Koszinusztétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jelölések

A koszinusztétel a derékszögű háromszögekre vonatkozó Pitagorasz-tétel általánosítása tetszőleges háromszögekre. Az ábra jelöléseivel:

vagy másként:

Bizonyítások[szerkesztés]

  • A tétel bizonyítható egy háromszög két derékszögű háromszögre való felbontásával.
    Koszinusztétel bizonyítása

Ekkor az ábrán bal oldalon látható derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt kapjuk az állítást:

felhasználva a trigonometriai azonosságot.

Megjegyzés: Ez a bizonyítás egy kisebb módosítást igényel, ha . Ebben az esetben a bal oldali háromszög, amire felírtuk a Pitagorasz-tételt, a háromszögön kívül lesz. A változás a bizonyításban csupán az, hogy helyett szerepel. Mivel a bizonyításban ennek a mennyiségnek csak a négyzete szerepel, a bizonyítás maradék része változatlan marad.

  • Belátható vektorok segítségével is:

Az háromszög adott. -ből indítsuk a helyvektorokat. -ba mutató vektor legyen . -be mutató vektor legyen . Az és vektorok hajlásszöge legyen .

Ekkor . (Mert a skaláris szorzat disztributív a vektorösszeadásra nézve.) QED

Alkalmazások[szerkesztés]

A koszinusztétel segítségével meg lehet határozni egy háromszög többi adatát két oldalából és az általuk közbezárt szögből vagy három oldalból. Az utóbbi esetben célszerű a meghatározást a legnagyobb oldallal szemközti szöggel kezdeni, így ugyanis a többi szög a szinusztétel használatával is egyértelmű lesz (mivel ezek már biztosan hegyesszögek).

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]