Differenciál

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A matematikai analízisben egy differenciálható függvény differenciáljának nevezzük azt a lineáris függvényt, mely az eredeti függvény növekményét legjobban közelíti. Gyakran ennek a lineáris függvénynek a növekményét is differenciálnak nevezik, ami tehát közelítő értéke a függvényérték két közeli pont közti eltérésének.

A differenciál kifejezés olyan értelemben is használatos, mint egy függvény végtelen kicsiny megváltozása, miközben a független változót végtelen kis mennyiséggel megváltoztatjuk. Ez esetben vagy beletörődnünk, hogy a „végtelen kis mennyiség” kifejezés nem teljesen jól definiált, és intuíciónkra bízzuk értelmének kibontását, vagy a nemsztenderd analízishez fordulunk, mely halmazelméleti, modern logikai eszközökkel teszi pontossá a fogalom értelmezését.

Definíció[szerkesztés]

Legyen f a valós számok egy részhalmazán értelmezett függvény, a az f értelmezési tartományának egy belső pontja. Ekkor az f függvény a-beli differenciálhatósága egyenértékű a következőkkel:

  1. létezik olyan ε (az f értelmezési tartományán értelmezett) függvény, mely eltűnik a-ban (azaz ott folytonos és értéke 0), továbbá
  2. van olyan A valós szám, hogy minden x-re az f értelmezési tartományából:

Az iménti képletben az ε(x)(x-a) úgy nevezett másodrendűen kicsiny mennyiség a körül, azaz legalább az (xa)2 hatvánnyal osztva adhat csak 0-tól különböző határértéket. Ez azt jelenti, hogy az f függvényt felbontottuk egy lineáris részre:

és egy nemlineáris maradék részre:

Ha az f fenti alakját deriváljuk (az egyenlőségből látható, hogy ε is differenciálható), akkor kapjuk, hogy:

vagyis az x = a esetben f '(a) = A. Az A szám tehát a derivált, az xa=h helyettesítéssel nyert

(homogén) lineáris leképezést pedig az f függvény a-beli differenciáljának nevezzük.

Jelölések[szerkesztés]

Az a pontban az f függvény, vagy más néven az y = f(x) formula függvő változójának differenciálját

vagy vagy

jelöli. A független változó differenciálját, ahogyan az x – a különbséget nevezik

szimbolizálja. f-re tehát fennáll:

ahol mind df(a), mind ε függ x-től, bár ezt nem mindig szokás kiírni. Fontos tudnunk, hogy mind df(a), mind dx valódi, véges mennyiség szemben a nemsztenderd analízis használta differenciállal, mely végtelen kicsi.

Gyakran a differenciál jelöléséből az a-ra utaló jeleket elhagyják. x-re mint középpontra és dx-re mint eltérésre felírva a függvény megváltozását:

A differenciál definíciójából adódik, hogy a függő és független változó hányadosa éppen a derivált:

ami jól illusztrálja, hogy a derivált kifejezést mért nevezik még differenciálhányadosnak is.

Geometriai jelentése[szerkesztés]

Differenciál1.png

Rajzoljuk meg a függvénygörbe valamely P pontjához az érintőt (ez az ábrán a PS szakasz egyenese, ami egyben egy lineáris függvény grafikonja is)! A vízszintes tengelyen egy tetszőleges dx távolsággal eltávolodva x-től a függvény f(x+dx) értéket veszi fel, míg az azt közelítő lineáris függvény az f(x)+dy értéket (S pont). Ha dx 0, az f(x+dx)–f(x) különbség határértékben egyenlővé válik dy-nal, vagyis a lineáris közelítés annál jobb, minél kisebb dx-et választunk.

Az ábrán a differenciált ábrázoló PRS háromszöget Leibniz-féle háromszögnek nevezzük.

A hányados a görbe P pontjában húzott érintő egyenes meredeksége, egyben az f függvény x helyen vett deriváltja.

Magasabbrendű differenciálok[szerkesztés]

Másodrendű differenciál[szerkesztés]

Ha feltesszük, hogy f az a pontban kétszer differenciálható, akkor az x ε(x) függvény is kétszer differenciálható lesz. Tekinthetjük tehát az f ' függvény differenciálját, melyet a következő egyenlet definiál:

ahol az utolsó tag másodrendűen kicsi a közelében. Ekkor a másodrendű, vagy második differenciál:

Természetesen ekkor a szokásos dx = x – a jelöléssel érvényben van a következő összefüggés:

A másodrendű differenciált is figyelembe véve f-re egy másodfokú közelítést adhatunk. Ha ε-t is "lineáris + nemlineáris" alakban írjuk fel, akkor f(x) alkalmas B számmal és a-ban nullához tartó xη(x) függvénnyel a következő alakban fejezhető ki:

azaz

Ezt kétszer deriválva a-ban, a következő azonosságot ismerhetjük fel:

Vagyis a függvény megváltozása:

ahol ξ(x) nullához tart, ha x tart a-hoz.

Magasabb rendű differenciálok[szerkesztés]

A fentiekhez hasonlóan a-ban n-szer differenciálható f esetén definiálható az n-ed rendű differenciál, melynek jelölése

és melyre teljesül:

ahol f (n)(a) az f függvény a pontbeli n-edik deriváltja.

Belátható, hogy n-szer differenciálható függvény esetén a függvénynövekményt a Taylor-sorhoz hasonló alakban kapjuk:

Végül valós analitikus függvény esetén a Taylor-sor teljes egészében átírható a függvénynövekmény differenciálokkal történő előállításaként:

Többváltozós függvény differenciálja[szerkesztés]