Szakasz (matematika)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
Nem tévesztendő össze az ívvel.
A zárt egyenes szakasz geometriai definíciója: az A pont és attól jobbra levő minden pont és a B pont és attól balra levő minden pont metszete.
Szakaszrajzolás – történelmi ábrázolás (1699)

A geometriában egy egyenes szakasz egy egyenesen levő két különböző pont közötti rész, ami az egyenes minden pontját tartalmazza a két végpont között. Egy zárt egyenes szakaszhoz mindkét végpontja hozzátartozik, egy nyílt egyenes szakaszhoz egyik végpont sem tartozik hozzá; egy félig zárt egyenes szakaszhoz pontosan egy végpont tartozik.

Egyenes szakaszok például a háromszög vagy a négyzet oldalai. Általánosabban véve, ha a szakasz mindkét végpontja egy sokszög vagy poliéder csúcsa, akkor a szakasz, amennyiben a csúcsok szomszédosak, él (annak a sokszögnek vagy poliédernek az éle), egyébként átló. Ha mindkét végpont egy görbén van, mondjuk egy körön, az egyenes szakaszt húrnak nevezzük (az adott kör húrja).

Valós vagy komplex vektorterekben[szerkesztés]

Ha V egy vektortér vagy felett, és L részhalmaza V-nek, akkor L egy egyenes szakasz, amennyiben L a következőképpen paraméterezhető:

valamilyen vektorokra, és így az u-t és az u + v-t az L végpontjainak nevezzük.

Bizonyos esetekben különbséget kell tenni nyílt és zárt egyenes szakaszok között. A zárt egyenes szakaszt a fentiek szerint definiáljuk, a nyílt egyenes szakasz pedig az az L részhalmaz, ami a következőképpen paraméterezhető:

valamilyen vektorokra.

Ennek megfelelően egy egyenes szakasz két pont konvex burka, így kifejezhető a két végpontjának konvex kombinációjaként.

A geometriában néha úgy definiálják azt, hogy a B pont az A és a C különböző pontok között van, hogy az AB [távolság]ot a BC távolsághoz adva az AC távolsággal egyenlő. Vagyis az -ben az A = (ax, ay) és a C = (cx, cy) végpontokkal rendelkező egyenes szakasz az alábbi pontok halmaza:

.

Tulajdonságai[szerkesztés]

  • Az egyenes szakasz egy összefüggő, nem üres halmaz.
  • Ha V egy topologikus vektortér, akkor egy zárt egyenes szakasz egy zárt halmaz V-ben. Viszont egy nyílt egyenes szakasz akkor és csak akkor nyílt halmaz V-ben, ha V egydimenziós.
  • A fentieknél általánosabban lehet definiálni az egyenes szakasz fogalmát a rendezett geometriában.
  • Két egyenes szakaszra egy igaz az alábbiak közül: egymást metszők, párhuzamosak, kitérőek, vagy egyik sem. A legutolsó egy olyan eset, ahol az egyenes szakaszok különböznek az egyenesektől: ha két nem párhuzamos egyenes egyazon euklideszi síkban van, akkor metszeniük kell egymást, míg ez nem feltétlenül igaz szakaszoknál.

Bizonyításokban[szerkesztés]

A geometriára axiomatikusan tekintve, a közöttiségre úgy gondolnak, hogy azt feltételezik, hogy bizonyos számú axiómának eleget tesz, vagy egy egyenes egybevágóságával kapcsolatban definiálják (koordináta-rendszerként használva).

Más elméletekben is fontos szerepet játszik a szakasz. Például egy halmaz konvex, ha bármely két pontját összekötő szakasz a halmazon belülre esik. Ez azért fontos, mert így a konvex halmazokkal kapcsolatos elemzések egy része áttevődik az egyenes szakaszokra. A szakaszok összeadásának posztulátuma használható arra, hogy egybevágó szakaszt vagy egyforma hosszú szakaszokat adjunk egy másik kifejezéshez és ebből következően más szakaszokat helyettesítsünk, és így szakaszokat egybevágóvá tegyünk.

Elfajult ellipszisként[szerkesztés]

Az egyenes szakaszra tekinthetünk úgy, mint az ellipszis egy elfajult esetére, amikor a fél kistengely hossza nulla, a fókuszpontok a végpontokba tolódnak, és az excentricitás 1. Az ellipszis, alapvető definíciója szerint, azon pontok halmaza, amiknek a két fókuszponttól mért távolságaik összege állandó; ha ez az állandó egyenlő a fókuszpontok közötti távolsággal, egy egyenes szakaszt kapunk. Ennek az ellipszisnek a teljes körüljárása során kétszer haladunk végig a szakaszon. Ez egy elfajult pálya, így egy sugárirányú elliptikus pályagörbe.

Egyéb geometriai alakzatokban[szerkesztés]

Az egyenes szakaszok amellett, hogy sokszögek és poliéderek élei és átlói lehetnek, számos egyéb helyen megtalálhatóak geometriai alakzatokkal összefüggésben.

Háromszögek[szerkesztés]

Néhány nagyon gyakran használt szakasz háromszögekben a három magasság (mindegyik csúcsból a szemközti oldalra vagy annak meghosszabbítására egy merőleges állítása), a három súlyvonal (mindegyik csúcs és a szemközti oldal felezőpontjának összekötése), az oldalfelező merőlegesek (minden oldal felezőpontjából egy merőlegest indítva egy másik oldal eléréséig), és a belső szögfelezők (minden csúcs és a szemközti oldal összekötése). Mindegyikre igazak bizonyos egyenlőségek és egyenlőtlenségek (kifejtésük a különböző szakaszok tárgyalásánál található) a hosszukra és más szakaszok hosszára vonatkozóan.

Néhány másik példa nevezetes szakaszokra háromszögekben azok, amik középpontokat kötnek össze, jelesül a beírt kör középpontját, a köré írt kör középpontját, a Feuerbach-kör középpontját, a súlypontot és a magasságpontot.

Négyszögek[szerkesztés]

Amellett, hogy négyszögek oldalai és átlói lehetnek, fontosabb szakaszok még a két középvonal (a szemközti oldalak felezőpontjait összekötő szakasz) és a négy felezőponthoz tartozó magasság (minden oldal felezőpontjából egy merőlegest indítva egy szemközti oldal eléréséig).

Körök és ellipszisek[szerkesztés]

Bármely szakaszt, ami egy kör vagy ellipszis két pontját összeköti, húrnak, a körnek azt a húrját, amelyik a leghosszabb, átmérőnek, és bármely szakaszt, ami a kör középpontját (az átmérő felezőpontját) és egy a körvonalon levő pontot összeköti, sugárnak nevezzük.

Ellipszisekben a leghosszabb húr – ami egyben a leghosszabb átmérő – neve nagytengely, a nagytengely felezőpontját (az ellipszis középpontját) és a nagytengely bármely végpontját összekötő szakasz neve pedig fél nagytengely. Ehhez hasonlóan az ellipszis legrövidebb átmérőjének neve kistengely, a felezőpontját (az ellipszis középpontját) és bármely végpontját összekötő szakasz neve pedig fél kistengely. Az ellipszis húrjai közül azokat, amik merőlegesek a nagytengelyre és áthaladnak valamelyik fókuszpontján, latus rectum-nak (tsz.: latera recta), azaz fókuszon átmenő, nagytengelyre merőleges húrnak nevezzük. A két fókuszpontot az interfokális szakasz köti össze.

Irányított egyenes szakasz[szerkesztés]

Ha egy egyenes szakaszhoz irányt (orientációt) rendelünk, ez felveti, hogy eltolás történik, esetleg egy erő törekszik eltolást végezni. A nagyság és az irány egy lehetséges változást jeleznek. Ez a felvetés az euklideszi vektor koncepcióján keresztül került be a matematikai fizikába. Az összes irányított egyenes szakaszt tartalmazó halmaz számossága általában csökkenthető azáltal, hogy „egyenlőnek” tekintjük azon párokat, amelyeknek azonos a hossza és az iránya. Egy ekvivalenciarelációnak effajta alkalmazása 1835-be nyúlik vissza, amikor Giusto Bellavitis bemutatta az irányított egyenes szakaszok egyenlőségének koncepcióját.

Általánosítása[szerkesztés]

Hasonlóan a fenti egyenes szakaszokhoz, íveket definiálhatunk görbék darabjaiként.

Fordítás[szerkesztés]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Line segment című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Lásd még[szerkesztés]