Szakasz (matematika)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
Nem tévesztendő össze az ívvel.
A zárt egyenes szakasz geometriai definíciója: az A pont és attól jobbra levő minden pont és a B pont és attól balra levő minden pont metszete.
Szakaszrajzolás – történelmi ábrázolás (1699)

A geometriában egy egyenes szakasz egy egyenesen levő két különböző pont közötti rész, ami az egyenes minden pontját tartalmazza a két végpont között. Egy zárt egyenes szakaszhoz mindkét végpontja hozzátartozik, egy nyílt egyenes szakaszhoz egyik végpont sem tartozik hozzá; egy félig zárt egyenes szakaszhoz pontosan egy végpont tartozik.

Egyenes szakaszok például a háromszög vagy a négyzet oldalai. Általánosabban véve, ha a szakasz mindkét végpontja egy sokszög vagy poliéder csúcsa, akkor a szakasz, amennyiben a csúcsok szomszédosak, él (annak a sokszögnek vagy poliédernek az éle), egyébként átló. Ha mindkét végpont egy görbén van, mondjuk egy körön, az egyenes szakaszt húrnak nevezzük (az adott kör húrja).

Valós vagy komplex vektorterekben[szerkesztés]

Ha V egy vektortér vagy felett, és L részhalmaza V-nek, akkor L egy egyenes szakasz, amennyiben L a következőképpen paraméterezhető:

valamilyen vektorokra, és így az u-t és az u + v-t az L végpontjainak nevezzük.

Bizonyos esetekben különbséget kell tenni nyílt és zárt egyenes szakaszok között. A zárt egyenes szakaszt a fentiek szerint definiáljuk, a nyílt egyenes szakasz pedig az az L részhalmaz, ami a következőképpen paraméterezhető:

valamilyen vektorokra.

Ennek megfelelően egy egyenes szakasz két pont konvex burka, így kifejezhető a két végpontjának konvex kombinációjaként.

A geometriában néha úgy definiálják azt, hogy a B pont az A és a C különböző pontok között van, hogy az AB [távolság]ot a BC távolsághoz adva az AC távolsággal egyenlő. Vagyis az -ben az A = (ax, ay) és a C = (cx, cy) végpontokkal rendelkező egyenes szakasz az alábbi pontok halmaza:

.

Paraméteres ábrázolás[szerkesztés]

Az analitikus geometriában a pontokat helyvektorukkal írjuk le. Legyen és rendre az és pontok helyvektora. Ekkor az zárt szakasz pontjainak helyvektora

 , ahol  

alakú, és valós paraméter. A nyílt szakasz nem tartalmazza a végpontokat, így a paraméter tartománya . Hasonlóan parametrizálhatók az és az szakaszok, rendre a és paramétertartománnyal.

Baricentrikus koordinátákkal az zárt szakasz paraméterezése:

  ahol   .

Itt az , valós paraméterek nem függetlenek egymástól, hiszen fennáll az und összefüggés. A nyílt szakasz esetén , a félig nyílt és szakaszok esetén rendre , illetve teljesül.

Tulajdonságai[szerkesztés]

  • Az egyenes szakasz egy összefüggő, nem üres halmaz.
  • Ha V egy topologikus vektortér, akkor egy zárt egyenes szakasz egy zárt halmaz V-ben. Viszont egy nyílt egyenes szakasz akkor és csak akkor nyílt halmaz V-ben, ha V egydimenziós.
  • A fentieknél általánosabban lehet definiálni az egyenes szakasz fogalmát a rendezett geometriában.
  • Két egyenes szakaszra egy igaz az alábbiak közül: egymást metszők, párhuzamosak, kitérőek, vagy egyik sem. A legutolsó egy olyan eset, ahol az egyenes szakaszok különböznek az egyenesektől: ha két nem párhuzamos egyenes egyazon euklideszi síkban van, akkor metszeniük kell egymást, míg ez nem feltétlenül igaz szakaszoknál.
  • Ha mást nem mondunk, akkor az egyenes szakasz nem irányított, azaz
  és   .
  • A szakasz hossza megegyezik végpontjainak távolságával. Jelölése , vagy .
  • A zárt szakasz minden pontjára teljesül, hogy a végpontoktól mért távolságainak összege minimális. Mivel az ellipszisre teljesül, hogy a fókuszpontjaitól mért távolságok összege állandó, azért a szakasz tekinthető elfajult ellipszisnek.
  • Két pontot összekötő folytonos görbék ívhosszai közül az egyenes szakaszé minimális.

Lineáris algebra[szerkesztés]

Ha vektorért a valós vagy a komplex számok fölött, akkor az részhalmaz egyenes szakasz, ha parametrizálható úgy, mint

Itt az vektorok, melyekre az szakasz végpontjai.

Alternatívan, a zárt egyenes szakasz végpontjainak konvex burkaként is jellemezhető:

A paramétertartomány fentiekhez hasonló korlátozásával előállítható a többi intervallum is.

  • Az kikötés miatt a szakasz nem üres.
  • Ha topologikus vektortér, akkor minden zárt szakasza összefüggő, kompakt, zárt részhalmaza -nek.
  • Ezzel szemben a nyílt szakaszok akkor és csak akkor nyíltak -ben, ha egydimenziós.

Bizonyításokban[szerkesztés]

A geometriára axiomatikusan tekintve, a közöttiségre úgy gondolnak, hogy azt feltételezik, hogy bizonyos számú axiómának eleget tesz, vagy egy egyenes egybevágóságával kapcsolatban definiálják (koordináta-rendszerként használva).

Más elméletekben is fontos szerepet játszik a szakasz. Például egy halmaz konvex, ha bármely két pontját összekötő szakasz a halmazon belülre esik. Ez azért fontos, mert így a konvex halmazokkal kapcsolatos elemzések egy része áttevődik az egyenes szakaszokra. A szakaszok összeadásának posztulátuma használható arra, hogy egybevágó szakaszt vagy egyforma hosszú szakaszokat adjunk egy másik kifejezéshez és ebből következően más szakaszokat helyettesítsünk, és így szakaszokat egybevágóvá tegyünk.

Elfajult ellipszisként[szerkesztés]

Az egyenes szakaszra tekinthetünk úgy, mint az ellipszis egy elfajult esetére, amikor a fél kistengely hossza nulla, a fókuszpontok a végpontokba tolódnak, és az excentricitás 1. Az ellipszis, alapvető definíciója szerint, azon pontok halmaza, amiknek a két fókuszponttól mért távolságaik összege állandó; ha ez az állandó egyenlő a fókuszpontok közötti távolsággal, egy egyenes szakaszt kapunk. Ennek az ellipszisnek a teljes körüljárása során kétszer haladunk végig a szakaszon. Ez egy elfajult pálya, így egy sugárirányú elliptikus pályagörbe.

Egyéb geometriai alakzatokban[szerkesztés]

Az egyenes szakaszok amellett, hogy sokszögek és poliéderek élei és átlói lehetnek, számos egyéb helyen megtalálhatóak geometriai alakzatokkal összefüggésben.

Háromszögek[szerkesztés]

Néhány nagyon gyakran használt szakasz háromszögekben a három magasság (mindegyik csúcsból a szemközti oldalra vagy annak meghosszabbítására egy merőleges állítása), a három súlyvonal (mindegyik csúcs és a szemközti oldal felezőpontjának összekötése), az oldalfelező merőlegesek (minden oldal felezőpontjából egy merőlegest indítva egy másik oldal eléréséig), és a belső szögfelezők (minden csúcs és a szemközti oldal összekötése). Mindegyikre igazak bizonyos egyenlőségek és egyenlőtlenségek (kifejtésük a különböző szakaszok tárgyalásánál található) a hosszukra és más szakaszok hosszára vonatkozóan.

Néhány másik példa nevezetes szakaszokra háromszögekben azok, amik középpontokat kötnek össze, jelesül a beírt kör középpontját, a köré írt kör középpontját, a Feuerbach-kör középpontját, a súlypontot és a magasságpontot.

Négyszögek[szerkesztés]

Amellett, hogy négyszögek oldalai és átlói lehetnek, fontosabb szakaszok még a két középvonal (a szemközti oldalak felezőpontjait összekötő szakasz) és a négy felezőponthoz tartozó magasság (minden oldal felezőpontjából egy merőlegest indítva egy szemközti oldal eléréséig).

Körök és ellipszisek[szerkesztés]

Bármely szakaszt, ami egy kör vagy ellipszis két pontját összeköti, húrnak, a körnek azt a húrját, amelyik a leghosszabb, átmérőnek, és bármely szakaszt, ami a kör középpontját (az átmérő felezőpontját) és egy a körvonalon levő pontot összeköti, sugárnak nevezzük.

Ellipszisekben a leghosszabb húr – ami egyben a leghosszabb átmérő – neve nagytengely, a nagytengely felezőpontját (az ellipszis középpontját) és a nagytengely bármely végpontját összekötő szakasz neve pedig fél nagytengely. Ehhez hasonlóan az ellipszis legrövidebb átmérőjének neve kistengely, a felezőpontját (az ellipszis középpontját) és bármely végpontját összekötő szakasz neve pedig fél kistengely. Az ellipszis húrjai közül azokat, amik merőlegesek a nagytengelyre és áthaladnak valamelyik fókuszpontján, latus rectum-nak (tsz.: latera recta), azaz fókuszon átmenő, nagytengelyre merőleges húrnak nevezzük. A két fókuszpontot az interfokális szakasz köti össze.

Irányított egyenes szakasz[szerkesztés]

Ha egy egyenes szakaszhoz irányt (orientációt) rendelünk, ez felveti, hogy eltolás történik, esetleg egy erő törekszik eltolást végezni. A nagyság és az irány egy lehetséges változást jeleznek. Ez a felvetés az euklideszi vektor koncepcióján keresztül került be a matematikai fizikába. Az összes irányított egyenes szakaszt tartalmazó halmaz számossága általában csökkenthető azáltal, hogy „egyenlőnek” tekintjük azon párokat, amelyeknek azonos a hossza és az iránya. Egy ekvivalenciarelációnak effajta alkalmazása 1835-be nyúlik vissza, amikor Giusto Bellavitis bemutatta az irányított egyenes szakaszok egyenlőségének koncepcióját.

Általánosítása[szerkesztés]

Hasonlóan a fenti egyenes szakaszokhoz, íveket definiálhatunk görbék darabjaiként.

Illeszkedési axiómák[szerkesztés]

Az illeszkedési axiómák lehetővé teszik, hogy absztrakt illeszkedésgeometriákban is lehessen szakaszt definiálni, függetlenül a topológiai és a metrikus tulajdonságoktól. Ezt többek között Ernst Kunz mutatta be Ebene Geometrie című tankönyvében.

Egy illeszkedésgeometria egy páros, ahol , és math>G \subseteq 2^{\mathfrak {E}}</math> egyeneshalmaz, továbbá:[1]

  • Bármely két ponthoz van rájuk illeszkedő egyenes.
  • Bármely ponthoz legfeljebb egy, mindkettőre illeszkedő egyenes van.
  • Bármely egyenesre legalább két, egymástól különböző pont illeszkedik.
  • Van legalább három, nem egy egyenesre illeszkedő pont.

Az első két axióma az összekötési axióma teljesülését jelenti ki, míg a másik kettő gazdagsági feltételeket mond ki. Az ezeknek eleget tevő párosokat Kunz síknak nevezi.

A szakaszoktól a következőket követeli meg:

  • Bármely két, egymástól nem feltétlenül különböző ponthoz hozzá van rendelve egy -ból -be menő szakasz, melynek jele .
  • Minden szakaszra teljesül, hogy .
  • Ha egyenes, és , akkor .
  • Minden esetén .
  • Minden esetén van úgy, hogy és .
  • Ha és , akkor .
  • Ha három, nem egy egyenesen fekvő pontok, és egyenes, ami egyiküket sem tartalmazza, akkor esetén vagy .

Ha egy sík ezeket is teljesíti, akkor Kunz szakaszokkal ellátott síknak nevezi. A teljesíthetőségre példa az euklideszi sík, ami ezeket a feltételeket mind teljesíti.

Az utolsó axióma a Pasch-axióma, ami kijelenti, hogy ha egy egyenes belép egy háromszögbe, akkor ezt el is kell hagynia. Az elnevezés Moritz Pasch (1843–1930) matematikusra utal, aki megállapította, hogy ez nem vezethető le a többi axiómból, hanem külön meg kell követelni.[1]

Megmutatható, hogy a szakaszaxiómák egyenértékűek a Hilbert rendezési axiómákkal, feltéve az illeszkedési axiómákat. Ehhez a következőt kell belátni:

Legyenek páronként különböző pontok; akkor van az és pontok között, ha .

Ha az előbbi feltétel teljesül az pontokra, akkor mondjuk a következőt:

A pont belső pontja az szakasznak.

Források[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Line segment című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.
  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Strecke (Geometrie) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. a b Ernst Kunz: Ebene Geometrie. 1976, S. 7 ff., 19 ff.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]