természetesen f(x) = 1, úgy hogy mindenhol differenciálható, és f'(0) = 0. Ha megpróbáljuk a hányados-szabályt alkalmazni a f'(0)-ra, akkor egy definiálhatatlan érték jönne ki, mivel |x| nem differenciálható x = 0-nál.

Bizonyítás[szerkesztés]

Algebrai bizonyítás[szerkesztés]

A tétel algebrai bizonyítása[4]

Láncszabály alkalmazása[szerkesztés]

Tekintsük az alábbi egyenletet:

majd:

ez vezet a következő egyenlőségre:

.

A szorzások elvégzése után:

végül közös nevezőre hozva megkapjuk az eredményt:

Szorzatszabály alkalmazása[szerkesztés]

A szorzatszabály szorzatok (2 vagy több függvény szorzatánál) deriváltjának kiszámítására használható. Legyen .

Kissé átírva:

A szorzatszabályt és a láncszabályt használva a differenciáláshoz:

Megszorozva az első tört számlálóját és nevezőjét -vel, kapjuk:

,

ami a hányadosszabály.

Irodalom[szerkesztés]

  • James Stewart: Calculus: Early Transcendentals. 6th ed. (hely nélkül): Brooks/Cole. 2008. ISBN 0495011665  
  • Ron Larson – Bruce H. Edwards: Calculus. 9th ed. (hely nélkül): Brooks/Cole. 2009. ISBN 0547167024  
  • Reiman István: Matematika. (hely nélkül): Typotex Kft. 2011. ISBN 9789632793009  
  • Gerőcs L – Dr.Vancsó Ödön: Matematika. (hely nélkül): Akadémia Kiadó Zrt. 2010. ISBN 9789630584883  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

  1. Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals, 6th, Brooks/Cole (2008). ISBN 0-495-01166-5 
  2. Calculus, 9th, Brooks/Cole (2009). ISBN 0-547-16702-4 
  3. Thomas' Calculus: Early Transcendentals, 12th, Addison-Wesley (2010). ISBN 0-321-58876-2 
  4. http://people.hofstra.edu/stefan_waner/realworld/proofs/quotientruleproof.html