Szinusztétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
Jelölések a háromszögben

A szinusztétel egy geometriai tétel, miszerint egy tetszőleges háromszög oldalainak aránya megegyezik a szemközti szögek szinuszainak arányával. Tehát

vagy (ritkábban)

A szinusztétellel ekvivalens az az állítás, miszerint bármely hegyesszögű háromszögben egy oldal hosszának és a szemközti szög szinuszának aránya állandó (tehát ez az arány független attól, hogy melyik oldalra és vele szemközti szögre írjuk fel). Ez az állandó nem más, mint az adott háromszög körülírt köre átmérőjének reciproka:

ahol R a körülírt kör sugara.

Bizonyítás[szerkesztés]

Derékszögű háromszögekkel[szerkesztés]

A szokásos jelöléssel élve (lásd az ábrát) legyen T a c oldalhoz tartozó magasság talppontja (a c oldal és a hozzá tartozó magasságvonal metszete) és legyen a CT magasságszakasz hossza m. Ekkor az ATC illetve a CTB derékszögű háromszögben felírva az α illetve a β szög szinuszát kapjuk, hogy

és

Ezt a két egyenletet elosztva egymással kapjuk, hogy

Szinusztétel bizonyítása

Köréírt körrel I[szerkesztés]

A kicsit többet mondó, a körülírt kör sugarát tartalmazó állítás bizonyítása pedig: a körülírt kör S középpontját véve, az SAB háromszög egyenlő szárú lesz, hisz SA=SB=r; s ezért ennek S ponthoz tartozó magasságvonala (egyébként ez az AB=c oldal felezőmerőlegese) felezi a c oldalt. Legyen a c=AB oldal felezőpontja F, ekkor az SFA háromszög derékszögű (hisz elmondtuk, hogy SF merőleges AB=c-re); és S-nél lévő szöge a jelen állítástól függetlenül bizonyítható kerületi és középponti szögek tételéből adódóan α (γ). Felírva ebben a háromszögben e szög szinuszát: . Ebből már adódik, hogy ezt a mennyiséget c-vel osztva, épp -t kell kapnunk. Eredményünket a c oldal megválasztásától függetlenül kaptuk, tehát érvényes az a, b oldalakra is. QED.

Másik bizonyítás[szerkesztés]

Trigonometrikus területképletből: , tehát .

Köré írt körrel II[szerkesztés]

Adott az , ahol , valamint . A köré írt kör középpontja , sugara . Vegyük fel a háromszög egyik csúcsából kiinduló átmérőt, legyen ez a csúcs ! Ekkor az átmérő másik végpontja . Ekkor a kerületi szögek tétele alapján, valamint derékszögű, ezt a Thalész-tétel garantálja. Ekkor a szinuszfüggvény definíciója alapján kapjuk, hogy . Ez bármelyik oldalra igaz lesz, ebből következik a tétel.[1] Ha tompaszög, akkor a kör középpontja a háromszögön kívül fekszik, így a -nél fekvő szög mellékszöge lesz. Ez nem okoz problémát, tudván, hogy . Derékszög esetén pedig a tétel triviálisan igaz. QED

Alkalmazások[szerkesztés]

A szinusztétel segítségével a háromszög három független adatából – két oldala és az azokkal szemben fekvő szögei közül – meghatározhatjuk a hiányzó negyediket. A nagyobb oldallal szemközti szög meghatározásakor két megoldást is kaphatunk, mert egy adott (1-nél kisebb) szinuszértékhez egy hegyes- és egy tompaszög is tartozik, ezért mindig mérlegelni kell, melyik megoldás jó.

Források[szerkesztés]

  1. Coxeter, H. S. M., S. L. Greitzer. Az újra felfedezett geometria, (ford. Merza József), Budapest: Gondolat [1967] (1977) 

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]