Szinusztétel

A szinusztétel egy geometriai tétel, miszerint egy tetszőleges háromszög oldalainak aránya megegyezik a szemközti szögek szinuszainak arányával. Tehát

{\frac {a}{b}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}

vagy (ritkábban)

a\,:\,b\,:\,c\;=\;\sin \,\alpha \;:\;\sin \,\beta \;:\;\sin \,\gamma

A szinusztétellel ekvivalens az az állítás, miszerint bármely hegyesszögű háromszögben egy szög szinuszának és a szöggel szemközti oldal aránya állandó (tehát ez az arány független attól, hogy melyik oldalra és vele szemközti szögre írjuk fel). Ez az állandó nem más, mint az adott háromszög körülírt köre átmérőjének reciproka:

{\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}={\frac {1}{2R}}

ahol R a körülírt kör sugara. A tételt inkább ennek a fordítottjaként használjuk:

{\frac {s}{\sin \sigma }}=2R,

ahol s a háromszög egyik oldala, σ pedig a vele szemben lévő szög.

Bizonyítás

Derékszögű háromszögekkel

A szokásos jelöléssel élve legyen T a c oldalhoz tartozó magasság talppontja (a c oldal és a hozzá tartozó magasságvonal metszete) és legyen a CT magasságszakasz hossza m. Ekkor az ATC illetve a CTB derékszögű háromszögben felírva az α illetve a β szög szinuszát kapjuk, hogy

\sin \alpha ={\frac {m}{b}}

és

\sin \beta ={\frac {m}{a}}

Ezt a két egyenletet elosztva egymással kapjuk, hogy

{\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}={\frac {\;{\cfrac {m}{b}}\;}{\cfrac {m}{a}}}={\frac {m}{b}}\cdot {\frac {a}{m}}={\frac {a}{b}}

Köréírt körrel I

A kicsit többet mondó, a körülírt kör sugarát tartalmazó állítás bizonyítása pedig: a körülírt kör S középpontját véve, az SAB háromszög egyenlő szárú lesz, hisz SA=SB=r; s ezért ennek S ponthoz tartozó magasságvonala (egyébként ez az AB=c oldal felezőmerőlegese) felezi a c oldalt. Legyen a c=AB oldal felezőpontja F, ekkor az SFA háromszög derékszögű (hisz elmondtuk, hogy SF merőleges AB=c-re); és S-nél lévő szöge a jelen állítástól függetlenül bizonyítható kerületi és középponti szögek tételéből adódóan γ. Felírva ebben a háromszögben e szög szinuszát: $\sin(\gamma )={\frac {FB}{SB}}={\frac {\frac {c}{2}}{r}}={\frac {c}{2r}}$ . Ebből már adódik, hogy ezt a mennyiséget c-vel osztva, épp ${\frac {1}{2r}}$ -t kell kapnunk. Eredményünket a c oldal megválasztásától függetlenül kaptuk, tehát érvényes az a, b oldalakra és az α, β szögekre is. QED.

Területképletből

A trigonometrikus területképlet felhasználásával egészen rövid bizonyítást kapunk:

$T={\frac {a\ c\ \sin \ \beta }{2}}={\frac {b\ c\ \sin \ \alpha }{2}}\rightarrow a\ \sin \ \beta =b\ \sin \ \alpha$ , tehát ${\frac {a}{b}}={\frac {\sin \ \alpha }{\sin \ \beta }}$ .

Köré írt körrel II

Adott az $ABC\triangle$ , ahol $AB=c,\,AC=b,\,BC=a$ , valamint $BAC\angle =\alpha ,\,CBA\angle =\beta ,\,ACB\angle =\gamma$ . A köré írt kör középpontja $S$ , sugara $R$ . Vegyük fel a háromszög egyik csúcsából kiinduló átmérőt, legyen ez a csúcs $A$ ! Ekkor az átmérő másik végpontja $C'$ . Ekkor $AC'B\angle =ACB\angle =\gamma$ a kerületi szögek tétele alapján, valamint $ABC'\triangle$ derékszögű, ezt a Thalész-tétel garantálja. Ekkor a szinuszfüggvény definíciója alapján kapjuk, hogy $c=2R\sin \gamma \Rightarrow {\frac {c}{\sin \gamma }}=2R$ . Ez bármelyik oldalra igaz lesz, ebből következik a tétel.^[1] Ha $\gamma$ tompaszög, akkor a kör középpontja a háromszögön kívül fekszik, így a $C'$ -nél fekvő szög $\gamma$ mellékszöge lesz. Ez nem okoz problémát, tudván, hogy $\sin \alpha =\sin(180^{\circ }-\alpha )$ . Derékszög esetén pedig a tétel triviálisan igaz. QED

Alkalmazások

A szinusztétel segítségével a háromszög három független adatából – két oldala és az azokkal szemben fekvő szögei közül – meghatározhatjuk a hiányzó negyediket. A nagyobb oldallal szemközti szög meghatározásakor két megoldást is kaphatunk, mert egy adott (1-nél kisebb) szinuszértékhez egy hegyes- és egy tompaszög is tartozik, ezért mindig mérlegelni kell, melyik megoldás jó.

Egy oldal és két szög

Ekkor a háromszög harmadik szöge kiszámítható a szögek összegéből:

\gamma =180^{\circ }-(\alpha +\beta )

A háromszög második oldala megkapható a következőképpen: Ha adva van az $a$ oldal, és a szögek ismertek, akkor a $b$ oldal:

b={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }}\cdot a

.

A harmadik oldal hasonlóan megkapható:

c={\frac {\sin \gamma }{\sin \alpha }}\cdot a

, és ezzel a háromszöget megoldottuk.

Két oldal és a nagyobbal szemközti szög

A szinusztételt a kisebb oldallal szemközti szög szinuszára írjuk fel. Adva legyenek az $a$ és $b$ oldalak, ahol $b<a$ , és adva legyen az $\alpha$ szög. Ekkor

\sin \beta ={\frac {b\cdot \sin \alpha }{a}}

.

Mivel $b<a$ , azért $\beta <\alpha$ , és mivel a háromszög szögösszege 180°, azért $\beta <90^{\circ }$ , vagyis hegyesszög, tehát csak hegyesszögű megoldás fogadható el, amit az árkusz szinusz függvénnyel kaphatunk vissza:

\beta =\arcsin \left({\frac {b\cdot \sin \alpha }{a}}\right)

.

A harmadik szöget kiszámítjuk a háromszög szögösszegének tételéből:

\gamma =180^{\circ }-(\alpha +\beta )

A harmadik oldal megkapható a szinusztétel újbóli alkalmazásával, vagy koszinusztétellel:

c={\frac {\sin \gamma }{\sin \alpha }}\cdot a

,

ezzel a háromszöget megoldottuk.

Két oldal és a kisebbel szemközti szög

Ha a rövidebb oldallal szemközti szög van megadva, akkor többnyire két megoldás van. Adva legyenek az $a$ és $b$ oldalak, ahol $a<b$ , és az $\alpha$ szög, ekkor a szinusztétel szerint

\sin \beta ={\frac {b\cdot \sin \alpha }{a}}

.

Az egyik megoldás $\beta _{1}=\arcsin \left({\frac {b\cdot \sin \alpha }{a}}\right)$ , a másik megoldás pedig $\beta _{2}=180^{\circ }-\beta _{1}$ . A hosszabb oldallal szemközti esettel ellentétben $\beta _{2}$ nem zárható ki.

A körülírt kör sugara

A körülírt kör sugarára teljesül, hogy^[2]^[3]

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2\cdot R

.

Innen a körülírt kör sugara számítható.

Más geometriákban

Gömbi geometria

A gömbi geometriában a szinusztétel a következő alakot ölti: ^[4]

{\frac {\sin \alpha }{\sin a}}={\frac {\sin \beta }{\sin b}}={\frac {\sin \gamma }{\sin c}}

.

ahol $a$ , $b$ és $c$ az oldalak ívmértéke, és $\alpha$ , $\beta$ és $\gamma$ a velük szemben fekvő szögek a gömb felszínén.

Bizonyítás

Az egységgömb sugara

OA=OB=OC=1

A $D$ pont az $OB$ sugáron, az $E$ pont az $OC$ sugáron fekszik, úgy, hogy $\angle ADO=\angle AEO=90^{\circ }$ . Az $A'$ pont az $OBC$ síkban található, úgy, hogy $\angle A'DO=\angle A'EO=90^{\circ }$ . Következik, hogy $\angle ADA'=\beta$ és $\angle AEA'=\gamma$ . Mivel $A'$ az $A$ merőleges vetülete az $OBC$ síkra, azért $\angle AA'D=\angle AA'E=90^{\circ }$ .

A szinuszfüggvény definíciója szerint

\sin c={\frac {AD}{OA}}=AD

,

\sin b={\frac {AE}{OA}}=AE

.

Továbbá $AA'=AD\cdot \sin \beta =AE\cdot \sin \gamma$ . Behelyettesítéssel

\sin c\cdot \sin \beta =\sin b\cdot \sin \gamma

.

Ugyanígy kapjuk, hogy $\sin b\cdot \sin \alpha =\sin a\cdot \sin \beta$ , tehát

{\frac {\sin \alpha }{\sin a}}={\frac {\sin \beta }{\sin b}}={\frac {\sin \gamma }{\sin c}}

.

Bizonyítás a gömbi koszinusztétellel

Mivel $\sin ^{2}\alpha =1-\cos ^{2}\alpha$ , azért^[5]

{\begin{aligned}\sin ^{2}\alpha &=1-\cos ^{2}\alpha \\&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\cdot \cos c}{\sin b\cdot \sin c}}\right)^{2}\\&={\frac {1-\cos ^{2}b}{\sin ^{2}b}}\cdot {\frac {1-\cos ^{2}c}{\sin ^{2}c}}-\left({\frac {\cos a-\cos b\cdot \cos c}{\sin b\cdot \sin c}}\right)^{2}\\&={\frac {(1-\cos ^{2}b)\cdot (1-\cos ^{2}c)-(\cos a-\cos b\cdot \cos c)^{2}}{\sin ^{2}b\cdot \sin ^{2}c}}\\&={\frac {1-\cos ^{2}a-\cos ^{2}b-\cos ^{2}c+2\cdot \cos a\cdot \cos b\cdot \cos c}{\sin ^{2}b\cdot \sin ^{2}c}}\\\end{aligned}}

Osztva az egyenletet $\sin ^{2}a$ -tel és négyzetgyökvonással

{\begin{aligned}{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\sin ^{2}a}}&={\frac {1-\cos ^{2}a-\cos ^{2}b-\cos ^{2}c+2\cdot \cos a\cdot \cos b\cdot \cos c}{\sin ^{2}a\cdot \sin ^{2}b\cdot \sin ^{2}c}}\\{\frac {\sin \alpha }{\sin a}}&={\frac {\left(1-\cos ^{2}a-\cos ^{2}b-\cos ^{2}c+2\cdot \cos a\cdot \cos b\cdot \cos c\right)^{\frac {1}{2}}}{\sin a\cdot \sin b\cdot \sin c}}\\\end{aligned}}

Az egyenlet jobboldala egyenlő ${\frac {\sin \beta }{\sin b}}$ -vel, és egyenlő ${\frac {\sin \gamma }{\sin c}}$ -vel, mivel ott az $a$ , $b$ és $c$ változók ciklikusan cserélhetők. Hasonlóan levezethető ${\frac {\sin \alpha }{\sin a}}$ -ra. összesítve adódik, hogy

{\frac {\sin \alpha }{\sin a}}={\frac {\sin \beta }{\sin b}}={\frac {\sin \gamma }{\sin c}}

.

Hiperbolikus geometria

A -1 görbületű hiperbolikus geometriában a szinusztétel a következő alakot ölti: ${\frac {\sin \alpha }{\operatorname {sh} a}}={\frac {\sin \beta }{\operatorname {sh} b}}={\frac {\sin \gamma }{\operatorname {sh} c}}\,.$ Ha $\beta$ derékszög, akkor a fenti képlet így alakul: $\sin \gamma ={\frac {\operatorname {sh} c}{\operatorname {sh} b}}$ ami analóg azzal a képlettel, mely az euklidészi geometriában kifejezi a szög szinuszát, mint a szöggel szemközti oldal és az átfogó hányadosát.

Állandó görbületű felületek

Legyen a szinuszfüggvény a következőképpen definiálva, ahol $\kappa$ valós paraméter: $\sin _{\kappa }(x)=x-{\frac {\kappa }{3!}}x^{3}+{\frac {\kappa ^{2}}{5!}}x^{5}-{\frac {\kappa ^{3}}{7!}}x^{7}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\kappa ^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}.$

A $\kappa$ állandó görbületű felületen a szinusztétel:^[6] ${\frac {\sin \alpha }{\sin _{\kappa }a}}={\frac {\sin \beta }{\sin _{\kappa }b}}={\frac {\sin \gamma }{\sin _{\kappa }c}}\,.$

A $\kappa =0$ , $\kappa =1$ és $\kappa =-1$ helyettesítésekkel kapjuk az $\sin _{0}(x)=x$ , $\sin _{1}(x)=\sin x$ , és $\sin _{-1}(x)=\operatorname {sh} x$ függvényeket, melyek rendre megfelelnek az euklidészi, a gömbi és a hiperbolikus esetekre, melyekről fentebb írtunk.^[6]

Jelezze $p_{\kappa }(r)$ az $r$ sugarú kör kerülete egy konstans $\kappa$ sugarú felületen. Ekkor $p_{\kappa }(r)=2\pi \sin _{\kappa }(r)$ . Így a szinusztétel kifejezhető, mint ${\frac {\sin \alpha }{p_{\kappa }(a)}}={\frac {\sin \beta }{p_{\kappa }(b)}}={\frac {\sin \gamma }{p_{\kappa }(c)}}\,.$ ahogy azt Bolyai János felfedezte.^[7]

Magasabb dimenziókban

Egy tetraédernek négy háromszöglapja van. A tetraéder egy csúcsában találkozó lapok normálvektorainak poláris szinuszának abszolútértékét elosztva a szemben fekvő oldal területével olyan értéket kapunk, ami nem függ a csúcs választásától:^[8]

${\begin{aligned}&{\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{a}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{b}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{c}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )\right|}{\mathrm {Area} _{d}}}\\[4pt]={}&{\frac {(3~\mathrm {Volume} _{\mathrm {tetrahedron} })^{2}}{2~\mathrm {Area} _{a}\mathrm {Area} _{b}\mathrm {Area} _{c}\mathrm {Area} _{d}}}\,.\end{aligned}}$

Általánosabban, egy $n$ dimenziós szimplex az $n$ dimenziós euklideszi térben az egy csúcsban összefutó hiperlapok normálvektorainak poláris szinuszait osztva a szemben fekvő lap hiperterületével egy oölyan értéket kapunk, ami független a csúcs választásától. Jelölje most $V$ a szimplex $n$ dimenziós térfogatát, és $P$ az $n-1$ dimenziós hiperlapok hiperterületének szorzatát, ekkor a közös arány ${\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {b} ,\ldots ,\mathbf {z} )\right|}{\mathrm {Area} _{a}}}=\cdots ={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\ldots ,\mathbf {y} )\right|}{\mathrm {Area} _{z}}}={\frac {(nV)^{n-1}}{(n-1)!P}}.$

Története

A szinusztétellel ekvivalens az a kijelentés, hogy egy háromszög oldalhosszai arányosak azoknak a húroknak a hosszával, melyek a háromszög szemben fekvő szögének kétszereséhez tartoznak. Klaudiosz Ptolemaiosz, az i. sz. 2. században élt görög csillagász ismerte és alkalmazta az összefüggést az Almagesztben.^[9]

Brahmagupta 7. századi indiai matematikus csillagászati és matematikai munkájában szerepelnek a szinusztétellel rokonítható állítások. A Brāhmasphuṭasiddhānta című művében Brahmagupta egy háromszög köré írt kör sugarát a háromszög két oldalának szorzatával és a szemben fekvő oldalhoz tartozó magasság kétszeresének hányadosával fejezi ki, Ebből a szinusztétel úgy bizonyítható, hogy a háromszög egyik oldalával és egy belső szög szinuszával kifejezzük a háromszög magasságát, az eredményt pedig visszahelyettesítjük.^[10]^[11] Brahmagupta a Khaṇḍakhādyaka című művében közelebb jutott a modern szinusztételnek megfelelő képlethez, amikor a Föld és más bolygók távolságát határozta meg epiciklusok segítségével. Azonban Brahmagupta nem kezelte a szinusztételt különálló témaként, és nem használta szisztematikusan a háromszögeken alapuló számításokhoz.^[12]^[13]

A gömbháromszögekre felírt szinusztételt gyakran tulajdonítják a 10. században élt Abu-Mahmud Khujandi és Abu l-Vafá Muhammad ibn Muhammad al-Búzdzsáni tudósoknak, mivel megjelent ez utóbbi Almagestjében is. Abū Naṣr Manṣūr ibn ʿAlī ibn ʿIrāq al-Jaʿdī művében is megtalálható. Tanítványa, Al-Biruni neki tulajdonítja a tételt a Kulcs a csillagászathoz című művében.^[14]^[15] Ibn Mu'adh al-Jayyani 11. századi műve szintén tartalmazza a gömbi szinusztételt.^[16]

Naszír ad-Dín Túszí a 13. században megfogalmazta és bizonyította a síkháromszögek szinusztételét:^[17]

Egy síkháromszögben az oldalak aránya megegyezik a szemben fekvő szögek szinuszainak arányával.

Mai jelöléssel: $|{\overline {AB}}|:|{\overline {AC}}|=\sin(\angle ACB):\sin(\angle CBA)$

A szinusztétel alkalmazásával képes volt számításokat végezni, ha adva volt egy oldal és két szög, vagy pedig két szög és egy oldal. Ha két oldal és az általuk közrezárt szög volt megadva, akkor a háromszöget két derékszögű háromszögre osztotta fel. Ha három oldal volt megadva, akkor merőleges bocsátott az egyik oldalra, és alkalmazta az Elemek II-13-as tételét, ami a koszinusztétel elemi geometriai megfelelője. Megállapította azt a fontos következményt is, hogy a körívek összegéből és különbségéből, illetve a megfelelő szinuszértékek arányából maguk az ívhosszak is kiszámíthatók.^[18]

Glen Van Brummelen szerint a 15. században a IV könyvben a német Regiomontanus a szinusztétellel végzett számításokat a derékszögű háromszögekben. Ezekre a számításokra alapozta további számításait általános háromszögekben.^[19]

Jegyzetek

↑ Coxeter, H. S. M. (1977) [1967]. Az újra felfedezett geometria. (ford. Merza József). Budapest: Gondolat. ISBN 963 280 512 7. {{cite book}}: Unknown parameter |coauthors= ignored (|author= suggested) (súgó)
↑ H. S. M. Coxeter (1969). Introduction to Geometry. Wiley. 13. o. {{cite book}}: Unknown parameter |Auflage= ignored (|edition= suggested) (súgó); Unknown parameter |link= ignored (súgó)
↑ I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew (2001). Taschenbuch der Mathematik (5. ed.). Verlag Harri Deutsch. 147. o. ISBN 3-8171-2005-2.
↑ Ilka Agricola, Thomas Friedrich (2015). Elementargeometrie (4. ed.). Wiesbaden: Springer Spektrum. 200. o. ISBN 978-3-658-06730-4.
↑ Sudipto Banerjee (2004). Revisiting Spherical Trigonometry with Orthogonal Projectors. 375–381. o. {{cite book}}: External link in |Online= (súgó); More than one of |number= és |issue= specified (súgó); Unknown parameter |Online= ignored (|url= suggested) (súgó); Unknown parameter |in= ignored (súgó)
1 2 "Generalized law of sines". mathworld.
↑ Katok, Svetlana (1992). Fuchsian groups. Chicago: University of Chicago Press. 22. o. ISBN 0-226-42583-5.
↑ Eriksson, Folke (1978). "The law of sines for tetrahedra and n-simplices". Geometriae Dedicata. 7 (1): 71–80. doi:10.1007/bf00181352.
↑ Gerald J. Toomer (1998). [7, fn. 10; 462, fn. 96 Ptolemy's Almagest] (angol nyelven). Princeton University Press. {{cite book}}: Check |url= value (súgó)
↑ Henry James Jacques Winter (1952). Eastern Science (angol nyelven). John Murray. 46. o.
↑ Henry Thomas Colebrooke (1817). Algebra, with Arithmetic and Mensuration from the Sanscrit of Brahmegupta and Bhascara (angol nyelven). London: John Murray. 299–300. o.
↑ Glen van Brummelen (2009). The Mathematics of the Heavens and the Earth (angol nyelven). Princeton University Press. 109–111. o. ISBN 978-0-691-12973-0.
↑ Brahmagupta (1934). The Khandakhadyaka: An Astronomical Treatise of Brahmagupta. University of Calcutta. {{cite book}}: Unknown parameter |Originaltitel= ignored (|title= suggested) (súgó); Unknown parameter |languages= ignored (súgó); Unknown parameter |Übersetzer= ignored (súgó)
↑ Jacques Sesiano (2000). "Islamic mathematics". In Helaine Selin, Ubiratan d'Ambrosio (ed.). Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics (angol nyelven). Springer. 137–157. o. ISBN 1-4020-0260-2.
↑ Glen Van Brummelen (2009). The Mathematics of the Heavens and the Earth (angol nyelven). Princeton University Press. 183–185. o. ISBN 978-0-691-12973-0.
↑ John J. O’Connor, Edmund F. Robertson: Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani. In: MacTutor History of Mathematics archive
↑ John J. O’Connor, Edmund F. Robertson: Nasir al-Din al-Tusi. In: MacTutor History of Mathematics archive
↑ Victor J. Katz (2017). A History of Mathematics: An Introduction (angol nyelven). Pearson. 315. o. ISBN 978-0-13-468952-4.
↑ Glen Van Brummelen (2009). The Mathematics of the Heavens and the Earth: The Early History of Trigonometry (angol nyelven). Princeton University Press. 259. o. ISBN 978-0-691-12973-0.

Források

dr. Pelle Béla (1974). Geometria. Tankönyvkiadó Vállalat. ISBN 963-17-0746-6.
Manfred Leppig (Hrsg.): Lernstufen Mathematik. 1. Auflage, 4. Druck. Girardet, Essen 1981, ISBN 3-7736-2005-5, S. 189–190.
H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Geometry Revisited. Mathematical Association of America, Washington, D.C. 1967, S. 1–3.
Alexander Witting (1921). Einführung in die Trigonometrie. Wiesbaden: Springer. 20–27. o. {{cite book}}: Unknown parameter |in= ignored (súgó)
Glen Van Brummelen: Trigonometry: A Very Short Introduction. Oxford University Press, 2020, S. 63–68.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Sinussatz című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Ez a szócikk részben vagy egészben a Law of sines című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Kapcsolódó szócikkek

Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

[1] Coxeter, H. S. M. (1977) [1967]. Az újra felfedezett geometria. (ford. Merza József). Budapest: Gondolat. ISBN 963 280 512 7. {{cite book}}: Unknown parameter |coauthors= ignored (|author= suggested) (súgó)

[2] H. S. M. Coxeter (1969). Introduction to Geometry. Wiley. 13. o. {{cite book}}: Unknown parameter |Auflage= ignored (|edition= suggested) (súgó); Unknown parameter |link= ignored (súgó)

[3] I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew (2001). Taschenbuch der Mathematik (5. ed.). Verlag Harri Deutsch. 147. o. ISBN 3-8171-2005-2.

[4] Ilka Agricola, Thomas Friedrich (2015). Elementargeometrie (4. ed.). Wiesbaden: Springer Spektrum. 200. o. ISBN 978-3-658-06730-4.

[5] Sudipto Banerjee (2004). Revisiting Spherical Trigonometry with Orthogonal Projectors. 375–381. o. {{cite book}}: External link in |Online= (súgó); More than one of |number= és |issue= specified (súgó); Unknown parameter |Online= ignored (|url= suggested) (súgó); Unknown parameter |in= ignored (súgó)

[mathworld-6] 1 2 "Generalized law of sines". mathworld.

[7] Katok, Svetlana (1992). Fuchsian groups. Chicago: University of Chicago Press. 22. o. ISBN 0-226-42583-5.

[8] Eriksson, Folke (1978). "The law of sines for tetrahedra and n-simplices". Geometriae Dedicata. 7 (1): 71–80. doi:10.1007/bf00181352.

[9] Gerald J. Toomer (1998). [7, fn. 10; 462, fn. 96 Ptolemy's Almagest] (angol nyelven). Princeton University Press. {{cite book}}: Check |url= value (súgó)

[10] Henry James Jacques Winter (1952). Eastern Science (angol nyelven). John Murray. 46. o.

[11] Henry Thomas Colebrooke (1817). Algebra, with Arithmetic and Mensuration from the Sanscrit of Brahmegupta and Bhascara (angol nyelven). London: John Murray. 299–300. o.

[12] Glen van Brummelen (2009). The Mathematics of the Heavens and the Earth (angol nyelven). Princeton University Press. 109–111. o. ISBN 978-0-691-12973-0.

[13] Brahmagupta (1934). The Khandakhadyaka: An Astronomical Treatise of Brahmagupta. University of Calcutta. {{cite book}}: Unknown parameter |Originaltitel= ignored (|title= suggested) (súgó); Unknown parameter |languages= ignored (súgó); Unknown parameter |Übersetzer= ignored (súgó)

[14] Jacques Sesiano (2000). "Islamic mathematics". In Helaine Selin, Ubiratan d'Ambrosio (ed.). Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics (angol nyelven). Springer. 137–157. o. ISBN 1-4020-0260-2.

[15] Glen Van Brummelen (2009). The Mathematics of the Heavens and the Earth (angol nyelven). Princeton University Press. 183–185. o. ISBN 978-0-691-12973-0.

[16] John J. O’Connor, Edmund F. Robertson: Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani. In: MacTutor History of Mathematics archive

[17] John J. O’Connor, Edmund F. Robertson: Nasir al-Din al-Tusi. In: MacTutor History of Mathematics archive

[18] Victor J. Katz (2017). A History of Mathematics: An Introduction (angol nyelven). Pearson. 315. o. ISBN 978-0-13-468952-4.

[19] Glen Van Brummelen (2009). The Mathematics of the Heavens and the Earth: The Early History of Trigonometry (angol nyelven). Princeton University Press. 259. o. ISBN 978-0-691-12973-0.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]