Newton-módszer

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A numerikus analízisben a Newton-módszer (más néven a Newton–Raphson-módszer vagy a Newton–Fourier-módszer) az egyik legjobb ismert módszer, amivel valós függvények esetén jól közelíthetjük a gyököket. A Newton-módszer gyakran nagyon gyorsan konvergál, de csak akkor, ha az iteráció a kívánt gyökhöz elég közelről indul. Ez a közelség és a konvergenciasebesség a függvénytől függ. A Newton-módszer minden figyelmeztetés nélkül nagyon könnyen félrevezethet egy tapasztalatlan használót, ha túl távolról próbálkozik indítani a módszert. A legjobb megoldás tehát az, hogy egy másik eljárással vizsgáljuk a konvergenciát, ami felismeri és lehetőleg kiküszöböli a lehetséges konvergenciahibákat.

Nemcsak gyököt tudunk keresni ezen a módon, hanem minimumot vagy maximumot is találhatunk, feltéve, hogy a függvény differenciálható; ugyanis a függvénynek ott lehet szélsőértéke, ahol deriváltjának gyöke van. Az algoritmus az első a Householder-algoritmusok osztályában, de ezeket meghaladja a Halley-módszer.

A módszer leírása[szerkesztés]

A módszer ötlete a következő: kiindulunk egy pontból, amely az igazi gyökhöz elég közel található. A függvényérték ebben a pontban megközelítőleg az ehhez a ponthoz húzott érintőn található (amelyet meghatározhatunk egyszerű számításokkal), majd kiszámoljuk ennek az érintőnek az x tengellyel való metszéspontját (melyet egyszerűen megtehetünk algebrai ismereteinket felhasználva). Ez az OX tengellyel való metszéspont valószínűleg egy jobb közelítése a függvény gyökének, mint az eredeti pontunk, a módszer iterálható.

A Newton - módszer illusztrációja. Az f függvény grafikonja kékkel és az érintője pirossal). Látjuk, hogy jobb közelítése az függvény gyökének, mint

Feltételezzük, hogy f : [a, b] → R deriválható függvény, amely leképezi az [a, b] intervallumot a valós számok halmazába R-be. Könnyen kifejezhető a képlet, ami szerint a gyök felé konvergálunk. Tegyük fel, hogy ismerjük a xn közelítést. Tovább módosíthatjuk az összefüggést egy még jobb xn+1 közelítés irányába, figyelembe véve a bal oldali diagramot. Tudjuk a derivált definíciójából, hogy egy bizonyos pontban a ponthoz húzott érintővel azonos. Vagyis:

.

Ahol f ' az f függvény deriváltját jelenti. Innen egy kis algebrai átalakítás után a végső alak:

.

A folyamatot az x0 pontból indítjuk (Minél közelebb van a gyökhöz, annál jobb. De mivel nem ismerjük a gyök pozícióját, találgatással és ellenőrzéssel leszűkíthetjük az intervallumot kisebb intervallumokra a felezőpont meghatározásának módszerét felhasználva). A módszer általában konvergál, ha a megadott érték elég közel található az ismeretlen helyzetű gyökhöz, és . Továbbá ahhoz, hogy a gyök legalább egyszeres gyök legyen, szükséges, hogy a konvergenciája kvadratikus legyen a gyök szomszédságában, amely azt jelenti, hogy a szám megközelítőleg megduplázódik minden lépésben. Több részlet az analízis részben található.

Példa[szerkesztés]

Adott a cos(x) = x3 függvény, ahol x pozitív szám. Ebből kiindulva a feladat a következő: keressük az f(x) = cos(x) − x3 függvény gyökét. Annak tudatában, hogy f '(x) = −sin(x) − 3x2, és cos(x) ≤ 1, illetve x3 > 1 minden x-re (ha x>1), azt is tudjuk, hogy a gyök valahol 0 és 1 között található. Ezért egy x0 = 0,5 kezdeti értékkel próbálkozunk:

A helyes számjegyek alá vannak húzva a fenti példában. Kivételesen x6 egyezik a legjobban a megadott decimális helyekhez viszonyítva. Láthatjuk a helyes számjegyű számot, miután a tizedesvessző 2-ről ( x3-re), 5-re és 10-re növekszik, illusztrálva a kvadratikus konvergenciát.

Egy szám négyzetgyöke[szerkesztés]

Egy szám négyzetgyökét számos módon megkereshetjük, a Newton-módszer többek között erre is remekül használható.

Például, ha a 612 négyzetgyökére vagyunk kíváncsiak, akkor az alábbi módon járhatunk el.

Írjuk fel függvényként a felső kifejezést!

ezt deriválva a következőt kapjuk,

10 kezdeti becsléssel, a folytatás Newton-módszerrel megadva,

A helyes számjegyek alá vannak húzva. Csupán pár iterációval bárki elnyerheti a megfelelő számú tizedes jegyet.

Történelmi háttér[szerkesztés]

A Newton-módszert először Isaac Newton írta le a De analysi per aequationes numero terminorum infinitas-ban (amelyet 1669-ben írt és 1711-ben William Jones adott ki) és a De metodis fluxionum et serierum infinitarum-ban (amelyet 1671-ben írt, fordította és kiadta Method of Fluxions címmel John Colson 1763-ban). Ez a leírás nagymértékben különbözik a fentiekben megadott modern leírástól, meghatározástól. Newton csak polinomok esetében használta a módszert. Ő nem számolta ki a - rákövetkező közelítést, hanem kiszámolt egy polinomsorozatot, és majd csak a végen ért el az x gyök közelítéséhez. Végül Newton a módszert kizárólag algebrainak tekintette, és nem vette észre a kapcsolatot a számításokkal. Valószínűleg François Viète egyik nem annyira pontos, de hasonló módszeréből vezette le. Viète módszerének lényege megtalálható a perzsa matematikus Sharaf al-Din al-Tusi (Ypma 1995) munkái közt. Egy speciális esete a Newton-módszernek, amikor négyzetgyököket számolunk, sokkal korábban előfordult, és úgy nevezték, hogy babilóniai módszer.

A Newton-módszer először 1685-ben John Wallis A Treatise of Algebra both Historical and Practical című művében jelent meg, majd 1690-ben Joseph Raphson kiadott egy sokkal egyszerűbb leírást Analysis aequationum universalis címmel. Raphson is algebrai módszerként tekintette a Newton által kidolgozott módszert, és kizárólag polinomokkal dolgozott, de egymás után következő közelítések formájában írta le, nem mint Newton, aki sokkal komplikáltabb polinomsorozatként. Végül 1740-ben Thomas Simpson a Newton-módszert iteratív módszernek tekintette, amely általános nemlineáris egyenletek megoldására szolgál, fluxusféle számítások segítségével, lényegében megadva a fentiekben elhangzott leírást. Ugyanazon publikáción belül Simpson megadta a két egyenletből álló egyenletrendszerek általánosítását, és megjegyezte, hogy a Newton-módszer optimalizációs problémák megoldására is felhasználható úgy, hogy a fokszámot nullára állítjuk. 1879-ben Arthur Cayley először határozta meg a The Newton-Fourier imaginary problem című művében a Newton-módszer általánosításával járó nehézségeket olyan komplex polinomok gyökei esetén, amelyeknek a foka meghaladta a 2-t, és a kezdeti érték is komplex volt. Ez megnyitotta a racionális függvények iterációelmélete felé vezető utat.

Gyakorlati meggondolások[szerkesztés]

Általában a konvergencia kvadratikus: a hiba négyzetesen csökken minden lépésnél, tehát a helyes jegyek száma megduplázódik minden lépésnél. De van egy pár hátránya. Először, a Newton - módszerhez szükséges direkt kiszámolni a deriváltat. Ha a deriváltat megközelítjük a függvény két pontján áthaladó ferde egyenessel, akkor ebből következik a húrmódszer, mellyel sokkal hatékonyabb eredményekre juthatunk, figyelembe véve a számításokhoz szükséges erőfeszítéseket. Másodszor, ha a gyök túl távol van a kezdeti értéktől, a Newton módszer nem konvergálhat. Ebből az okból kifolyólag a legtöbb gyakorlati alkalmazásnál meghatározzák az iterációk számának a maximumát, és esetleg az iterációs méretet is. Harmadszor, ha a keresett gyök multiplicitása egynél nagyobb, akkor a konvergencia csupán lineáris (a hiba egy konstanssal csökken minden lépés során), hacsak nem teszünk speciális lépéseket. Mivel a fentiekben említett hibákban a legkomolyabb probléma a konvergencia hiánya, W. H. Press és mások(1992-ben) bemutattak egy olyan verziót, amelyben a folyamat annak az intervallumnak a közepéről indul, amelyben feltételezzük a gyököt, és az iteráció akkor áll le, ha az olyan értéket generál, amely az intervallumon kívül esik. Széles körű számítógéprendszer-fejlesztők a húrmódszert kedvezőbbnek tartják a Newton‑módszerrel szemben, mert elég differenciahányadost használni a deriválttal szemben. Ezt folyamatosan frissíteni kell, ami nem a legelőnyösebb. A gyakorlatban a kisebb kód fenntartása sokkal előnyösebb, mint a másodrendű konvergencia.

Ellenpéldák[szerkesztés]

Az a x^3 - 2x + 2 függvény érintőegyenesei a 0 és 1 pontokban, amelyek az x tengelyt 1 illetve 0 pontokban metszik, illetve illusztrálja, hogy miért is oszcillál a Newton-módszer ezek a értékek közt bizonyos kezdeti értékek esetén

Távoli kezdőpont[szerkesztés]

Ha a kezdeti pont nincs elég közel a gyökhöz, a konvergencia elmaradhat. Vegyük a következő függvényt:

és a 0 kezdeti pontot. Az első iteráció után 1-et kapunk, majd a második visszatér a 0-ba, tehát a folyamat oszcillálni fog a két érték közt anélkül, hogy elérné a gyököt. Általában a folyamat viselkedése igen bonyolult lehet.

Ha a derivált nem folytonos[szerkesztés]

Ha a derivált nem folytonos a gyöknél, akkor a konvergencia nem fog megnyilvánulni, bármilyen intervallumot is veszünk a gyök számára.

Tekintsük a következő függvényt:

és

Bármely intervallumot is veszünk a gyök számára, ez a derivált változtatni fogja az előjelét, mihelyt x megközelíti a 0-t jobbról, illetve balról, míg ,ha .

Tehát végtelen a gyök közelében, mely azt eredményezi, hogy a Newton módszer nem fog konvergálni, akkor se, ha a függvény mindenhol deriválható; a derivált nem zéró a gyökben; végtelenszer differenciálható, kivéve a gyökben; és a derivált végtelen a gyök közelében.

Második derivált hiánya[szerkesztés]

Ha nem létezik a gyöknél a második derivált, akkor a konvergencia lehet, hogy nem lesz kvadratikus. Vegyük a:

függvényt,

és a függvény deriváltja:

és a második deriváltja:

kivéve mikor ahol végtelen. Tudván ,

amely megközelítőleg 4/3, másodszor több pontossági bitje van, mint -nek. Ez 2-szer több, mint amennyi szükséges lenne egy kvadratikus konvergenciához. Tehát ebben az esetben a Newton módszer konvergenciája nem kvadratikus, habár a függvény mindenhol folytonosan differenciálható; a derivált nem nulla a gyökben; és határozatlanul differenciálható, kivéve a gyökben.

A derivált nulla[szerkesztés]

Ha a függvény deriváltja nulla a gyökben, akkor a konvergencia nem lesz kvadratikus. Vegyük a következőt:

akkor és képletben . Tehát a konvergencia nem kvadratikus, habár a függvény végtelenszer differenciálható mindenütt.

Az iterációs pont állandó[szerkesztés]

Tekintsük az alábbi függvényt

A függvénynek maximuma van x=0 ban és megoldása f(x) = 0 ban x = ±1. Ha az állandó pontból indítjuk az iterációt, akkor x0=0 (ahol a derivált nulla), x1 nem meghatározható.

A végeredmény hasonló lesz, ha a kezdőpont helyett bármely pont állandó. Még akkor is, ha a derivált nagyon kicsi, de nem nulla, a következő iteráció sokkal messzebb lesz a kívánt nullától.

Analízis[szerkesztés]

Tegyük fel, hogy az f függvénynek van egy gyöke -ban, f() = 0.

Ha f  folytonosan differenciálható, és ha a deriváltja nem tűnik el -ban, akkor létezik egy olyan környezete az körül, amelyből egy x0 kezdő pontot választva az {xn}sorozat konvergálni fog -hoz.

Ha f  folytonosan differenciálható, ha a deriváltja nem tűnik el -ban, és ha létezik a másodrendű deriváltja -ban, akkor a konvergencia kvadratikus, vagy gyorsabb. Ha második deriváltja -ban nem tűnik el, akkor a konvergencia csak kvadratikus.

Ha a derivált nem tűnik el -ban, akkor a konvergencia általában lineáris. Különösen, ha f kétszer folytonosan differenciálható, és , akkor létezik egy olyan környezet az körül, amelyből bármely x0 kezdeti értéket véve a sorozat lineárisan fog konvergálni, log10 2 arányossággal. Vagy, ha ha adottak, egy U környezetéből, ha r multiplicitása és ha , akkor létezik egy olyan környezete -nak , hogy bármely x0 kezdő értéket véve ebből a környezetből, akkor az iteráció lineárisan fog konvergálni.

Azonban még a lineáris konvergencia sem garantált kóros szituációkban.

Gyakorlatban ezek az eredmények lokálisak, és nem ismerjük előzetesen a konvergencia környezetét, de vannak némi eredmények globális konvergencia esetén is. Például, ha adott megfelelő U+környezete, haf kétszeresen differenciálható U+ és ha , U+-ban, akkor mindegyik x0 U+-ból a xk sorozat monoton csökken az felé .

Általánosítás[szerkesztés]

Nemlineáris egyenletrendszerek[szerkesztés]

Ha valaki a Newton módszert k nemlineáris egyenlet megoldására akarná használni, amely abból áll, hogy megtaláljuk az F : Rk Rk folytonosan differenciálható függvény gyökeit. Ekkor a fenti képletben balról kell megszorozni kinverzét a JF Jacobi - mátrixszal (xn), f '(xn) -nel osztás helyett. Sok időt lehet megspórolni, ha megoldjuk a lineáris egyenletrendszert, a mátrix invertálása helyett:

az ismeretlen xn+1 - xn-re. Összefoglalva ez a módszer akkor működik, ha az x0 kezdeti értek elég közel van a keresett gyökhöz. Általában egy más módszerrel határozzák meg azt a régiót, amelyben a gyök található, majd a Newton módszert használják a közelítés "csiszolására".

Nemlineáris egyenletek a Banach-térben[szerkesztés]

A Newton - módszer egy másik általánosítása az, hogy kapjunk meg a Banach-térben definiált F függvény egy gyökét. Ebben az esetben a képlet:

,

ahol a Fréchet derivált -re alkalmazva. A módszer alkalmazásához szükséges, hogy a Fréchet derivált invertálható legyen minden pontban.

Komplex függvények[szerkesztés]

Az x5 ‒ 1 = 0 függvény gyűjtőtere; a sötétebb részek azt jelentik, hogy ott több iteráció konvergál

Mikor komplex függvényekkel dolgozunk, akkor a Newton módszert direkt lehet alkalmazni a gyökök keresésére. Sok komplex függvény esetében egy fraktál határolja a kezdő értékeket, amelyek kiváltják a konvergálást a gyök felé.

Források[szerkesztés]

További információk[szerkesztés]