Reciprok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A reciprokfüggvény képe hiperbola.

A matematikában egy nem nulla szám reciprokának vagy multiplikatív inverzének azt a számot nevezik, amivel a számot szorozva az eredmény 1. A reciprok fogalma értelmezhető a racionális, a valós és a komplex számok körében egyaránt. A reciprok szó latin eredetű, és kölcsönösségre utal.

Ha a számot x jelöli, akkor a reciproka 1/x, azaz 1 osztva x-szel, vagy másképp x–1, azaz x a mínusz egyedik hatványon. Egy szám reciprokának reciprokát véve visszakapjuk az eredeti számot. Tört formában felírt racionális szám esetében a számláló és a nevező felcserélésével egyszerűen megkapható a reciprok.

Speciális számok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A nullának semmilyen számkörben sem értelmezhető véges reciproka, ugyanis bármely számot nullával szorozva az eredmény nulla lesz. Ezért nincs olyan szám, amit nullával szorozva egyet kapnánk. A nullaszor végtelen szorzás eredménye nem egyértelmű.

A reciprok fogalmához hasonló az additív inverz, az ellentett. A valós számok körében az ellentett és az inverz mindig különböző számok. A komplex számok halmazában azonban vannak olyan számok, amiknek megegyezik az ellentettjük, és a reciprokuk: ezek éppen a képzetes egységek, a ±i.

Negatív kitevős hatványok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A permanenciaelv szerint a negatív kitevős hatványok a reciprok pozitív hatványaiként értelmezhetők, ugyanis így lehet megőrizni a hatványozás azonosságait. Így

a^{-b}=\frac{1}{a^b} \,

mivel

a^b \cdot c^b={(a \cdot c)}^b \,
a^b \cdot a^c=a^{b+c}
a^{b-c}={a^b \over a^c} \,
a^{b \cdot c}=\left(a^b\right)^c= \left(a^c \right)^b \,
a^{\left(b^c\right)} \ne \left(a^b\right)^c \,
 \left( \frac{a}{b} \right)^c={a^c \over b^c} \,

és

\ (x^i x^j) x^k = x^i (x^j x^k),

Általánosítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A reciproknak megfelelő általánosabb fogalom félcsoportok, csoportok és gyűrűk esetén a multiplikatív inverz, azaz a „szorzás” műveletére vett inverz elem, amivel „szorozva” a művelet egységelemét kapjuk. Ha létezik ilyen elem, akkor az eredeti elemet invertálhatónak nevezik, ha pedig minden elem invertálható, akkor a műveletet is invertálhatónak mondják.

Példák:

  • Az egész számok közötti szorzást tekintve csak az 1-nek és a -1-nek van inverze (önmaguk), ugyanis az 1-en és -1-en kívül egyetlen egészhez sincsen olyan másik egész, hogy szorzatuk az 1-et adná.
  • A maradékosztályok gyűrűjében éppen azok az elemek invertálhatók, amik a modulushoz relatív prímek. Ezek a maradékosztályok a redukált maradékosztályok.
  • A szögfüggvények közül a szinusz és a koszekáns, a koszinusz és a szekáns, a tangens és a kotangens egymás reciproka minden olyan helyen, ahol az egyes párok mindkét tagja értelmezve van. Ezt a kapcsolat nem tévesztendő össze a trigonometrikus függvények inverz függvényeivel, az árkuszfüggvényekkel.
  • A racionális, a valós és a komplex számok esetében (külön-külön tekintve őket) a nulla kivételével minden elemnek van inverze.
  • Egy csoport összes eleme invertálható a csoport asszociatív szorzás műveletére nézve. Ezért az invertálást sokszor egy változós műveletként tekintik.

A nem kommutatív algebrai struktúrákban még nagyobb az inverz jelentősége, mert ott a jobbról és a balról osztás helyett az inverzzel való szorzást használják.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Ellentett, az összeadásra vett (additív) inverz

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Hajdu Sándor: Matematika 6., Műszaki Kiadó
  • Kovács Zsongorné, Sz. Földvári Vera, Szeredi Éva: Matematika általános iskola 7., Műszaki Kiadó
  • Kosztolányi József, Kovács István, Pintér Klára, Urbán János Dr., Vincze István: Sokszínű matematika 9., Mozaik Kiadó
  • Bárczy Barnabás: Trigonometria
  • Pósa Lajos: Összefoglalás, Műszaki Kiadó
  • Hajnal Imre: Matematika III., Tankönyvkiadó
  • Kiss Emil: Bevezetés az algebrába
  • Császár Ákos: Valós analízis, Tankönyvkiadó
  • Freud–Gyarmati: Számelmélet