Derivált

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A derivált a függvénygörbe érintőjének meredeksége, azaz az érintő x tengellyel bezárt szögének tangense. Minél jobban nő a függvény egy adott szakaszon, annál nagyobb a derivált.

A matematikában a derivált (vagy differenciálhányados) a matematikai analízis egyik legalapvetőbb fogalma. A derivált lényegében annak a mértéke, hogy egy egyváltozós valós függvény görbéjéhez rajzolt érintője milyen meredek. Ez a geometriai jellegű fogalom szoros kapcsolatban van a függvény növekedésének elemzésével, a függvényvizsgálattal. A deriváltból következtethetünk a függvény

  • menetére (azaz, hogy monoton növekvő vagy monoton fogyó-e),
  • szélsőértékeire (lehet-e az adott pontban maximuma vagy minimuma),
  • grafikonjának görbületére (konvex vagy konkáv-e a függvénygörbe)
  • a növekedés mértékére (gyorsan változik-e a függvény vagy lassan)
  • a függvény közelítő értékére, lineárissal történő közelíthetőségére.

A derivált fogalma a 16. és a 17. században fejlődött ki, geometriai és mechanikai problémák megoldása során. Azóta a differenciálszámítás a matematika nagyon jól feldolgozott témaköre,[1] alkalmazása számos tudományban nélkülözhetetlen. Szigorú matematikai fogalomként csak a függvények differenciálhatóságának fogalmával együtt tárgyalható, de szemléletes tartalma enélkül is megérthető.

Pontos definíció és jelölések[szerkesztés]

Legyen f egyváltozós valós függvény, x0 az értelmezési tartományának egy belső pontja. Ekkor az f függvény x0-beli deriváltján vagy differenciálhányadosán[2] a

határértéket értjük, ha ez létezik és véges (azaz valós szám).[3]

Mivel a határérték egyértelmű, ha egyáltalán létezik, ugyanígy a derivált is egyértelmű. A fenti határérték, azaz a derivált jele:

, vagy , vagy

Az első a Lagrange-féle jelölés, ő használta először a „derivált” kifejezést. A második a Leibniz-féle, ő differenciálhányadosnak nevezte (később Hamilton differenciálkoefficiensként említi). Newton a deriváltat ponttal jelölte: és fluxiónak nevezte.[4]

Rögzített x esetén az

hányadost differenciahányadosnak vagy különbségi hányadosnak szokás nevezni. Ezután a derivált definiálható úgy is, mint a különbségi hányados melletti határértéke.

A jobb oldali derivált akkor létezik, ha a határérték létezik és véges.

A bal oldali derivált akkor létezik, ha a határérték létezik és véges.

Magyarázat[szerkesztés]

Az x pontbeli differenciálhányados a fenti definícióval ekvivalens módon felírható a következőképpen is:

illetve

h-t, illetve Δx-et a független változó növekményének, míg f(x+h) – f(x)-et, illetve f(xx) – f(x) -et a függvény vagy a függő változó növekményének nevezzük. Ez az írásmód a következő szemléletes értelmezésekkel kapcsolatos.

Mechanikai értelmezés[szerkesztés]

A vizsgált függvényt egy mozgó test s(t) út-idő összefüggésének tekintve, t időpontra és Δt időtartamra a következőképp írható fel a különbségi hányados:

A számlálóban a megtett út, a nevezőben az út megtételéhez szükséges idő áll, így a hányados a test [t, t + Δt] időintervallumban számított átlagsebességét adja. Ha „egyre kisebb” Δt időtartamokra számoljuk ki ezt a hányadost, például 0,01, 0,001, … másodpercre (a lényeg, hogy 0-hoz tartunk), akkor a hányados értéke egyre kevésbé változik, és egyre inkább csak a t időpontra jellemző sebességadatot, a pillanatnyi sebességet adja:

Az pontozott jelölést Newton óta a t változótól függő függvények deriváltjának jelölésére alkalmazzák.

Newton a differenciálszámítást a mechanika alaptörvényeinek felállítására alkalmazta, így ebben a tudományban nagyon sok fogalom feltételezi a deriválás eszközét.

Geometriai értelmezés[szerkesztés]

Legyen egyváltozós valós differenciálható függvény, és egy-egy szám az értelmezési tartományból. A képüket jelölje és . Ekkor a koordinátasíkon az és pontokat összekötő egyenes a függvénygrafikon egy szelője. A szelő meredeksége éppen az differenciahányados. Ha tart -hoz, a szelők az érintőhöz, a differenciahányados pedig az -beli differenciálhányadoshoz tart. Tehát a függvény -beli differenciálhányadosa a függvénygrafikon -beli érintőjének meredekségét adja meg.

Kiszámítása[szerkesztés]

Egyszerűbb, például algebrai függvények esetén a deriváltat a függvény értelmezési tartományának minden pontjában „egyszerre” (azaz függvényként), nehézség nélkül megadhatjuk. Például legyen a deriválandó függvény:

A különbségi hányados tetszőleges x pontban és tetszőleges Δx-re:

Vagyis a derivált:

A határérték-számítás miatt Δx ≠ 0, ezért lehet vele egyszerűsíteni:

A kifejezés Δx-re másodfokú. A polinomfüggvények folytonosságát felhasználva a határérték egyszerűen a Δx=0 behelyettesítéssel számolható.

Fontos, hogy magát a különbségi hányadost nem kell kiértékelnünk Δx=0 esetben, hiszen határérték-számítást végzünk, viszont a folytonosság miatt a már egyszerűsített kifejezésbe beírhatjuk Δx helyére a 0-t:

Elemi függvények deriváltjai[szerkesztés]

Függvény neve jele deriváltja
konstans
konstans szorzó
konstans alap, függvény kitevő
hatvány
exponenciális (e az Euler-féle szám)
természetes logaritmus
logaritmus (a pozitív és nem 1)
Trigonometrikus függvények
szinusz
koszinusz
tangens
kotangens
Hiperbolikus függvények
hiperbolikus szinusz
hiperbolikus koszinusz
hiperbolikus tangens
hiperbolikus kotangens
Inverz trigonometrikus függvények
arkusz szinusz
arkusz koszinusz
arkusz tangens
arkusz kotangens
Inverz hiperbolikus függvények
area hiperbolikus szinusz
area hiperbolikus koszinusz
area hiperbolikus tangens
area hiperbolikus kotangens

Műveletek deriváltjai[szerkesztés]

Művelet Deriváltja

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Az alapfogalmak kiváló feldolgozása megtalálható például a következő alapműben: Spivak, Michael, Calculus (3rd ed.), Publish or Perish, 1994, ISBN 978-0-914098-89-8
  2. A differenciálhányados inkább egy pontbeli értéket jelent, a derivált pedig az ezekből álló függvényt. A megkülönböztetés azonban annyira jelentéktelen, hogy a szakirodalomban is összemosódik.
  3. Lásd Bátkai András, Differenciálszámítás, ELTE jegyzet.
  4. Differential calculus, derivative entry in Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics, Jeff Miller & al

További információk[szerkesztés]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]