Hatvány

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A hatványozás két szám között értelmezett matematikai művelet. Jelölése a^b (ejtsd: a a b-ediken), ahol a-t alapnak, b-t kitevőnek nevezzük.

Pozitív egész b kitevő esetén a hatványozás b darab egymást követő azonos szám összeszorzását jelenti. Például:

6^3=6 \cdot 6\cdot 6=216 \,
(-2,\!4)^4=(-2,\!4) \cdot (-2,\!4)\cdot (-2,\!4)\cdot (-2,\!4) = 33,\!1776 \,

A hatványozás a permanenciaelvet alkalmazva egyéb kitevőkre is értelmezhető. Ez azt jelenti, hogy az egyéb kitevős hatványokat úgy definiáljuk, hogy tulajdonságaikban a lehető leginkább hasonlítsanak a pozitív egész kitevős hatványra.

Ha lemondunk a hatványozás egyértelműségéről, akkor bármely nemnulla komplex szám alapra és tetszőleges komplex kitevőre is általánosítható a hatványfogalom.

A hatványozás műveletén alapszik a helyiértékes számábrázolás, azaz a számrendszerek használata. A leggyakoribb, tízes számrendszerben például a 10 hatványait használjuk, ezek például a 10, 100, 1000.

Definíció a valós számok halmazán[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Pozitív egész kitevőre[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha a tetszőleges valós szám, b pedig 1-nél nagyobb pozitív egész szám, akkor a^b hatvány azt a b tényezős szorzatot jelenti, amelynek minden tényezője a:

a^b = \underbrace{a \cdot ... \cdot a}_{b \text{ db}} \,

Mivel egytényezős szorzat nem létezik, a b=1 esetet külön kell definiálni:

a^1 = a \,
Egyéb elnevezések
Egy szám második hatványát másképpen a négyzetének, harmadik hatványát a köbének is hívjuk.

Nulla kitevőre[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha az a valós szám nem nulla, akkor

a^0=1 \,

A 0^0 kifejezés nem értelmezhető ellentmondásmentesen.

Negatív egész kitevőre[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha a tetszőleges nem nulla valós szám, -b pedig negatív egész, akkor

a^{-b}=\frac{1}{a^b} \,

Mivel b pozitív egész, ez a kifejezés a korábbi definíció alapján értelmezhető.

A nulla negatív hatványai nem értelmezhetők, mert nullának nincs reciproka.

Racionális törtkitevőre[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen a nemnegatív valós szám, b pedig racionális törtszám. Ekkor a racionális szám definíciója alapján b felírható p/q alakban, ahol p egész, q pedig 1-től különböző pozitív egész. Az a^b hatvány ennek segítségével a következőképpen értelmezhető:

a^b=a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p} \,

Negatív alap esetében a matematika nem egységes. Bizonyos esetekben például a következőképp értelmezik:

(-8)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{-8}=-2

Ekkor azonban fontos, hogy a kitevőt egyszerűsített alakjában írjuk fel, például ha a belső hatványkitevőt és a gyökkitevőt is beszorozzuk kettővel, akkor elveszítjük a 8-as előjel-információját:

\sqrt[6]{(-8)^2}=2

Legtöbbször azonban a negatív számok hatványait a valós számok körében csak egész kitevő esetén értelmezik, törtkitevő esetén pedig a komplex számok többértékű hatványfogalmát használják (lásd lejjebb)

Irracionális kitevőre[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha a nemnegatív valós szám, b pedig irracionális szám, akkor:

a^b=\lim_{x \to b} a^x \,

Ahol lim a határértéket jelöli, x pedig csak racionális értéket vesz fel. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy az irracionális kitevőjű hatvány értéke „nagyon közel” van a körülötte lévő racionális kitevőjű hatványok értékéhez. Ebben a definícióban azt használtuk ki, hogy a racionális számok „sűrűn” helyezkednek el, azaz bármely két valós szám között végtelen sok racionális szám található.

A valós kitevős hatvány az exponenciális függvény és a logaritmus segítségével is bevezethető:

b^x = e^{x\cdot\ln b}\,

Belátható, hogy a hatványozás azonosságai ezzel is érvényben maradnak, és hogy ugyanazt kapjuk, mint a határértékes módszerrel.

Az exponenciális függvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az Euler-féle szám a következő bizonyíthatóan konvergens sorozat határértékével definiált valós szám:

e=\lim_{n\to\infty} (1+\tfrac{1}{n})^n

Bebizonyítható, hogy x valós kitevő esetén:

e^x = \lim_{n\to\infty} (1+\tfrac{x}{n})^n
Hiszen pozitív kitevőre:
e^x = \left(\lim_{n\to\infty} (1+\tfrac{1}{n})^n \right)^x = \lim_{n\to\infty} \left(\left(1+\frac{1}{\tfrac{nx}{x}}\right)^n \right)^x = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{x}{nx}\right)^{nx}=\lim_{m\to\infty} (1+\tfrac{x}{m})^{m}
Az utolsó lépésnél kihasználjuk, hogy ha n a pozitív végtelenbe tart, akkor a konstans pozitívszorosa, m=nx is a pozitív végtelenbe tart. 0 esetén külön megvizsgálva teljesül a várt 1 eredmény, negatív számokra pedig hasonló módon szintén belátható az azonosság.

Határérték-számítási és egyéb átalakítások elvégzésével az előbbi ex átírható a következő hatványsorformába:

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{2\cdot 3} + \frac{x^4}{2\cdot 3\cdot 4} + \frac{x^5}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5} \dots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}

Ezt a kifejezést x függvényeként tekintve definiáljuk[1] az exponenciális függvényt:

\exp: \, \mathbb{R}\to\mathbb{R} \quad \exp(x)=e^x

Tetszőleges pozitív valós alapra és valós kitevőre az ln természetes logaritmus segítségével a következőképp írható fel a hatvány:

a^x = \left (e^{\ln a}\right)^x = e^{x\cdot\ln a} = \exp(x\cdot\ln a) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x\cdot\ln a)^k}{k!}

Definíciók a komplex számok halmazán[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A hatványozás kiterjeszthető a komplex számok halmazára is.

Komplex alap egész kitevőre[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha az alap komplex, a kitevő pedig egész, akkor a valós definíciókkal megegyező módon:

z^k = \underbrace{z \cdot ... \cdot z}_{k \text{ db}} \,
z^1 = z \,
z^0 = 1 \,
z^{-k} = \frac{1}{z^k} \,
ahol k pozitív egész, az első két esetben z tetszőleges komplex, a második két esetben z nemnulla komplex.

Pozitív valós alap komplex kitevőre[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A komplex kitevőjű hatvány legegyszerűbben az exponenciális függvény általánosításának segítségével definiálható, hiszen ahhoz csak a fent definiált egész kitevős hatványra, osztásra, összeadásra és határértékképzésre van szükség:

\exp: \, \mathbb{C} \to \mathbb{C} \quad \exp(z)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^k}{k!}

Ezután a pozitív valós szám komplex z kitevős hatványa:

a^z = \left (e^{\ln a}\right)^z = e^{z\cdot\ln a} = \exp(z\cdot\ln a)= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(z\cdot\ln a)^k}{k!}

Komplex nemnulla alap komplex kitevőre (többértékű hatványfogalom)[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az előző képletben szerepel az a szám természetes logaritmusa (ln a). Azonban azokra a komplex számokra, melyek nem pozitív valósok (C\R+), a természetes logaritmus nem egyértelmű. Az ilyen számokra csak a komplex természetes logaritmus értelmezhető, ami a következő halmaz: (k bármilyen egész szám)

\ln z = \Big\{w \,\Big|\, e^w=z \Big\} = \ln |z| + i \cdot (\arg(z)+k\cdot 2\pi)
ahol |z| a komplex szám abszolút értéke, arg(z) az argumentuma, azaz a komplex számsíkon ábrázolva az origóból az adott számhoz húzott vektor és a valós tengely által bezárt szög.

A természetes logaritmus többértékűsége miatt az általános komplex nemnulla alapú hatvány is többértékű (k tetszőleges egész):

z^w = \exp\Bigg(w\cdot \bigg(\ln |z| + i \cdot \Big(\arg(z)+k\cdot 2\pi\Big)\,\bigg)\Bigg) =  \sum_{n=0}^{\infty} \Big(\ln |z| + i \cdot (\arg(z)+k\cdot 2\pi)\Big)^n \cdot \frac{w^n}{n!}

A definíciók összefoglalása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A következő táblázat bemutatja, hogy milyen számhalmazokból álló számok hatványa mit jelent. Ahová egyértelmű van írva az azt jelenti, hogy nem muszáj a többértékű komplex természetes logaritmust használni a kiszámításhoz. Ahová többértelmű van írva, ott ez elkerülhetetlen, viszont megállapodás szerint ott is kiválasztható egy elsődleges érték a végtelen sok közül.

Nem minden számpár illik kizárólag egy sorba. Ezekre a számpárokra mindkét definíció alkalmazható.

a b ab kiszámítása A definíció egyértelműsége
\mathbb{R}^{+} \mathbb{C} \exp(b \cdot \ln a) egyértelmű
\mathbb{C} \setminus \Big\{0\Big\} \mathbb{Z} pozitív egész kitevőnél ismételt szorzással,
negatív egésznél ismételt osztással, 0 kitevőnél mindig 1
egyértelmű
\mathbb{C} \setminus \Big\{0\Big\} \mathbb{C} \exp\Bigg(b\cdot \bigg(\ln |a| + i \cdot \Big(\arg(a)+k\cdot 2\pi\Big)\,\bigg)\Bigg) többértelmű (k tetszőleges egész)
\Big\{0\Big\} \mathbb{R}^{+} 0\, egyértelmű
\Big\{0\Big\} \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}^{+} nem értelmezett

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fenti táblázatnak megfelelő sorrendben:

  • Pozitív valós alap komplex kitevőre:
2^3 = 8\,
3^\pi \approx 31,54
2^{1-i} = e^{\ln 2 - i\cdot\ln 2} \approx 1,54 + 1,28i
  • Nemnulla komplex alap egész kitevőre:
2^3 = 8\,
(-2)^{-5}= -\frac{1}{32} \approx -0,03
(1+2i)^3=(1+2i)\cdot(1+2i)\cdot(1+2i) = -11-2i
(e+8\pi^2 i)^0=1 \,
  • Nemnulla komplex alap tetszőleges komplex kitevőre:
(-1)^{i}=e^{\pi \cdot (2k+1)} \approx \Big\{\dots;\quad 0,04;\quad 23,14;\quad 12391,65;\quad \dots\Big\}
\begin{align} (2+3i)^{3+\pi i} &{}= e^{\Big(\ln\sqrt{11} + i\cdot\left(\mathrm{arctg}\,\left(\frac{3}{2}\right) + k\cdot 2\pi\right)\Big)\cdot (3+\pi i)} \approx \\
&{} \approx\Big\{\dots;\quad (0,44+0,37i)\cdot 10^{-8};\quad 1,64+1,37i; \quad (0,61+0,51i)\cdot 10^9; \quad \dots \Big\} \end{align}
  • Nulla alap pozitív valós kitevőre:
0^{\pi}=0 \,
0^{12}=0 \,
  • Nulla alap olyan komplex kitevőre, ami nem pozitív valós:
0^{0} \notin \mathbb{C}
0^{4+3i} \notin \mathbb{C}

Nulla a nulladikon[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A nulla nulladik hatványát általában nem definiálják:

  • Az algebrai kifejezéseket tartalmazó határértékektől elvárják, hogy egy részkifejezés helyére egy hozzá tartó sorozatot helyettesítve a határérték ne változzon meg.[2] De ha f(t) és g(t) is nullához tart, akkor f(t)g(t) határértéke különböző lehet:
 \lim_{t \to 0^+} {t}^{t} = 1, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t^2})^t = 0, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t^2})^{-t} = +\infty, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t})^{at} = e^{-a}.
Ezért a nulla nulladik hatványa nem értelmezhető.[3]
  • A komplex számsíkon a zz függvényt az ez ln z kifejezés definiálja, de a nulla nem logaritmálható. Nincs reguláris függvény, ami értelmezve van a nulla egy környezetében, ami megegyezik zz-vel minden pozitív egészre.[4]

Néha azonban mégis célszerű egynek definiálni a nulla nulladik hatványát:

  • Nullák üres szorzataként az érték 1
  • A kombinatorikai definíció szerint a nulla a nulladikon az üres halmaz elemeiből képzett nulla hosszú sorozatok száma: ez szintén 1.
  • A halmazelmélet szerint az üres halmazból az üres halmazba menő függvények száma 1.[5]
  • Nagymértékben leegyszerűsíti a polinomok és a hatványsorok elméletét, ha a konstans tagot ax0 alakban írhatjuk fel:
    • A polinomok szorzatának együtthatóinak kiszámítására vonatkozó formula sokat veszít egyszerűségéből, ha a konstans tagokat külön kell kezelni.
    • Az olyan azonosságok, mint \textstyle \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n és \textstyle e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} nem teljesülnek nullára, kivéve, ha 00 = 1.
    • A binomiális tétel: \textstyle(1+x)^n = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} x^k nem teljesül x = 0-ra, hacsak nem 00 = 1.[6]
  • A differenciálszámításban az \textstyle\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} szabály nem értelmes n = 1-re, kivéve, ha 00 = 1.

A hatványozás azonosságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szorzat alakú definícióval belátható azonosságok pozitív egész kitevő esetén:

a^b \cdot c^b={(a \cdot c)}^b \,

Azonos kitevőjű hatványok szorzata: az alapok szorzata a közös kitevőre emelve.

a^b \cdot a^c=a^{b+c}

Azonos alapú hatványok szorzata: a közös alap a kitevők összegére emelve.

a^{b-c}={a^b \over a^c} \,

Azonos alapú hatványok osztása esetén a tört egyszerűsíthető.
Az eredmény attól függ, hogy a számláló vagy a nevező kitevője nagyobb.

a^{b \cdot c}=\left(a^b\right)^c= \left(a^c \right)^b \,
a^{\left(b^c\right)} \ne \left(a^b\right)^c \,
 \left( \frac{a}{b} \right)^c={a^c \over b^c} \,

Tört hatványa egyenlő a számláló és a nevező hatványának hányadosával.

\ (x^i x^j) x^k = x^i (x^j x^k), a szorzás asszociativitása miatt.

A komplex számok hatványozása nem egyértelmű. Ekkor az azonosságok mindkét oldalának több lehetséges értéke is lehet. A két oldal egyenlősége az ezek által alkotott két halmaz egyenlőségeként értendő.

Határértékek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A nulla nulladik hatványáról szóló szakaszban látható, hogy a két változós xy függvénynek nincs határértéke (0,0)-ban.

Tekintsük az f(x,y) = xy függvényt az x > 0 tartományon. Jelöljük ezt a tartományt D-vel. Tekintsük D-t \bar{\mathbb R} \times \bar{\mathbb R} részhalmazának, és keressük itt az f függvény határértékeit!

f-nek D minden torlódási pontjában van határértéke, kivéve a (0,0), (+∞,0), (1,+∞) és az (1,−∞) pontokban. Eszerint az xy függvény folytonosnak tekinthető, ha 0 ≤ x ≤ +∞, −∞ ≤ y ≤ +∞, a 00, (+∞)0, 1+∞ és 1−∞, amiket továbbra sem értelmezünk.[7]

Ezzel a folytonossági tulajdonsággal

  • a+∞ = +∞ és a-∞ = 0, ha 1 < a ≤ +∞.
  • a+∞ = 0 és a-∞ = +∞, ha 0 ≤ a < 1.
  • 0b = 0 és (+∞)b = +∞, ha 0 < b ≤ +∞.
  • 0b = +∞ és (+∞)b = 0, ha -∞ ≤ b < 0.

Jó, ha észben tartjuk, hogy ezek a határértékek csak pozitív alapokra érvényesek. A folytonossági módszer nem alkalmazható, ha x < 0. Valójában a negatív számok tört kitevős hatványai nem értelmezhetők úgy, mint a pozitívoké. Még az egész kitevős hatványoknak sincs határértéke a végtelenben a váltakozó előjel miatt.

Felhasználásai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • A hatványozást felhasználjuk a helyértékes számábrázolás, illetve a tizedestörtek alkalmazásakor.
  • A tíz hatványai fontos szerephez jutnak a számok normálalakjának felírásában. A normálalak a számot egy egy és tíz közötti szám és tíz egy hatványának szorzataként fejezi ki.
  • A számelmélet alaptétele kimondja, hogy minden pozitív egész szám a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelműen írható fel prímhatványok szorzataként.
  • A komplex szinusz és koszinusz kifejezhető az exponenciális függvény segítségével (Euler-formula). Így a komplex kitevős hatványokkal a trigonometria számos kérdése algebrai eszközökkel kezelhető.
  • A képzetes egység hatványai i, -1, -i, 1, … Ezért i hatványai felhasználhatók a négy periódusú sorozatok felírásában.

Függvényiteráció hatványjelölése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Sokszor a felső index függvények esetén nem hatványozást, hanem iterációt jelöl; tehát f3=f(f(f(x))). Ezt a jelölést sokszor figyelmeztetés nélkül használják. Az iterált függvényrendszerek a dinamikai rendszerek és a fraktálok tanulmányozásában használatosak. Ez az iteráció a hatványozáshoz hasonlóan kiterjeszthető tört értékekre is. Az f1/2(x) számításával Babbage foglalkozott először.

A trigonometrikus függvények esetén azonban történeti okok miatt a pozitív felső index hatványozást, a negatív felső index viszont sokszor az inverz függvény hatványait jelöli, annak ellenére, hogy ezeknek is van rövidített nevük. Hasonló teljesül a logaritmusokra is.

Az absztrakt algebrában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egész kitevős hatványok az absztrakt algebrai struktúrákban is definiálhatók (félcsoportban, csoportban).

Ezekben a struktúrákban az x elem pozitív egész kitevős hatványa az egész kitevős hatványok mintájára definiálható. Az n tényezős szorzatot hatványként jelölve teljesülnek a következő tulajdonságok:

  • \ (x^i x^j) x^k = x^i (x^j x^k),
  • \ x^1=x
  • \ x^{m+n}=x^m x^n
  • \ (x^m)^n=x^{mn}

Ha a műveletnek van kétoldali egységeleme, akkor x0 = 1 minden x elemre. Így

  • \ x1 = 1x = x,
  • \ x^0=1

Ha az x elem invertálható, akkor a hatványozás kiterjeszthető a negatív kitevőkre is:

  • \ x x^{-1} = x^{-1} x = 1, az inverz kétoldalisága
  • \ (x y) z = x (y z), asszociativitás
  • \ x^{-n}=\left(x^{-1}\right)^n
  • \ x^{m-n}=x^m \cdot x^{-n}

Ha a szorzás kommutatív, akkor még a következő is teljesül:

  • \ (xy)^n = x^n y^n

különben az egyenlőség csak akkor áll fenn, ha x és y felcserélhető.

Az Abel-csoportokban szokásos additív jelölés esetén ismételt összeadással az egész számmal szorzás vezethető be a hatványozáshoz hasonlóan. Ekkor a szorzásnak a hatványozással analóg tulajdonságai lesznek.

Más műveletek iteratív alkalmazását is szokásos felső kitevővel jelölni. A félreértések elkerülése végett ilyenkor a művelet jelét is felviszik a felső indexbe. Például jelölhetik a konvolúciós hatványt így: x*n

Csoportokban a konjugálás műveletét szintén felső index jelöli: gh = h−1gh a g csoportelem konjugáltja h-val. Léteznek olyan algebrai struktúrák, amikben a konjugálás hatványozáshoz hasonló tulajdonságai fontos szerepet kapnak.

A halmazelméletben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha A halmaz, n természetes szám, akkor An az A halmaz elemeiből képzett n-esek számát jelöli. Ez egyenlő az {0, 1, 2, ..., n−1} → A függvények számával; az (a0, a1, a2, ..., an−1) n-es annak a függvénynek felel meg, ami i-hez ai-t rendel.

A κ végtelen kardinális szám esetén ezt a függvényhalmazt Aκ jelöli. Szokták balra is írni a felső indexet, hogy megkülönböztessék a kardinális hatványozástól.

Ha κ és λ kardinális szám, akkor κλ azoknak a függvényeknek a számosságát jelöli, amik egy λ számosságú halmaz elemeihez egy κ számosságú halmaz elemeit rendeli.[5] Véges számokra ez a definíció a megszokott jelentést adja.

A kardinális számok hatványozását meg kell különböztetni a rendszámok hatványozásától, ami transzfinit indukcióval határértékként definiálható.

Egyes algebrai struktúrák hatványozása, vagy direkt összege is definiálható. Ezzel újabb struktúrákat kaphatunk. A lineáris algebrában például vehetjük vektorterek direkt összegét, ahol az indexek egy tetszőleges indexhalmazból valók. Ha az összeadandó vektorterek mindegyike a valós számokkal izomorf, és n természetes szám, akkor a sokat tanulmányozott n dimenziós valós euklideszi térhez jutunk.

Iterált hatványozás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ahogy az összeadás iteráltja a szorzás, és a szorzásé a hatványozás, úgy a hatványozásnak is van iterált művelete: a tetráció. A tetráció is iterálható, és így tovább. A műveleteknek ezt a sorozatát az Ackermann-függvény foglalja magában, és a Knuth-féle nyíl jelöléssel jelölhető. Minden iterált művelet két változós függvénynek tekintve gyorsabban nő, mint az előző: a (3,3) helyen az összeadás, a szorzás, a hatványozás és a tetráció eredménye rendre 6, 9, 27, 7 625 597 484 987.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Mind az Euler-féle számnak, mind az exponenciális függvénynek léteznek egyéb, ekvivalens definíciói
  2. Malik, S. C., Savita Arora. Mathematical Analysis. New York: Wiley, 223. o (1992). ISBN 978-8122403237 
  3. L. J. Paige (1954. March). „A note on indeterminate forms”. American Mathematical Monthly 61 (3), 189–190. o. DOI:10.2307/2307224.  
  4. "... Let's start at x = 0. Here xx is undefined." Mark D. Meyerson, The xx Spindle, Mathematics Magazine 69, no. 3 (June 1996), 198-206.
  5. ^ a b N. Bourbaki, Elements of Mathematics, Theory of Sets, Springer-Verlag, 2004, III.§3.5.
  6. Ronald Graham, Donald Knuth, and Oren Patashnik. Binomial coefficients, Concrete Mathematics, 1st, Addison Wesley Longman Publishing Co, 162. o (1989. január 5.). ISBN 0-201-14236-8 
  7. N. Bourbaki, Topologie générale, V.4.2.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Obádovics J. Gyula: Matematika (több kiadás)
  • Kratofil Dezső: Algebra – Példatár (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973)
  • Halász Gábor: Komplex függvénytan
  • Császár Ákos: Valós analízis I.