Reciprok
A matematikában egy nullától különböző szám reciprokának vagy multiplikatív inverzének azt a számot nevezik, amivel a számot szorozva az eredmény 1. A reciprok fogalma értelmezhető a racionális, a valós és a komplex számok körében egyaránt. A reciprok szó latin eredetű, és kölcsönösségre utal, és inkább ezekben a számkörökben használják. A számkörökön túl általában inkább inverznek szokták hívni.
Ha a számot x jelöli, akkor a reciproka 1/x, azaz 1 osztva x-szel, vagy másképp x−1, azaz x a mínusz egyedik hatványon. Egy szám reciprokának reciprokát véve visszakapjuk az eredeti számot. Tört formában felírt racionális szám esetében a számláló és a nevező felcserélésével egyszerűen megkapható a reciprok.
A reciprok, mint függvény az egyik legegyszerűbb példa egy olyan függvényre, melynek ismétlése az eredeti helyet adja vissza, így önmaga inverze. Az ilyen függvényeket involúciónak szokták nevezni.
A reciprok elnevezést az Elemek egy 1570-es fordítása használta, de inkább az Encyclopædia Britannica harmadik kiadása (1797) hozta divatba. Az Elemek inkább geometriai mennyiségekre vonatkoztatta.[1]
A fogalom kiterjeszthető más struktúrákra is, ahol a szorzás nem feltétlenül kommutatív, és nem feltétlenül asszociatív. Ekkor nem feltétlenül teljesül, hogy ab ≠ ba, így lehet beszélni jobb és bal inverzről. Az asszociativitás biztosítja a két inverz egyenlőségét.
Függvények esetén f −1 gyakran az inverz függvényre utal, és nem a függvény inverzére. Például a szinuszfüggvény inverz függvénye az árkusz szinusz, a függvény inverze a koszekáns. Csak lineáris leképezések esetén van szó ugyanarról a függvényről. A reciprok és az inverz szavak különbözősége sem segít megkülönböztetni a kettőt, mivel különböző szerzők és nyelvek máshogy használják.
Speciális számok
[szerkesztés]A nullának semmilyen számkörben sem értelmezhető véges reciproka, ugyanis bármely számot nullával szorozva az eredmény nulla lesz. Ezért nincs olyan szám, amit nullával szorozva egyet kapnánk. A nullaszor végtelen szorzás eredménye nem egyértelmű.
A reciprok fogalmához hasonló az additív inverz, az ellentett. A valós számok körében az ellentett és az inverz mindig különböző számok. A komplex számok halmazában azonban vannak olyan számok, amiknek megegyezik az ellentettjük, és a reciprokuk: ezek éppen a képzetes egységek, a ±i.
Néhány irracionális szám reciprokának fontos speciális tulajdonságai vannak. Ide tartozik az Euler-féle szám reciproka (≈ 0,367879) és az aranymetszés reciproka (≈ 0,618034). Az szám különlegessége, hogy az függvény globális minimuma. Az aranymetszés reciproka eggyel kisebb, mint az aranymetszés: , és az egyetlen ilyen pozitív szám. Hasonló teljesül az ellentettjére, csak ellenkező előjellel: .
Az függvény végtelen sok irracionális számot ad, melyek egész számmal térnek el reciprokuktól. Például esetén adóik, melynek reciproka , ami néggyel kevesebb. Ez azt is jelenti, hogy törtrészük megegyezik reciprokuk törtrészével.
Példák
[szerkesztés]A nullától különböző valós és komplex számoknak van reciproka. Racionális számok reciproka racionális, valósaké valós, komplexeké komplex. Általában, a testek olyan struktúrák, melyekben minden nullelemtől különböző elemnek van multiplikatív inverze. Belátható, hogy ez gyűrűk esetén a másik irányba is teljesül; azaz, ha a nullelemen kívül minden elemnek van multiplikatív inverze, akkor a gyűrű test. Ha pedig algebra, akkor test fölötti algebra. Az egész számok nem alkotnak testet; csak az 1 és a -1 inverze egész.
A moduláris aritmetikában is definiálható multiplikatív inverz: az a szám által reprezentált maradékosztály multiplikatív inverze az a maradékosztály, melynek van olyan x eleme, hogy ax ≡ 1 (mod n). Ez az inverz akkor létezik, ha a és n relatív prímek. Például a 3-nak multiplikatív inverze 4 modulo 11, mivel 4 · 3 ≡ 1 (mod 11). A kiterjesztett euklideszi algoritmussal ki is számítható.
A szedeniók olyan algebrai struktúrát alkotnak, ahol vannak nullosztók, de minden nullától különböző elemnek van inverze.
Egy gyűrű fölötti négyzetes mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha determinánsa is. Ha a mátrixokat lineáris transzformációknak tekintjük egy adott bázisban, akkor az inverz mátrix az inverz lineáris transzformációt írja le ugyanabban a bázisban. Egy általánosabb függvény esetén azonban a két eset különböző eredményt ad, melyeket szigorúan meg kell különböztetni.
A trigonometrikus függvények párokba állíthatók. A szinusz reciproka a koszekáns, a koszinusz reciproka a szekáns, a tangens reciproka a kotangens, és megfordítva.
Komplex számok
[szerkesztés]Ha z = a + bi nullától különböző komplex szám, akkor inverze kiszámítható a következőképpen:
A levezetéshez 1/z-t bővítettük az komplex konjugálttal, és felhasználtuk, hogy az a2 + b2 valós szám.
Innen kiszámítható, hogy, ha ||z||=1, akkor , azaz egységnyi abszolútértékű komplex szám inverze megegyezik a konjugáltjával.
Ha z = r(cos φ + i sin φ) poláris alakban megadott komplex szám, akkor a szög az ellentettjére, és az abszolútérték a reciprokára változik:
Negatív kitevős hatványok
[szerkesztés]A permanenciaelv szerint a negatív kitevős hatványok a pozitív hatvány reciprokaiként értelmezhetők, ugyanis így lehet megőrizni a hatványozás azonosságait. Így
mivel
és
Analízis
[szerkesztés]A valós analízisben az 1/x = x−1 függvény deriváltja a hatványfüggvények deriválási szabályával számítható ki, ahol a kitevő -1:
Az integrál számításához nem használható a hatványfüggvények integrálási szabálya, mivel az nullával osztáshoz vezet:
Az integrál megkapható más módon:
ahol ln a természetes logaritmus. Ehhez vegyük észre, hogy ; tehát, ha , és , akkor: [2]
Kiszámítása
[szerkesztés]A reciprok tizedes tört alakja kiszámítható osztással. Sok osztási algoritmus azonban a reciprok kiszámításával kezdődik; azaz először kiszámolja a reciprokot, aztán szoroz az osztandóval. Felismerve, hogy az függvénynek nullhelye van x = 1/b-ben, a reciprok Newton-módszerrel megkereshető:
Ez folytatható a kívánt pontosság eléréséig. Például szeretnénk kiszámítani az 1/17 ≈ 0,0588 -at három tizedesjegy pontossággal. Legyen x0 = 0,1; ekkor
- x1 = 0,1(2 − 17 × 0,1) = 0,03
- x2 = 0,03(2 − 17 × 0,03) = 0,0447
- x3 = 0,0447(2 − 17 × 0,0447) ≈ 0,0554
- x4 = 0,0554(2 − 17 × 0,0554) ≈ 0,0586
- x5 = 0,0586(2 − 17 × 0,0586) ≈ 0,0588
A kezdőértéket általában úgy állapítják meg, hogy kerekítenek a kettő legközelebbi hatványára, majd biteltolással veszik annak reciprokát.
A módszer általánosítható például mátrixok inverzeinek meghatározására.
A konstruktív matematikában egy valós x számra nem elég az x ≠ 0 egyenlőtlenségnek teljesülnie. Kell, hogy legyen egy racionális r szám úgy, hogy 0 < r < |x|. A fent leírt algoritmus szerint: bizonyítani kell, hogy y változásai akármilyen kicsik lehetnek.
Általánosítása
[szerkesztés]A reciproknak megfelelő általánosabb fogalom félcsoportok, csoportok és gyűrűk esetén a multiplikatív inverz, azaz a „szorzás” műveletére vett inverz elem, amivel „szorozva” a művelet egységelemét kapjuk. Ha létezik ilyen elem, akkor az eredeti elemet invertálhatónak nevezik, ha pedig minden elem invertálható, akkor a műveletet is invertálhatónak mondják.
Példák:
- Az egész számok közötti szorzást tekintve csak az 1-nek és a -1-nek van inverze (önmaguk), ugyanis az 1-en és -1-en kívül egyetlen egészhez sincsen olyan másik egész, hogy szorzatuk az 1-et adná.
- A maradékosztályok gyűrűjében éppen azok az elemek invertálhatók, amik a modulushoz relatív prímek. Ezek a maradékosztályok a redukált maradékosztályok.
- A szögfüggvények közül a szinusz és a koszekáns, a koszinusz és a szekáns, a tangens és a kotangens egymás reciproka minden olyan helyen, ahol az egyes párok mindkét tagja értelmezve van. Ez a kapcsolat nem tévesztendő össze a trigonometrikus függvények inverz függvényeivel, az árkuszfüggvényekkel.
- A racionális, a valós és a komplex számok esetében (külön-külön tekintve őket) a nulla kivételével minden elemnek van inverze.
- Egy csoport összes eleme invertálható a csoport asszociatív szorzás műveletére nézve. Ezért az invertálást sokszor egy változós műveletként tekintik.
A nem kommutatív algebrai struktúrákban még nagyobb az inverz jelentősége, mert ott a jobbról és a balról osztás helyett az inverzzel való szorzást használják.
További megjegyzések
[szerkesztés]Egy olyan algebrai struktúrában, ahol a szorzás asszociatív, az invertálható elemek nem lehetnek nullosztók. Az x elem nullosztó, ha nullelemtől különböző, és van olyan y elem, melyekre xy = 0. Ehhez elég megszorozni az xy = 0 egyenletet balról x reciprokával, és az asszociativitást felhasználva egyszerűsíteni. Asszociativitás hiányában a szedeniók szolgálnak ellenpéldával.
Az előző állítás megfordítása csak véges gyűrűkben teljesül. Például az egész számok gyűrűje asszociatív, de csak az 1-nek és a -1-nek van benne inverze. Véges gyűrűben minden olyan nem nulla elem invertálható, ami nem nullosztó. Először is, figyeljük meg, hogy f(x) = ax injektív függvény: ha f(x) = f(y), akkor x = y:
A különböző elemek különböző elemekre képeződnek le, a kép ugyanezekből a véges számú elemekből áll; emiatt a leképezés szükségképpen szürjektív függvény is. Speciálisan, az egységelem is előáll valamilyen x-re, ax = 1; ez az x elem az a elem inverze.
Alkalmazások
[szerkesztés]Egyes osztási eljárások először kiszámítják az inverzet, majd szoroznak az osztandóval.
Ha q alkalmas biztonságos prím, akkor 1/q kifejtése bármely számrendszerben alkalmas álvéletlen számok generálására.[3] Egy biztonságos prím 2p + 1 alakú, ahol p újra prím. A kifejtéssel nyert álvéletlen sorozat hossza q − 1.
Kapcsolódó szócikkek
[szerkesztés]- Ellentett, az összeadásra vett (additív) inverz
További információk
[szerkesztés]Jegyzetek
[szerkesztés]- ↑ " In equall Parallelipipedons the bases are reciprokall to their altitudes". OED "Reciprocal" §3a. Sir Henry Billingsley translation of Elements XI, 34.
- ↑ Anthony, Dr.: Proof that INT(1/x)dx = lnx. Ask Dr. Math. Drexel University. (Hozzáférés: 2013. március 22.)
- ↑ Mitchell, Douglas W., "A nonlinear random number generator with known, long cycle length," Cryptologia 17, January 1993, 55–62.
Források
[szerkesztés]- Hajdu Sándor: Matematika 6., Műszaki Kiadó
- Kovács Zsongorné, Sz. Földvári Vera, Szeredi Éva: Matematika általános iskola 7., Műszaki Kiadó
- Kosztolányi József, Kovács István, Pintér Klára, Dr. Urbán János, Vincze István: Sokszínű matematika 9., Mozaik Kiadó
- Bárczy Barnabás: Trigonometria
- Pósa Lajos: Összefoglalás, Műszaki Kiadó
- Hajnal Imre: Matematika III., Tankönyvkiadó
- Kiss Emil: Bevezetés az algebrába
- Császár Ákos: Valós analízis, Tankönyvkiadó
- Freud–Gyarmati: Számelmélet
- Maximally Periodic Reciprocals, Matthews R.A.J. Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications vol 28 pp 147–148 1992
Fordítás
[szerkesztés]Ez a szócikk részben vagy egészben a Multiplicative inverse című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.