Szorzás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
3 × 4 = 12, tehát három sorban és négy oszlopban 12 pont helyezhető el.

Szorzás vagy sokszorozás, a számtani alapműveletek egyike. Ha a és b pozitiv egész számokat jelentenek, akkor b-t megszorozni a-val annyit tesz, mint alkotni a

\sum_{i=1}^a b = \underbrace{b + b + \dots + b}_{a}

összeget, amelyet röviden ab-vel szokás megjelölni. A b számot, amelyet ezen összeg előállítása végett a-szor tettünk összeadandónak, sokszorozandónak vagy szorzandónak, az a számot sokszorozónak vagy szorzónak, az eredményül nyert összeget pedig szorzatnak nevezzük.

Bebizonyítható, hogy

Minthogy a szorzandó felcserélhető a szorzóval anélkül, hogy a szorzat értéke ennek következtében megváltoznék, még az elnevezésben sem szükséges azokat egymástól megkülönböztetni és ezért mind a kettőt a szorzat tényezőinek nevezzük. Több pozitív egész szám szorzatát úgy alkotjuk, hogy az elsőt megszorozzuk a másodikkal, a nyert szorzatot a harmadikkal stb:

\prod_{i=1}^n a_i = a_1 \cdot a_2 \cdot \dots a_n = ( \dots (((a_1 \cdot a_2 ) \cdot a_3) \cdot a_4 ) \dots ) \cdot a_n

A kommutativitás miatt az ilyen szorzat értéke is független a megadott tényezők sorrendjétől.

A szorzás megfordítása az osztás.

Ha a pozitív egész számok halmazán kívül első tagokkal akarjuk elvégezni a szorzást, akkor e művelet értelmezését módosítanunk kell. Különféle számhalmazokon úgy szokás definiálni, hogy a szorzás jelentése ne változzon, ha az újabb számhalmazt a régebbi kibővítésének tekintjük. A szorzás természetes, egész, racionális, valós és komplex számok halmazán is kommutatív, asszociatív és disztributív művelet.

Általánosítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szorzás kétváltozós műveletként általánosítható más algebrai struktúrákra, például mátrix- és függvényhalmazokra is. A mátrixszorzás asszociatív és disztributív, de nem kommutatív.

Jelölések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szorzást számok esetén szorzóponttal vagy szorzókereszttel jelölik:

2\cdot 3 = 6 (Kétszer három az hat)
3\cdot 4 = 12
2\cdot 3\cdot 5 = 6\cdot  5 = 30
2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 32

vagy

2\times 3 = 6
3\times 4 = 12
2\times 3\times 5 = 6\times  5 = 30
2\times 2\times 2\times 2\times 2 = 32
  • Egymás után írás; ez az algebrában szokásos, és mindenütt, ahol betűjelölések szerepelnek. Például xy vagy 5x.
  • Vektorok esetén kétféle szorzást is értelmeznek: a skaláris és a vektoriális szorzást. A skaláris szorzatot szorzópont, a vektoriális szorzatot szorzókereszt jelöli.
  • Programnyelvekben a * csillag a szorzójel. Ezt azért választották így, mert minden billentyűzeten rajta van, és jobban látszik a régi képernyőkön. Ez a FORTRAN programozási nyelvből ered.

Algoritmusok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az írásbeli szorzás szokásos módja a szorzótábla ismeretét igényli, de van olyan módszer is, ami anélkül is működik.

A nagy számok kézzel való szorzása időigényes és sok hibalehetőséget hordoz magában. Ennek megkönnyítésére használják a tízes alapú logaritmust. Logarléccel három számjegyes pontossággal lehet szorozni. A huszadik század elején a mechanikus számológépek, mint például a Marchant 10 számjegyes pontosságot is lehetővé tettek. A modern elektromos számológépek és a számítógépek nagyban csökkentették a kézi számítások iránti igényt.

Történelmi algoritmusok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Különböző módszerek maradtak fenn az ókori Egyiptomból, Babilonból, Görögországból, az Indus-völgyből és Kínából.

Egyiptom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egyiptomi módszer a Jahmesz által írt Rhind-papirusz szerint sorozatos kétszerezésen, felezésen és összeadáson alapul. Például a 13 és a 21 összeszorzásához háromszor kétszerezték meg a 21-et:

1 × 21 = 21, 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 84, 8 × 21 = 168.

A 13-at háromszor elfelezték:

13 : 2 = 6, marad 1; 6 : 2 = 3, nem marad semmi; 3 : 2 = 1, marad az 1.

A szorzatot a megfelelő kétszerezések összegeként állították elő:

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

Babilon[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Babilonban a hatvanas számrendszert használták, hasonlóan a mai tízes számrendszerhez. A szorzás a mai tízes számrendszerbeli szorzáshoz hasonlóan működött. Mivel nehéz emlékezni a 60 × 60 szorzatra, ezért a babilóni matematikusok szorzótáblázatokat használtak. Ezek a táblák tartalmazták egy szám első húsz szorzatát, amit a szám tízszereseinek szorzatai követtek. Egy szorzás végrehajtásához, például az 53n kiszámításához külön kellett összeszorozni 50-nel és 3-mal, majd ezeket a szorzatokat összeadni.

Kína[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Zhou Pei Suan Ching (Kr.e. 300-nál korábbról) és Kilenc fejezet a matematika művészetéről matematikai könyvekben a számítások szavakkal vannak leírva. Ismert viszont, hogy az ókori kínai matematikusok abakuszt használtak a számítások elvégzéséhez.

Indus-völgy[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A 45 és a 256 szorzata. Vegyük észre, hogy a 45 számjegyei fordított sorrendben helyezkednek el a bal oszlopban.

Az Indus-völgye korai hindu matematikusai számos intuitív módszert alkalmaztak a szorzásra. A számolásokat általában kis palatáblákon végezték.

Modern módszer[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A modern módszer az arab számíráson és a tízes számrendszeren alapul. Brahmagupta módszert adott az összeadás, kivonás, szorzás, osztás műveletére; ő írta le elsőként a modern módszert.

Henry Burchard Fine, a Princeton matematikaprofesszora szerint az indiaiak nemcsak a helyi értékes tízes számrendszert fedezték fel, hanem az ahhoz tartozó alapvető eljárásokat is.[1]

Szorzássorozat[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jelölés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szorzássorozat jele a görög nagy Π betűből származik. Az Unicode-ban is megkülönböztetik ezt a két jelet: U+220F (∏) jelöli a szorzássorozat jelét, és U+03A0 (Π) a betűt. Ez a jelölés a következőt jelenti:

 \prod_{i=m}^{n} x_{i} = x_{m} \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \,\,\cdots\,\, \cdot x_{n-1} \cdot x_{n}.

ahol az alsó index mutatja a futó változót, és annak alsó határát, míg a felső index a felső határt jelöli. A futó index az alsó határtól egyesével megy el egészen a felső határig. A szorzássorozat jele után következnek a tényezők, amik a futó index egymást követő értékeit behelyettesítve kaphatók.

Például

 \prod_{i=2}^{6} \left(1 + {1\over i}\right) = \left(1 + {1\over 2}\right) \cdot \left(1 + {1\over 3}\right) \cdot \left(1 + {1\over 4}\right) \cdot \left(1 + {1\over 5}\right) \cdot \left(1 + {1\over 6}\right) = {7\over 2}.

Ha az alsó határ egyenlő a felső határral, akkor a szorzat egy tényezős, és értéke ez a tényező. Ha az alsó határ nagyobb, mint a felső, akkor a szorzat üres, és értéke definíció szerint 1.

Végtelen szorzat[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Végtelen sok tényező is összeszorozható, így végtelen szorzat keletkezik. A jelölésben a felső határt \infty, az alsó határt - \infty jelölheti. A végtelen szorzat értéke

 \prod_{i=m}^{\infty} x_{i} = \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^{n} x_{i}.

feltéve, hogy a határérték létezik.

A mindkét irányban végtelen szorzat értéke

\prod_{i=-\infty}^\infty x_i = \left(\lim_{m\to-\infty}\prod_{i=m}^0 x_i\right) \cdot \left(\lim_{n\to\infty}\prod_{i=1}^n x_i\right),

feltéve, hogy a határértékek léteznek.

Értelmezés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Descartes-szorzat[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szorzás ismételt összeadásként való értelmezése egyenes utat biztosít a szorzás halmazelméleti értelmezéséhez a számosságok körében.

A \displaystyle n \cdot a = \underbrace{a + \cdots + a}_{n}, kifejezésben a n másolatát adjuk össze. Ennek egyik módja az indexelés, ahol a1, a2, ..., an, így a diszjunkt példányait uniózzuk össze. Ez éppen az n \times a\, Descartes-szorzat. A természetes számok szorzásának tulajdonságai azonnal adódnak a Descartes-szorzás megfelelő tulajdonságaiból.

Peano-axiómák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Giuseppe Peano javasolta a Peano-axiómákon alapuló következő definíciót:[2]

a\times 1=a
a\times b'=(a\times b)+a

ahol b′ jelöli b rákövetkezőjét. A többi Peano-axióma segítségével bizonyíthatók a szorzás ismert tulajdonságai.

Halmazelmélet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A halmazelmélet segítségével is lehetséges rekurzív definícót adni a szorzásra, bár ez bonyolult. Ez a definíció visszanyúlik a Peano-féle definíciókhoz.

Geometria[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A párhuzamos szelők tétele lehetőséget ad rá, hogy két adott hosszúságú szakasz hosszának szorzatával megegyező hosszúságú szakaszt szerkeszzünk.

Különböző számkörök[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szám jelenthet mennyiséget (3 alma), sorszámot (a harmadik alma), vagy mértéket (3,5 méteres magasság). Ahogy a történelemben a matematika az ujjakon való számlálástól a kvantummechanikáig, úgy terjeszkedett a szorzás az egyre elvontabb számkörök és más matematikai objektumok (polinomok, mátrixok) felé.

Egész számok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egész számok szorzásának szabálya a természetes számok szorzásának szabályaiból és az előjelszabályból következik:

Ha az M és az N egész mindegyike pozitív, akkor M x N egy olyan tömbben levő elemek suzámá jelöli, ahol minden oszlopban M, és minden sorban N elem van.

Az előjelszabály szerint

(-N)\times M=N\times (-M)=-(N\times M)

és

(-N)\times (-M)=N\times M

Ugyanez az előjelszabály érvényes a racionális és a valós számok szorzására.

Racionális számok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A törtek szorzásának szabálya: számlálót számlálóval, és nevezőt nevezővel szorzunk:

\frac{A}{B}\times \frac{C}{D} = \frac{(A\times C)}{(B\times D)}.

Ez a szorzat megadja annak a téglalapnak a területét, ami \frac{A}{B} hosszú és \frac{C}{D} széles.

Valós számok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Két valós szám szorzatát határértékként adhatjuk meg: (x)(y) az a valós szám, ami megkapható egy x-hez és y-hoz konvergáló sorozat megfelelő elemeinek összeszorzásával keletkezett sorozat határértékeként.

Ez a szorzat megadja annak a téglalapnak a területét, ami x hosszú és y széles.

Komplex számok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A z_1 és a z_2 komplex számot az (a_1, b_1) és az (a_2, b_2) valós számpárokként tekintve z_1 és z_2 szorzata a következőképpen adódó komplex szám:

z_1\times z_2 is (a_1\times a_2 - b_1\times b_2, a_1\times b_2 + a_2\times b_1).

Ez valós számokra ugyanaz, mint az a_1\times a_2 szorzat, ahol a képzetes részek nullák.

Polinomok és mátrixok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szorzás a számokon kívül polinomokra és mátrixokra is kiterjeszthető. A polinomok és adott n-re az n x n-es mátrixok gyűrűt alkotnak, ahol lehet összeadni, kivonni és szorozni. A polinomszorzás kommutatív, de a mátrixszorzás nem.

Absztrakt algebra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Csoportok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Sok halmaz a szorzással megfelel a csoport definíciójának. Ezek az asszociativitás, az egységelem és az inverzek megléte, és a halmaz zártsága a műveletekre.

Egy egyszerű példa a nem nulla valós számok halmaza. Az egységelem az 1. A nullát azért kell kizárni, mert nincs inverze: nincs olyan szám, amivel megszorozva a nullát 1-et kapunk. Ez a példa egy kommutatív, azaz Abel-csoport.

Nem minden csoport kommutatív. Nézzük például az adott méretű invertálható mátrixok csoportját egy adott test felett. Az egységelem az identitásmátrix, az inverzek a mátrixinverzek, és a szorzásra való zártság is teljesül. Mivel a mátrixszorzás nem kommutatív, ezért ez a csoport nem kommutatív.

Az egész számok halmaza nem csoport a szorzásra, még a nulla nélkül sem, mert az 1-en és a -1-en kívül nincsenek inverzek.

A csoportelméletben a szorzást ponttal, vagy egymás mellé írással jelölik. Így az a és a b elemek szorzata ab vagy \mathbf a \cdot \mathbf b.

Gyűrűk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A gyűrű egy másik struktúra, amiben szorozni lehet. Lehet még összeadni és kivonni is. A gyűrűkben nincs minden elemnek (multiplikatív) inverze: például a nullelemnek nincs, és ha a gyűrűben vannak nullosztók, akkor azoknak sincs. A legegyszerűbb példák gyűrűkre az egész számok, a polinomgyűrűk és a mátrixgyűrűk.

A kommutatív, egységelemes, nullosztómentes gyűrűk az integritási tartományok. Erre a legegyszerűbb példa az egész számok. Itt megtörténhet, hogy az x elemnek nincs inverze, de \frac{x}{y} definiálható az ay=x egyenlet megoldásaként.

Ferdetestek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A ferdetestek olyan gyűrűk, amikben minden nem nulla elemnek van inverze. A legegyszerűbb nem kommutatív példát a kvaterniók adják. Ha a szorzás nem kommutatív, akkor nem lehet egyetlen osztás műveletet bevezetni, mivel

\left(\frac{1}{x}\right)\left(\frac{1}{y}\right) \neq \left(\frac{1}{y}\right)\left(\frac{1}{x}\right),

és az \frac{x}{y} hányados nem egyértelmű.

Hatványozás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az ismételt szorzás hatványozást eredményez. Például a 2×2×2 hármas szorzat 2 harmadik hatványa, és 23-ként írható. Ebben a példában 2 az alap, és 3 a kitevő. Általában a felső indexbe írt kitevő jelöli azt, hogy az alap hány tényezős szorzatát kell venni.

Így az a alapot n-szer szorozzuk össze:

a^n = \underbrace{a\times a \times \cdots \times a}_n

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Henry B. Fine. The Number System of Algebra – Treated Theoretically and Historically, (2nd edition, with corrections, 1907), page 90, http://www.archive.org/download/numbersystemofal00fineuoft/numbersystemofal00fineuoft.pdf
  2. PlanetMath: Peano-aritmetika
  • Boyer, Carl B. (revised by Merzbach, Uta C.) (1991). History of Mathematics. John Wiley and Sons, Inc.. ISBN 0-471-54397-7.
  • Pallas nagy lexikona

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]