Lineáris függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A lineáris függvények a matematikai függvények egyik osztálya. Az elsőfokú függvényeket és a konstans függvényeket közös néven lineáris függvényeknek nevezzük.

Az elemi matematikában elsősorban valós-valós függvényeket nevezünk lineárisnak. Azonban a fogalom értelmezhető tetszőleges gyűrű felett is. A lineáris algebrában speciálisabb módon is értelmezhetőek lineáris függvények, ezeket azonban gyakorta lineáris leképezéseknek nevezik.

Általános alak[szerkesztés]

Párhuzamos, azonos meredekségű függvények grafikonjai

A lineáris függvény képének mint ponthalmaznak az egyenlete:

  1. , ahol a függvény meredeksége,[1] pedig a tengelymetszet. Ha ugyanis , akkor .
  2. , ezt az alakot főleg az egyenletrendszerek megoldása során használjuk.
  3. a tengelymetszetes alak, ugyanis esetén és esetén lesz igaz, azaz átmegy a és tengelypontokon.[2]

Az egyes alakok egymással ekvivalensek, a paraméterek között kölcsönös egyértelműségi kapcsolat van.

Két lineáris függvény képe metszi egymást, ha az egyenleteikből álló egyenletrendszernek egyértelmű megoldása van. Ez a meredekségek esetén gyorsan megállapítható, ugyanis ha a két egyenes eltérő meredekségű, akkor biztosan van metszéspontjuk. A többi esetet pedig megpróbáljuk erre visszavezetni az egyszerűség kedvéért.[3]

Merőlegesség[szerkesztés]

Gyakori probléma, hogy két egyenes merőleges-e egymásra. Ez a lineáris függvények esetén aránylag egyszerűen eldönthető, mindössze azonos alakúvá kell tenni a kifejezéseiket.

Meredekségből[szerkesztés]

Legyen a két egyenes megadva az

és

alakban. Ekkor a két egyenes merőlegességének feltétele:

Ez könnyen belátható, ha figyelembe vesszük, hogy a meredekség tulajdonképpen a függvény x-tengellyel bezárt szögének tangense. Ha ez a szög α, akkor a másik egyenes bezárt szöge α+90°. Legegyszerűbb nyersen a definíció alapján számolni:

Együtthatókból[szerkesztés]

Ha a két függvény

és

alakban van megadva, a merőlegesség feltétele:

Ennek magyarázata a koordinátageometria révén értelmezhető. Az együtthatók ugyanis a függvények egyeneseinek irányvektorait határozzák meg, és két vektor akkor merőleges egymásra, ha a skaláris szorzatuk nulla.

Hasonlóan dönthető el a tengelymetszetes alakból is a merőlegesség.

Típusai[szerkesztés]

A lineáris függvényeknek két fajtája van:

  • elsőfokú függvények: f: R→R, (feltéve, hogy a ≠ 0 )
  • konstans függvények: g: R→R,

Képük egy-egy egyenes. A legegyszerűbb elsőfokú függvény az

A b = 0 esetben egyenes arányosságról beszélünk. Ezek általánosítása többdimenzióban a lineáris leképezés vagy régebbi nevén homogén lineáris függvény. Ha b nem feltétlenül nulla, akkor ezek absztrakt általánosításai az affin függvények, melyek lineáris leképezések eltoltjai valamely konstanssal.

A konstans függvények illetve az elsőfokú függvények a függvénykompozícióra zárt halmazt alkotnak:

  • két konstans függvény kompozíciója konstans függvény - ;
  • két elsőfokú függvény kompozíciója elsőfokú függvény - .

Éppen ez okból sokszor a két típust külön is tárgyalják.

Alkalmazások[szerkesztés]

Egyenletek megoldása[szerkesztés]

Elsőfokú egyenletek esetén az algebrai megoldás (ekvivalens átalakítások és megoldóképletek) mellett legalább ilyen hatékony és látványos módszer az egyenlet grafikus megoldása. Ebben az esetben az egyenlet két oldalát egy-egy lineáris függvény formájában ábrázoljuk, majd ezek metszéspontjának abszcisszája lesz az egyenlet megoldása.

Szintén könnyen ábrázolható a kétismeretlenes elsőfokú egyenletrendszer, ennek megoldását is két egyenes metszéspontja adja. Egyben ezen keresztül lehet értelmezni az összefüggő és a független egyenleteket.

A módszer didaktikai szerepe kettős. Egyrészt a vizuális tanulási típusú diákok számára nyújt segítséget, másrészt pedig a grafikus módszerekkel a tanulók számára közelebb lehet hozni a numerikus, közelítő számítások módszereit, különösen az intervallumokon alapuló megoldásokét.

Függvények transzformációi[szerkesztés]

A hagyományos függvénytranszformációk tulajdonképpen felfoghatóak a lineáris függvényekkel vett jobb és bal oldali függvénykompozíciók eredményeként. Természetesen itt csak a valódi lineáris függvényeknek van értelmezhető szerepe, a konstansfüggvények nem a várt következményt adják.

A bal oldali kompozíció a függvény érték átalakítását fedi le, az elsőfokú tag együtthatója az y irányú nyújtást, a konstans tag az eltolást jelenti. Hasonlóan a jobb oldali kompozíció az x irányú nyújtást és eltolást, azaz a független változó transzformációját értelmezi.

  • a függvényérték transzformációja
  • a független változó transzformációja

Világosan látható, hogy az esetben mindkétszer konstansfüggvényt kapunk, az első esetben , a másodikban értékkel.

Komplex függvények[szerkesztés]

A komplex függvények esetén a lineáris függvények tulajdonképpen a komplex sík speciális leképezéseit jelentik. Ha a függvény alakja:

akkor ez valójában három különböző transzformációt jelképez.

  1. A síkot szöggel elforgatjuk.
  2. Elvégzünk egy mértékű nyújtást.
  3. A konstans tag pedig a sík eltolását jelenti.

Mivel , az elforgatás és a nyújtás könnyen belátható, a konstans tag pedig egyszerűen a pontba viszi a 0-t.

Megjegyzések[szerkesztés]

  1. A meredekség definíciója is innen eredeztethető. Lényegében az és pontokat összekötő szakasz és irányú vetületeinek hányadosa:
  2. Ez az alak nem használható, ha a függvény átmegy az origón!
  3. Ez ráadásul jó hivatkozási alap a lineáris algebrában is egyes problémák megoldhatóságának eldöntésére.

Forrás[szerkesztés]

Lásd még[szerkesztés]