|
Ez a szócikk szaklektorálásra, tartalmi javításokra szorul. A felmerült kifogásokat a szócikk vitalapja (extrém esetben a szócikk szövegében elhelyezett, kikommentelt szövegrészek) részletezi. Ha nincs indoklás a vitalapon (vagy szerkesztési módban a szövegközben), bátran távolítsd el a sablont! |
A derivált a függvénygörbe érintőjének meredeksége, azaz az érintő
x tengellyel bezárt szögének tangense. Minél jobban nő a függvény egy adott szakaszon, annál nagyobb a derivált.
A matematikában a derivált (vagy differenciálhányados) a matematikai analízis egyik legalapvetőbb fogalma. A derivált lényegében annak a mértéke, hogy egy egyváltozós valós függvény görbéjéhez rajzolt érintője milyen meredek. Ez a geometriai jellegű fogalom szoros kapcsolatban van a függvény növekedésének elemzésével, a függvényvizsgálattal. A deriváltból következtethetünk a függvény
- menetére (azaz, hogy monoton növekvő vagy monoton fogyó-e),
- szélsőértékeire (lehet-e az adott pontban maximuma vagy minimuma),
- grafikonjának görbületére (konvex vagy konkáv-e a függvénygörbe)
- a növekedés mértékére (gyorsan változik-e a függvény vagy lassan)
- a függvény közelítő értékére, lineárissal történő közelíthetőségére.
A derivált fogalma a 16. és a 17. században fejlődött ki, geometriai és mechanikai problémák megoldása során. Azóta a differenciálszámítás a matematika nagyon jól feldolgozott témaköre,[1] alkalmazása számos tudományban nélkülözhetetlen. Szigorú matematikai fogalomként csak a függvények differenciálhatóságának fogalmával együtt tárgyalható, de szemléletes tartalma enélkül is megérthető.
Pontos definíció és jelölések[szerkesztés]
Legyen f egyváltozós valós függvény, x0 az értelmezési tartományának egy belső pontja. Ekkor az f függvény x0-beli deriváltján vagy differenciálhányadosán[2] a

határértéket értjük, ha ez létezik és véges (azaz valós szám).[3]
Mivel a határérték egyértelmű, ha egyáltalán létezik, ugyanígy a derivált is egyértelmű.
A fenti határérték, azaz a derivált jele:
, vagy
, vagy 
Az első a Lagrange-féle jelölés, ő használta először a „derivált” kifejezést. A második a Leibniz-féle, ő differenciálhányadosnak nevezte (később Hamilton differenciálkoefficiensként említi). Newton a deriváltat ponttal jelölte:
és fluxiónak nevezte.[4]
Rögzített x esetén az

hányadost differenciahányadosnak vagy különbségi hányadosnak szokás nevezni. Ezután a derivált definiálható úgy is, mint a különbségi hányados
melletti határértéke.
A jobb oldali derivált akkor létezik, ha a
határérték létezik és véges.
A bal oldali derivált akkor létezik, ha a
határérték létezik és véges.
Az x pontbeli differenciálhányados a fenti definícióval ekvivalens módon felírható a következőképpen is:
illetve 
h-t, illetve Δx-et a független változó növekményének, míg f(x+h) – f(x)-et, illetve f(x+Δx) – f(x) -et a függvény vagy a függő változó növekményének nevezzük. Ez az írásmód a következő szemléletes értelmezésekkel kapcsolatos.
Mechanikai értelmezés[szerkesztés]
A vizsgált függvényt egy mozgó test s(t) út-idő összefüggésének tekintve, t időpontra és Δt időtartamra a következőképp írható fel a különbségi hányados:

A számlálóban a megtett út, a nevezőben az út megtételéhez szükséges idő áll, így a hányados a test [t, t + Δt] időintervallumban számított átlagsebességét adja. Ha „egyre kisebb” Δt időtartamokra számoljuk ki ezt a hányadost, például 0,01, 0,001, … másodpercre (a lényeg, hogy 0-hoz tartunk), akkor a hányados értéke egyre kevésbé változik, és egyre inkább csak a t időpontra jellemző sebességadatot, a pillanatnyi sebességet adja:

Az
pontozott jelölést Newton óta a t változótól függő függvények deriváltjának jelölésére alkalmazzák.
Newton a differenciálszámítást a mechanika alaptörvényeinek felállítására alkalmazta, így ebben a tudományban nagyon sok fogalom feltételezi a deriválás eszközét.
Geometriai értelmezés[szerkesztés]
Legyen
egyváltozós valós differenciálható függvény,
és
egy-egy szám az értelmezési tartományból. A képüket jelölje
és
. Ekkor a koordinátasíkon az
és
pontokat összekötő egyenes a függvénygrafikon egy szelője. A szelő meredeksége éppen az
differenciahányados. Ha
tart
-hoz, a szelők az érintőhöz, a differenciahányados pedig az
-beli differenciálhányadoshoz tart. Tehát a függvény
-beli differenciálhányadosa a függvénygrafikon
-beli érintőjének meredekségét adja meg.
Egyszerűbb, például algebrai függvények esetén a deriváltat a függvény értelmezési tartományának minden pontjában „egyszerre” (azaz függvényként), nehézség nélkül megadhatjuk. Például legyen a deriválandó függvény:

A különbségi hányados tetszőleges x pontban és tetszőleges Δx-re:



Vagyis a derivált:

A határérték-számítás miatt Δx ≠ 0, ezért lehet vele egyszerűsíteni:

A kifejezés Δx-re másodfokú. A polinomfüggvények folytonosságát felhasználva a határérték egyszerűen a Δx=0 behelyettesítéssel számolható.
Fontos, hogy magát a különbségi hányadost nem kell kiértékelnünk Δx=0 esetben, hiszen határérték-számítást végzünk, viszont a folytonosság miatt a már egyszerűsített kifejezésbe beírhatjuk Δx helyére a 0-t:


Elemi függvények deriváltjai[szerkesztés]
Függvény neve
|
jele
|
deriváltja
|
konstans
|
|
|
konstans szorzó
|
|
|
konstans alap, függvény kitevő
|
|
|
hatvány
|
|
|
exponenciális (e az Euler-féle szám)
|
|
|
természetes logaritmus
|
|
|
logaritmus (a pozitív és nem 1)
|
|
|
Trigonometrikus függvények
|
szinusz
|
|
|
koszinusz
|
|
|
tangens
|
|
|
kotangens
|
|
|
Hiperbolikus függvények
|
hiperbolikus szinusz
|
|
|
hiperbolikus koszinusz
|
|
|
hiperbolikus tangens
|
|
|
hiperbolikus kotangens
|
|
|
Inverz trigonometrikus függvények
|
arkusz szinusz
|
|
|
arkusz koszinusz
|
|
|
arkusz tangens
|
|
|
arkusz kotangens
|
|
|
Inverz hiperbolikus függvények
|
area hiperbolikus szinusz
|
|
|
area hiperbolikus koszinusz
|
|
|
area hiperbolikus tangens
|
|
|
area hiperbolikus kotangens
|
|
|
Műveletek deriváltjai[szerkesztés]
Művelet
|
Deriváltja
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ↑ Az alapfogalmak kiváló feldolgozása megtalálható például a következő alapműben: Spivak, Michael, Calculus (3rd ed.), Publish or Perish, 1994, ISBN 978-0-914098-89-8
- ↑ A differenciálhányados inkább egy pontbeli értéket jelent, a derivált pedig az ezekből álló függvényt. A megkülönböztetés azonban annyira jelentéktelen, hogy a szakirodalomban is összemosódik.
- ↑ Lásd Bátkai András, Differenciálszámítás, ELTE jegyzet.
- ↑ Differential calculus, derivative entry in Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics, Jeff Miller & al