Szög

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
A szög, mint félegyenespár
A szög, mint a sík része
Forgásszög

A szög mint síkgeometriai fogalom. A sík egy pontjából kiinduló két félegyenes a síkot két tartományra osztja. Az egyik tartomány és a két félegyenes szöget alkot. A szög jelentheti a félegyenesek által határolt síkrészeket (szögtartomány), illetve magukat a félegyeneseket is (a szög szárai, szögvonal). Azt, hogy a két szögtartomány közül melyikről van szó, a szárak közé rajzolt körívvel jelezzük. A félegyenesek közös pontját a szög csúcsának, a félegyeneseket a szög szárainak nevezzük. Szokták szögnek hívni a szögtartományt, és beszélnek forgásszögekről is, melyek forgatáskor keletkeznek, és a teljesszögnél is nagyobbak lehetnek. Forgásszögeknél szokás előjeles szögekről is beszélni. A pozitív előjel az óramutató járásával ellentétes forgásirányt jelöli.

A szög mint mennyiség. A síkszög arányszám: a szögcsúcs köré írt körvonalból a szög szárai által kimetszett ív hosszának és a hozzá tartozó sugár hosszának aránya. Ehhez hasonlóan a térszög is arányszám: a térszög csúcsa köré írt gömbfelületből a szög által kimetszett gömbfelület területének és a gömbsugárhossz négyzetének aránya. A térszögtől való megkülönböztetés miatt a síkbeli szöget síkszögnek is nevezzük. A síkszög, mint mennyiség definiálható forgásszögként is, így lehet előjeles is, vagy a teljesszögnél nagyobb.

Definíciók[szerkesztés]

Vertical angles.svg
Pótszögek

Alapvetően a szögnek kétféle definíció létezik: az előjel nélküli és az előjeles. A nem irányított szög előjel nélküli, az irányított előjeles. A bevezetésben említett definíció használatos például a koordinátarendszerek és a koordinátarendszer tengelyei esetén. A szög félegyenespárként való meghatározás esetén a félegyenesek egy közös pontból indulnak:

Ha , egyenesek, amelyek az pontban metszik egymást, akkor az pont az , egyeneseket félegyenesekre osztja. Ekkor ezek a félegyenesek az ponttal együtt szöget alkotnak. Az pont a szög csúcsa, az , egyenesek pontból induló félegyenesei a szög szárai.
A szög, pontosabban a szögtartomány a síknak az a része, melyet egy pontból kiinduló két félegyenes határol. Ezek a szögtartomány határa, míg a szögtartomány többi része a szög belseje.

Az iskolai tanítás során ezt a változatot használják, ezzel kiemelik azt, hogy a szögnek területe van. A belső, illetve a külső tér elhatárolásával a háromszög-geometria bevezetését szolgálja. A háromszög definiálható három szögtartomány metszeteként.

Az eddigi definíciók előjel nélküli szöget definiáltak. A következőkben előjeles szögeket is definiálunk.

Az is mondható, hogy a szög egy félegyenes végpontja körüli forgatásával keletkezik. Megkülönböztetésként ezt a szöget forgásszögnek is nevezik. A forgás irányára két lehetőség van:

  • Balra forgatáskor az óramutató járásával ellentétes irányba forog
  • Jobbra forgatáskor az óramutató járásával megegyező irányba forog

Az elforgatás (maga a folyamat és nem a végeredmény) lehet nagyobb is mint, a teljesszög. Az ilyen szög nagysága lehet nullától kisebb is és teljes szögtől, azaz 360°-tól illetve 2π radiántól nagyobb is (több, mint egy kör elforgatás). A szög fogalmának ily módon való kiterjesztése a trigonometrikus függvényeknél, a matematikai analízisben jelentős. A matematikában az óramutatóval ellentétes irány számít pozitívnak. Ha csak másként nem jelzik, akkor a forgatást ebbe az irányba végzik.

A geodéziában nem használnak előjelet, és a forgatás iránya mindig az óramutató járása szerinti. Az óra analógjára a szögeket 0-tól 24 h-ig, vagy 0 gontól 400 gonig mérik. Minden geodéziai műszert óramutató járása szerinti irányba forgatnak.

A szögek felosztása[szerkesztés]

Winkelname.jpg
  • Nullszög: 0°.
  • Hegyesszög: 0°-nál nagyobb, de 90°-nál kisebb szög.
  • Gér: nyolcadkörívhez tartozó szög, 45°, π/4 radián.
  • Derékszög: negyedkörívhez tartozó szög, 90°, π/2 radián. Mellékszögével egyenlő nagyságú.
  • Tompaszög: 90°-nál nagyobb, de 180°-nál kisebb szög.
  • Egyenesszög: félkörívhez tartozó szög, szárai egyenest alkotnak. Az egyenesszög két derékszög összege, 180°, π radián.
  • Konvex szögek: az egyenesszögnél kisebb szögek, tehát a hegyesszögek, a tompaszögek és a derékszög konvex szögek.
  • Konkáv szögek: más néven homorúszögek; az egyenesszögnél nagyobb szögek (az ábrán az ABC szög).
  • Teljes szög: egész körívhez tartozó szög; a két szögszár egybeesik, és a belső tartománnyal együtt felöleli az egész síkot. 360°, 2π radián.

Jelölések[szerkesztés]

Mellékszögek
Corresponding angles.svg

Az ISO 80000-2 szerint a szögeket a következőképpen adjuk meg:

  • A szöget görög kisbetűkkel jelöljük, mint vagy .
  • Az szöget két félegyenes, egyenes vagy él zárja közre. Irányát az irányából a irányába számítjuk.
  • Három ponttal megadott szög esetén mindig a középső pont a szög csúcsa. Jelölése ABC szög, vagy . Ez a szög az és félegyenesek közé zárt szögek közül az, ami -re való matematikailag pozitív irányú forgatásával keletkezik.
  • Az angol nyelvű szakirodalomban szokásos még a illetve jelölés.

A nem irányított szög jelölése »∠« (HTML ∠/∠, TeX \angle, Unicode U+2220). Irányított szög jelölésére használható még  »∡« (TeX \measuredangle, U+2221; HTML kód nincs. Mindkét jel megtalálható a Unicode-kódtáblában. A fekvő szög jelölés angol-amerikai; az Európában használt jel összetéveszthető az angol-amerikai »∢« U+2222 térszöget jelölő jellel. A szög és a meredekség jelölésére használható  »∠« is.

Speciálisan, a derékszöget jelölik úgy is, mint:

  • »∟«, derékszög alakban felrajzolva
  • »⦝«, szög ívvel és ponttal
  • »⊾«, szög ívvel
  • »⦜«, szög négyzettel
  • , ortogonális

Szögpárok[szerkesztés]

Váltószögek
  • Mellékszögek: két olyan szög, amelyeknek egy-egy szára azonos, a másik kettő pedig egyenest alkot. Egymást egyenesszöggé egészítik ki.
  • Kiegészítő szögek: két olyan szög, amelyek összege egyenesszög.
  • Pótszögek: két olyan szög, amelyek összege derékszög.
  • Párhuzamos szárú szögek: Mint a neve is mondja, a száraik párhuzamos egyeneseken vannak. A párhuzamos szögek lehetnek:
  •     1) egyállású szögek: A száraik páronként párhuzamosak és egyenlő irányításúak (egyenlő nagyságúak)
  •     2) váltószögek: A száraik páronként párhuzamosak és ellenkező irányításúak (egyenlő nagyságúak)
  •          (speciális esetben) Csúcsszögek: csúcsuk azonos, és mindkét száruk egymás szárainak meghosszabbítása. Azonos nagyságúak
  •    3) társszögek: A száraik páronként párhuzamosak és egyik pár egyező a másik ellenkező irányítású (egymás kiegészítőszögei)
  • Merőleges szárú szögek: Mint a neve is mondja, a száraik egymásra merőleges egyeneseken vannak. (egyenlő nagyságúak vagy egymás kiegészítőszögei)

További elnevezések[szerkesztés]

Neighbor angles.png
  • Belső szög: egy sokszög szögpontjában találkozó két oldal által bezárt szög.
  • Külső szög: egy sokszög szögpontjában találkozó oldal és a szomszédjának ama szögponton túl való meghosszabbítása által közbezárt szög.

A szögek mérése[szerkesztés]

Angle measure.svg
Merőleges szárú szögek a)
Merőleges szárú szögek b)

A θ szög méréséhez egy körívet húzunk, melynek középpontja a szög csúcsa. Legyen a körív hossza s, a kör sugara pedig r, k pedig egy választott együttható. Ekkor a szög mértéke:

amely független a kör méretétől, mivel a körív és a sugár aránya állandó.

A szögeket dimenzió nélkülinek szokták tekinteni, mivel két hosszúság hányadosaként jelenik meg. Ennek ellenére a szögeket többféle mértékegységben fejezik ki attól függően, hogy milyen értéket választottunk a k együtthatónak.

  • A fok, amelyet egy felső helyzetű körrel jelölnek (°), a teljes kör 1/360-ad része, tehát a teljes kör mértéke 360°. A fok 1/60-ad része az ívperc, melynek jelölése:  ′ . A fokperc 1/60-ad része az ívmásodperc, melynek jelölése:  ″  A θ szög fokban való meghatározásához:
  • Egy radián a mértéke annak a szögnek, amelynél a hozzá tartozó körív és sugár hányadosa 1. (vagyis k = 1 a fenti képletben). A teljes kör mértéke 2π radián. Egy radián 180/π fok, azaz közelítőleg 57,2958 fok. A radián rövidítése rad, de ezt jellemzően nem szokták kiírni a matematikai szövegekben, ahol az alapértelmezett mértékegység a radián. Ezt a választást az indokolja, hogy ezzel egyszerűbbek lesznek a képletek, és nem kerülnek bele mindenféle váltószámok. Lásd: [1] A radián a szögek mértékegysége az SI rendszerben.
  • Léteznek más egységek is. Ezekről a Mértékegységek átszámítása#Szög tartalmaz adatokat.
Szögmérték Mértékegység 1 teljesszög = Mértékegység jele
Teljesszög 1
Ívmérték Radián 2π rad
Fok Fok (perc, másodperc) 360 ° ( ′ ″ )
Geodéziai szögmérték Gradián (újfok) 400 gon (grad)
Időmérték Óra, perc, másodperc 24 h m s
Tengerészeti vonás 32 ¯
Tüzérzeti vonás 6400 mil ( A‰ )
Százalék nem lineáris %, ‰

Síkszögek a térben[szerkesztés]

A térelemek által bezárt síkszögek is értelmezhetők.

  • A párhuzamos egyenesek, síkok által bezárt szög a nullszög.
  • Egy sík és az abban fekvő egyenes szöge is nullszög.
  • Két metsző egyenes által bezárt szög a keletkezett szögek közül a kisebb, ami legfeljebb 90 fok.
  • Két kitérő egyenes szöge megegyezik az eltoltjaik által bezárt szöggel.
  • Egy metsző egyenes-sík pár szöge az egyenes és a síkra vett merőleges vetülete által bezárt szög.
  • Két egymást metsző sík által meghatározott szög megegyezik azzal a szöggel, amit a síkban levő, a metszésvonalukra merőleges egyenesek bezárnak. Ezt a szöget nevezik lapszögnek.

Térszögek[szerkesztés]

Térszög helyett térszögletet is mondanak. A térszögek nagyságát általában szteradiánban mérik, ami a radián térbeli megfelelője, de néha felbukkannak más mértékegységek is. Térszög található poliéderek csúcsánál. Lásd: Mértékegységek átszámítása#Térszög Egy szteradiánnyi szög a csúcsa köré írt r sugarú gömb felszínéből r2 területet metsz ki. A teljes gömbhöz tartozó térszög mértéke

Szögek különböző geometriákban[szerkesztés]

Többnyire euklideszi geometriáról lévén szó, a szögeket is euklideszinek tekintjük. Azonban más geometriákban is vannak szögek.

A háromszögek szögei és oldalai közötti kapcsolatokat egyenlőségek és egyenlőtlenségek írják le. A különböző geometriákban ezek az összefüggések különböznek. Euklideszi geometriában ismert összefüggés, hogy hosszabb oldallal szemben nagyobb szög van. Emellett a szinusztétel és a koszinusztétel pontos egyenlőséget is megad. A háromszögeket szögeik csak hasonlóság erejéig határozzák meg. A háromszögek szögeinek összege egyenesszög.

Gömbi geometriában a gömbi szinusztétel és a gömbi koszinusztétel érvényesül, illetve vannak még más tételek is. A háromszögeket szögeik egybevágóságig meghatározzák. A háromszögek szögeinek összege egyenesszögnél nagyobb.

Hiperbolikus geometriában a hiperbolikus szinusztétel és a hiperbolikus koszinusztétel ad összefüggést. A háromszögeket szögeik egybevágóságig meghatározzák. A háromszögek szögeinek összege egyenesszögnél kisebb.

Szögek számítása[szerkesztés]

Derékszögű háromszög[szerkesztés]

Derékszögű háromszög az és hegyesszögekkel

Ha egy derékszögű háromszögben az egyik hegyesszög adott, akkor a másik egyértelműen meghatározott, mivel a szögek összege 180 fok, és ebben a derékszög kitesz 90 fokot, azért ha a hegyesszögek és , akkor .

Ha ismertek az , és oldalhosszak, akkor a hegyesszögek kiszámolhatók szögfüggvényekkel és árkuszfüggvényekkel. Ha a hegyesszögek és , akkor teljesül, hogy

Általános háromszög[szerkesztés]

Háromszög az , és belső szögekkel

Ha egy háromszög szögei , és , akkor . Ezért két szög meghatározza a harmadikat.

Ha ismert két oldal hossza és az egyikkel szemközti szög, akkor a másik oldallal szemközti szög szinusztétellel számítható. Teljesül például, hogy . Az árkusz szinusz függvénnyel .

Mindhárom oldal ismeretében a koszinusztétellel kiszámíthatók a szögek. Teljesül például, hogy . Az árkusz koszinusz függvénnyel .

Ha derékszögű koordinátarendszerben a háromszög csúcsaival van megadva, akkor a belső szögek két vektor közötti szögként számíthatók. Legyenek a csúcsok , , ! Ekkor és az pontból kiinduló vektorok, így . Itt skaláris szorzat és a vektorok hossza.

Tetraéder szögei[szerkesztés]

Szabályos tetraéder, lapjain a szögek -osak; a tetraéderszög ; a lapszög és az élek és lapok közötti szög

A tetraéderben előforduló szögek:

  • a lapokon, mint háromszögeken levő szögek
  • a lapok lapszögei
  • a csúcsoknál levő térszögek

Egyenesek hajlásszöge[szerkesztés]

Ha egy egyenes egyenlete egy sík derékszögű koordinátarendszerében , akkor hajlásszögét az tengelyhez -val jelölve:

.

Ez következik a tangens definíciójából. Az árkusz tangens használatával

.

Ha a tangens nem létezik, akkor , ami azt jelenti, hogy az egyenes párhuzamos az tengellyel, így hajlásszöge az tengelyhez 0.

Két egyenes metszésszöge[szerkesztés]

Legyenek és egyenesek egy sík derékszögű koordinátarendszerében a és pontokkal és és lineárisan független irányvektorokkal. Ha szögük , akkor

.

Az egyenesek merőlegesek, ha metszésszögük derékszög, tehát . Ez ekvivalens azzal, hogy irányvektoraik skalárszorzata 0. Ez azt jelenti, hogy .[1]

Ha a két egyenes és alakban van megadva, és egymással bezárt szögük , akkor az általuk közrezárt szög az tengellyel bezárt hajlásszögekből számítható:

.

Alkalmazva az addíciós tételt a tangensre:

.

Mivel és , azért következik, hogy:

.

Egybevetve

.

Alkalmazva az árkusz tangenst kapjuk, hogy

.

Az egyenesek pontosan akkor merőlegesek, ha . Ekkor az egyenletek nincsenek definiálva.[2]

Egyenes és sík metszésszöge[szerkesztés]

Legyen az irányvektorú egyenes és az normálvektorú sík metszésszöge. Ekkor

A egyenes és az sík által bezárt szög. A egyenes vetülete az síkra a egyenes.
Két sík által bezárt szög:


Két sík metszésszöge[szerkesztés]

Legyen és a két sík normálvektora! Ekkor a két sík metszésszöge

.

Nevezetes szögek szerkesztése[szerkesztés]

Vannak szögek, amik megszerkeszthetők körzővel és vonalzóval. Ezek közül a legnevezetesebbek a derékszög, a 60, a 30 és a 72 fokos szögek, valamint az ezekből felezéssel, összeadással, kivonással kapható szögek. Az így keletkezett szögek mellett szerkeszthetők a szabályos 17-szögből kapható szögek is. Az algebra eredményei szerint a szögek általában nem harmadolhatók; nevezetesen, a 60 fokos szög nem harmadolható körzővel és vonalzóval.

Műveletek szögekkel[szerkesztés]

Szögek összeadása, kivonása[szerkesztés]

Szögek összeadása
Szögek kivonása

Összeadáskor úgy mérjük fel a szögeket, hogy körívet húzunk az első szögbe, amit meghosszabbítunk úgy, hogy a másik szög is odaférjen. Ezután a másik szögbe ugyanezzel a környílással körívet húzunk. A körív és a szög szárainak metszéspontjai közötti távolságot felmérjük az első szög melletti meghosszabbított körívre. Meghúzzuk a második szögszárat a csúcspontból a metszésponthoz.

Kivonáskor hasonlóan járunk el. Úgy mérjük fel a szögeket, hogy körívet húzunk a nagyobb szögbe. Ezután a másik szögbe ugyanezzel a környílással körívet húzunk. A körív és a szög szárainak metszéspontjai közötti távolságot felmérjük a nagyobb szögtartományban befelé. Meghúzzuk a második szögszárat a csúcspontból a metszésponthoz. Így kapjuk a szögek különbségét.

Szögek felosztása[szerkesztés]

Szögfelezés, szögfelező (pirossal)

Szögfelezés: egy, a csúcsból húzott körívvel elmetsszük a szög két szárát, majd a kapott metszéspontokból ugyanakkora környílással köríveket húzunk úgy, hogy messék egymást. A szög csúcsát összekötjük a metszésponttal. Így elfeleztük a szöget.

Szögharmadolás euklideszi szerkesztéssel nem lehetséges, azonban közelítő szerkesztések lehetségesek. Továbbá vannak más eszközök is, például a Tomahawk rajzeszköz, melyek lehetővé teszik a szögharmadolást.

Tetszőleges arányú osztáshoz olyan segédeszköz kell, amivel szögek és szakaszok egymással arányosan egymásra képezhetők. Ilyen például egy arkhimédészi spirál vagy Hippiász-féle kvadratiksz. Így a szakaszok és a szögek felosztása kölcsönösen átvihetők egymásba. Ezek az eszközök használhatók olyan sokszögek megrajzolásához, melyek nem szerkeszthetők körzővel és vonalzóal.

A 60 fokos, és a belőle kapható szögek[szerkesztés]

60 fokos szög szerkesztése adott egyeneshez adott pontján át[szerkesztés]

60 fokos szög szerkesztése adott egyeneshez adott pontján át

Legyen az egyenes , és a pont !

  • A pont körül kört húzunk, melynek metszéspontjait -gyel jelölje és .
  • Ugyanezzel a sugárral kört vonunk az vagy a pont köré. Az első körrel vett egyik metszéspontot jelölje .
  • A egyenes áthalad a ponton, és 60 fokos szöget zár be a egyenessel.

60 fokos szög szerkesztése adott egyeneshez adott külső ponton át[szerkesztés]

60 fokos szög szerkesztése adott egyeneshez adott külső ponton át

Legyen ismét az egyenes , és a pont !

  • Merőlegest bocsátunk a pontból -re. Innen kapjuk az és kör-egyenes szimmetrikus metszéspontokat, a -vel átellenes pontot. A talppontot a továbbiakban jelöli.
  • Kört húzunk körül úgy, hogy átmenjen a ponton. Ez a kör a továbbiakban .
  • Ugyanekkora sugárral körül is kört húzunk, ez a kör. A két kör metszéspontjai és , melyek össztekötő egyenese a szakasz felezőmerőlegese.
  • A háromszög egyenlő oldalú, melynek -n átmenő oldalai -et 60 fokban metszik.

Egy alternatív szerkesztésmód:

  • Húzunk egy kört a pont körül úgy, hogy messe a egyenest. Az egyik metszéspontot megjelöljük, ez lesz az pont.
  • Ugyanezzel a sugárral kört húzunk az pont körül, ennek egyik metszéspontja a pont.
  • körül kört húzunk ugyanezzel a sugárral, ami a körüli kört a pontban metszi.
  • A pont körül kört húzunk, ennek metszéspontja a pont körüli körrel a pont.
  • A egyenes 60 fokban metszi a egyenest.

A 60 fokos szög szerkesztése[szerkesztés]

60 fokos szög szerkesztése adott egyeneshez adott külső ponton át (egy alternatív szerkesztési mód)
  • Meghúzunk egy egyenes szakaszt
  • Kijelölünk rajta egy O pontot
  • Húzunk O-ból egy körívet, ami metszi az egyenes szakaszt; a metszéspont legyen A
  • A körző szögnyílását változatlanul hagyva húzunk A-ból egy körívet, hogy messe az O középpontú körívet. Legyen ez a metszéspont B
  • Az AOB hegyesszög 60 fokos lesz.

A 60 fokos szögből felezéssel kapható a 30 fokos szög. Derékszög nyerhető egy 60 és egy 30 fokos szög egymás mellé másolásával, vagy az egyenesszög megfelezésével.

Ezekkel a szögekkel szerkeszthetők szabályos hatszögek, szabályos háromszögek, téglalapok és négyzetek.

A 90 fokos szög (derékszög) szerkesztése[szerkesztés]

Derékszög szerkesztésekor egy előre megadott, vagy felvett szakasz felezőmerőlegesét szerkesztjük meg.

Merőleges állítása egyenesre annak egy pontjában[szerkesztés]

Merőleges állítása egyenesre külső pontból
Merőleges állítása egyenesre annak egy pontjában

Nevezzük az egyenest -nek, és az adott pontot -nek!

  • Húzunk egy tetszőleges sugarú kört középponttal. A kört két pontban metszi.
  • Egyforma sugarú köröket húzunk a metszéspontok körül. A sugarat akkorának kell választani, hogy ezek a körök messék egymást.
  • Összekötjük a két kör metszéspontjait. Az így kapott szakasz a egyenest a pontban merőlegesen metszi.

Merőleges állítása egyenesre külső pontból[szerkesztés]

Legyen ismét az egyenes, és az adott pont !

  • Húzunk egy kört középponttal és akkora távolsággal, ami nagyobb, mint a pont és az egyenes távolsága. A kört két pontban metszi.
  • Egyforma sugarú köröket húzunk a metszéspontok körül. A sugarat akkorának kell választani, hogy ezek a körök messék egymást.
  • Összekötjük a két kör metszéspontjait. Az így kapott egyenes merőlegesen metszi a egyenest, és átmegy a ponton.

Merőleges állítása adott metszéspont nélkül[szerkesztés]

Merőleges szerkesztése Thalész-körrel

Legyen az egyenes továbbra is !

  • A egyenesen tetszőlegesen felvesszük a különböző és pontokat.
  • Húzunk két kört egyforma sugárral és körül, hogy messék egymást. A két metszéspontot összekötve merőlegest kapunk a egyenesre.

Diszkusszió[szerkesztés]

Nem kell a teljes köröket felrajzolni. Elég csak akkora köríveket behúzni, hogy a metszéspontok megtalálhatók legyenek.

Minél messzebb vesszük fel a segédpontokat, annál pontosabb lehet a szerkesztés, hiszen annál kisebb hatása van a behúzott vonalak vastagságának. Viszont ha nagy a távolság, akkor a körök laposabb szögben metszik egymást, ami növeli a pontatlanságot.

Szakaszfelező merőleges[szerkesztés]

Szakaszfelező merőleges

Hasonló szerkesztéssel lehet kijelölni szakaszfelező merőlegest: a szakasz végpontjai körül köröket húzunk egyforma sugárral, és összekötjük ezek metszéspontjait.

30 fokos szög szerkesztése[szerkesztés]

Habár 30 fokos szög megkapható a 60 fokos szög felezésével, azért 30 fokos szög egyszerűbben is szerkeszthető.

Adott egyenest adott pontjában 30 fokban metsző egyenes szerkesztése[szerkesztés]

Adott egyenest adott pontjában 30 fokban metsző egyenes szerkesztése


Legyen az egyenes , az adott pont !

  • Felveszünk egy tetszőleges pontot az egyenesen, és kört húzunk középponttal a ponton át. Adódik a metszéspont.
  • Kört húzunk a pont körül ugyanezzel a sugárral, és legyen a két kör egyik metszéspontja .
  • A egyenes -et 30 fokban metszi.

Adott egyenest adott külső ponton átmenő, 30 fokban metsző egyenes szerkesztése[szerkesztés]

Legyen az egyenes , az adott pont !

  • Tetszőleges sugárral kört húzunk körül, ami -et az , pontokban metszi.
  • Az pont körül sugárral kört húzunk. Hasonlóan, körül ugyanezzel a sugárral kört húzunk. A két kör túloldali metszéspontját jelölje .
  • A egyenes metszéspontja -gyel .
  • sugárral kört húzunk és körül is. Adódik az pont.
  • -t -vel összekötve adódik az pont.
  • sugárral kört húzunk körül, a -gyel vett metszéspont .
  • sugárral kört rajzolunk a pont körül, ez a egyenest a pontban metszi.
  • A egyenes -et 30 fokban metszi.

Egy alternatív szerkesztésmód a 60 fokos szög alternatív szerkesztésén alapul. Az ottani jelölésekkel az ötödik kör középpontú, -n átmenő kör, a 30 fokban metsző egyenes a egyenes.

Adott egyenest adott külső ponton átmenő, 30 fokban metsző egyenes szerkesztése
Adott egyenest adott külső ponton átmenő, 30 fokban metsző egyenes szerkesztése, alternatív szerkesztési módszer


A szabályos ötszögből kapható szögek[szerkesztés]

Szabályos ötszög szerkeszthető, így a 72, a 108 és az 54 fokos szögek. Ezekkel tovább bővül a szerkeszthető szögek köre.

Szabályos ötszög szerkeszthető például adott a oldalhosszból:

  • Felvesszük az adott oldalhosszt A és B végpontokkal, "a" szakaszhossz.
  • Megszerkesztjük AB felezőmerőlegesét
  • Felmérjük a felezőmerőlegesre az "a" szakaszhosszt; az így kimetszett pont Q
  • Az AQ szakasz meghosszabbítására felmérjük az "a" hossz felét; az így kimetszett pont R. Az AR szakasz hossza adja az ötszög átlójának hosszát, d-t
  • Az AB felezőmerőlegesből az A-ból húzott d sugarú körív kimetszi D-t. Ezzel megkaptuk a szabályos ötszög egy oldala és egy átlója által bezárt szöget
  • Az ötszög hiányzó két csúcsa a már meglevő csúcsokból húzott a sugarú körívekkel.

Ezzel megkapjuk a szabályos ötszög belső szögeként a 108 fokos szöget, ennek kiegészítő szögeként a 72 fokos szöget, és felezéssel az 54 fokos szöget.

72°, 54° és 18° szabályos ötszögben: ,


Általános szögszerkesztések[szerkesztés]

A 3°-os szög többszörösei szerkeszthetők. Az ábra néhány példát mutat erre.
A 9° és a 3° szerkesztéséhez szükség van a 30° és a szabályos ötszög szerkesztésére

Szerkeszthetők a fenti szögek, 90°, 60°, 72° illetve 54°; ezek összegei, különbségei, és felezéssel (ami tetszőleges számszor megismételhető) további szögek kaphatók. Például 3° kapható a következőképpen: . Általában szerkeszthetők azok a szögek, melyek szinusza (koszinusza) előáll egész számokból alapműveletekkel és négyzetgyökvonásokkal. Ez teljesül például minden olyan szögre, ami a 3°-os szög egész számú többszöröse: [3]

A szögfelezés kifejezhető a felezési tételekkel:

és

Az összeadások, kivonások követhetők az addíciós tételekkel:

und

Kiszámítható, hogy a 17-szög középponti szögének koszinusza:

,

ami szerkeszthetőségét igazolja.

Tételek a szögekről[szerkesztés]

  • Speciális eset: Thalész-tétel: egy kör átmérőjéből a kör pontjai derékszögben látszanak
Kerületi szög, középponti szög és húr-érintő szög

Trigonometria[szerkesztés]

A trigonometrikus függvények vagy szögfüggvények eredetileg egy derékszögű háromszög egy szöge és két oldalának hányadosa közötti összefüggést írják le.

A szögfüggvényeknek a derékszögű háromszög két oldalának hányadosa és a szög összefüggésén kívül az egységsugarú körben tekintett forgásszög-végpontok metszeteivel (vetületeivel, koordinátáival) is definiálhatók. Ez utóbbi definíció már 90°, azaz π/2-nél nagyobb, sőt negatív (mindent összevéve, tetszőleges valós) argumentumokra is működik.

A szögfüggvények segítségével pontosíthatók az összefüggések a háromszögek oldalai és szögei között:

  • Szinusztétel: egy háromszög oldalainak aránya megegyezik a szemközti szögek szinuszainak arányával. A háromszög oldalai és szögei közötti összefüggés pontos alakja
  • Koszinusztétel: : A Pitagorasz-tétel általánosítása

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

File:Wiktionary-logo-hu.svg
Nézd meg a szög címszót a Wikiszótárban!

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Winkel című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.