Differenciálhatóság

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A differenciálható függvény egy pontjának akármilyen kis környezetében egyenessel közelíthető

A matematikában a differenciálhatóság a matematikai analízis egyik legalapvetőbb fogalma. Egy függvényt egy pontjában lényegében akkor nevezünk differenciálhatónak, ha ott jól közelíthető lineáris függvénnyel, azaz a függvény grafikonja abban a pontban tetszőlegesen választott hibahatáron belül nem különbözik egy egyenestől, a görbe érintőegyenesétől.

A differenciálhatóságnak azon folyamatok leírásában van fölülmúlhatatlan jelentősége, melyek nem diszkrét lépésekben változnak (mint a sakklépések), hanem pillanatról pillanatra folytonosan (mint a fizikai folyamatok). Nem véletlen, hogy a differenciálszámítást (Leibniz mellett) először Newton alkalmazta a mechanika törvényeinek felállításakor.

Definíció[szerkesztés]

Legyen f a valós számok egy részhalmazán értelmezett, valós értékű függvény. Legyen a az f értelmezési tartományának egy olyan pontja, mely egyben az értelmezési tartomány torlódási pontja is (azaz akármilyen kis környezetében tartalmaz a-tól különböző értelmezési tartománybeli pontot). Azt mondjuk, hogy f differenciálható az a pontban, ha létezik a

határérték és ez véges szám.

A fent említett véges határértéket az f függvény a pontbeli differenciálhányadosának vagy deriváltjának nevezzük és a következőképpen jelöljük:

Gyakori szóhasználat, hogy az [f(x)-f(a)]/(x-a) hányadost differenciahányadosnak vagy különbségi hányadosnak nevezik és az f(x)-f(a) különbséget Δy-nal, az x-a különbséget pedig Δx-szel jelölik. Ekkor a differenciahányados

és ennek határértéke, az y=f(x) függvény differenciálhányadosa, a Leibniz-féle jelölés szerint:

Innen a "differenciálhatóság" illetve "differenciálhányados" elnevezés. A leibnizi jelölés hátránya, hogy nehezen jelölhető, hogy a függvény értelmezési tartománya mely pontja beli deriváltról van szó. Ha ezt hangsúlyozni akarjuk, akkor a

vagy a

jelöléseket használhatjuk.

A fizikában az idő szerinti deriváltat (Newton eredeti jelölését használva) ponttal jelölik. Például egy test p impulzusának idő szerinti deriváltja a t időpillanatban:

Ekvivalens átfogalmazások[szerkesztés]

Legyen f valós-valós függvény, a az értelmezési tartományának egy belső pontja. Ekkor az alábbi három kijelentés egyenértékű:

A definíció[szerkesztés]

f differenciálható a-ban, azaz létezik és véges a következő határérték:

Differenciállal történő jellemzés[szerkesztés]

Létezik olyan Afa: R R; zαz lineáris leképezés (α valós szám), hogy
(Vagyis az f függvény az a pontban elsőrendben érintkezik az x f(a)+ α(x – a) lineáris függvénnyel.) Ekkor az Afa-t (folytonos) lineáris leképezést df(a)-val jelöljük és az f a-beli differenciáljának mondjuk.

Caratheodory-féle átfogalmazás[szerkesztés]

Létezik olyan Cfa, az f értelmezési tartományán értelmezett, a-ban folytonos függvény, hogy minden x-re az f értelmezési tartományából:

Lineáris közelítés hibatagjával felírt alak[szerkesztés]

Létezik olyan Afa: R R; zαz lineáris leképezés (α valós szám) illetve olyan ε, az f értelmezési tartományán értelmezett, a-ban folytonos függvény, mely az a-ban a 0 értéket veszi fel (ε(a) = 0 ) és minden x-re az f értelmezési tartományából:

Ha mindezek teljesülnek, akkor az Afa és Cfa függvények egyértelműek, valamint fennáll az

egyenlőség.

Megjegyzés. A Caratheodory-féle definíció lényegesen megkönnyíti a differenciálhatóság alapvető tulajdonságainak bizonyítását, a differenciál leképezéssel történő átfogalmazás pedig egyenes utat nyit a differenciálhatóság (egyfajta) többdimenziós általánosítása irányába.

A differenciálhatóság geometriai jellemzése[szerkesztés]

A differenciálható függvény görbéjének egy pontjából kiinduló szelőknek van határhelyzete, amit érintőnek nevezünk. A koordináta-rendszerben a görbéhez húzott érintőegyenes meredeksége adja a deriváltat.

A differenciálhatóság szoros kapcsolatban van a függvénygörbe egy adott pontjához húzott érintőjével. Az érintő létezése és az érintőegyenes egyenletének felírása tulajdonképpen nem más mint a differenciálhatóság és a differenciálás.

A görbe egy adott P0 pontjából a görbe P0-hoz közeli pontjaihoz szelőket rajzolunk. Ha szelők másik végpontját közelítjük P0-hoz és azt tapasztaljuk, hogy ezek iránya egyetlen irányhoz, egy határhelyzethez tart, akkor azt mondhatjuk, hogy a függvénynek van érintője, és az érintőegyenest ekként a határegyenesként értelmezhetjük.

Ha mindezt koordináta-rendszerben ábrázoljuk, akkor az érintőegyenes

vagy

egyenletében (x0 és y0 a P0 pont koordinátái, vagyis f(x0)=y0, az utóbbi egyenletben x=x0 esetén y=y0) az m meredekség éppen a függvény x0-beli deriváltja lesz:

Ugyanis a szelőegyenesek meredekségei (az egyenes egyenletének fenti második alakjában felírva):

ahol az (xn,f(xn)) pont a szelő P0-tól különböző, görbére eső pontjának koordinátái. A szelőegyenesek határhelyzete tehát

azaz a derivált.

A differenciálhatóság nemsztenderd jellemzése[szerkesztés]

A nemsztenderd analízis didaktikailag előnyösebb tárgyalásmódban, végtelen kis mennyiségeken keresztül fogalmazza meg a differenciálhatóságot. Hátránya, hogy a "végtelen kis szám" fogalma csak komoly modellelméleti apparátus felvonultatása után válik pontos matematikai fogalommá.

A XIX. század második felében Cauchy és Weierstrass munkássága nyomán a "végtelen kis mennyiség" addig bevett módon történő használata visszaszorult, pedig addig az analízist szinte kizárólag ilyen mennyiségekkel történő számítások segítségével művelték. Később Skolem bizonyított egy tételt, miszerint a Peano-axiómáknak nem csak a szokásos, úgynevezett sztenderd, halmazelméleti N halmaz a modellje, hanem van a természetes számok halmazánál nagyobb számosságú *N halmaz is, mely teljesíti ezeket az axiómákat, az ilyen nem szándékolt modelleket nevezik nemsztenderd modelleknek. Ezt felhasználva Robinson a 60-as években kidolgozta a matematikai analízis nemsztenderd tárgyalásmódját, mely legitimizálta az analízis hőskorában használt "infinitezimális mennyiség" kifejezést. Ezek a valós számok R halmaza *R bővítésének olyan pozitív elemei, melyek némelyike minden sztenderd pozitív számnál kisebb – vagyis végtelen kicsiny mennyiségek.

Lásd még: nemsztenderd analízis.

Tétel. – Legyen f valós-valós függvény, x az értelmezési tartományának egy belső pontja.

f akkor és csak akkor differenciálható (sztenderd értelmeben) az x pontban, ha létezik olyan c (sztenderd) valós szám, hogy tetszőleges dx végtelenül kicsiny mennyiségre:

ahol azt jelenti, hogy a bal és jobb oldal különbsége legfeljebb csak egy végtelenül kicsiny szám. Ekkor c a függvény x pont beli deriváltja.

Az f(x+dx) – f(x) különbséget, vagyis a függvény megváltozását, mely a független változó végtelen kis dx megváltozása során keletkezik df(x)-szel jelölik és a függvény (régi értelemben vagy nemsztenderd értelemben vett) differenciáljának nevezik. A függvény érintőjének meredekségét ekkor közvetlenül a függő és a független változó növekményének hányadosa adja (df(x)/dx), amennyiben a független változó megváltozása (dx) végtelen kicsiny. Tehát a differenciálhányados ebben az esetben nem csak egy összetett szimbólum, hanem ténylegesen két szám hányadosát jelölő tört.

A nemsztenderd szemlélet lényegesen megkönnyíti a differenciálszámítás értő elsajátítását azok számára akik nem kívánnak hivatásszerűen matematikával foglalkozni. A matematika tudományán belül azonban csak a modern halmazelméleti modellelmélet egy érdekes alkalmazása.

Felhasznált irodalom[szerkesztés]