Logaritmus

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A logaritmus két szám között értelmezett matematikai művelet, a hatványozás egyik megfordított (inverz) művelete (a másik a gyökvonás). A pozitív b szám a alapú logaritmusán (ahol a egytől különböző pozitív szám) azt a kitevő-t értjük, melyre a-t emelve b-t kapjuk. Például 1000 10-es alapú logaritmusa 3, mert 10 harmadik hatványa 1000.

A b szám a alapú logaritmusát

\log_a b\;

jelöli, amely tehát az egyetlen valós szám, amelyre

a^{\log_{a}\,b}=b.

Például \mbox{ }_{\log_3 81=4}, ugyanis, ha a 81-et a logaritmus alapjának, azaz a 3-nak hatványaként írjuk fel, akkor a kitevő 4 lesz:

\log_3\,81 =4 \;\;\Leftarrow\;\; 81=3^{4}

A logaritmust John Napier vezette be a szorzást, hatványozást tartalmazó számolások megkönnyítésére. Az elnevezés a görög „λόγος” (logosz, arány) és „ἀριθμός” (arithmosz, szám) szavak összetételéből származik. A számítások megkönnyítésére logarléceket és logaritmustáblázatokat készítettek, amelyek hamarosan elterjedtek a tengerészetben, a tudományokban és a mérnökök között. Ezek az eszközök a logaritmus azonosságait használják fel. A logaritmus mai jelölése Leonhard Eulertől származik, aki elsőként kapcsolta össze az exponenciális függvénnyel.

A 10-es alapú logaritmust a természettudományokban és a mérnöki tudományokban használják. Jelölése: \operatorname{lg} x. A természetes logaritmus alapja az e Euler-konstans, és a matematikában széles körűen alkalmazzák. Jelölése \operatorname{ln} x. A 2-es alapú logaritmust a számítástudományban és az informatikában alkalmazzák. Jelölése egyszerűen \log x, az alap kiírása nélkül. Német nyelvterületen erre az \operatorname{ld} x jelet használják.

A logaritmikus skálák kis tartományon széles tartományú mennyiségeket képesek ábrázolni. Így működik például a látás és a hallás. A decibel egy olyan viszonylagos egység, ami az erő logaritmusának és az amplitúdó logaritmusának arányát méri. A kémiában a pH a vizes oldatok kémhatását méri. A földrengések nagyságát is logaritmikus skálában mérik. A bonyolultságelméletben is megjelennek, például az összehasonlításos rendezések bonyolultsága legalább O(n · log n).

A valós számokon a logaritmus a hatványozás inverz művelete. Ez megmarad a komplex számok fölött is. Egy másik változat a diszkrét logaritmus, amit a kriptográfiában is használnak.

Jellemzés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ahogy a logaritmus definíciója is mutatja, a pozitív számokon értelmezett (nem egy, pozitív alapú)

\log_a:\; x\mapsto \log_a x

függvény az a alapú exponenciális függvény inverze (egészen pontosan a képlet szerint a jobbinverze), vagyis az ax = expa(x) jelölést alkalmazva, minden pozitív x számra

\exp_a(\log_a(x))=x\,.

Emellett a logaritmusfüggvény balinverze is az a alapú exponenciális függvénynek:

\log_a(\exp_a(x))=x\,.[1]

Eszerint a logaritmus művelete a következő eljárással állítja elő a kimenetét. A loga x az az utasítás, mely az x pozitív számot felírja az a alap valahányadik hatványaként, majd ennek a hatványnak a kitevőjét leolvassa és ezt adja értékül a loga x kifejezésnek:

\log_a x=\log_a a^n=n\,[2]

Például log101000=3, log10100000=5, log101 000 000 000=9, illetve log1010n=n. A tízes alapú logaritmus tehát „a 0-kat számolja meg”. Így az A szám számjegyeinek száma 10-es számrendszerben az (lg A)+1 szám egészrésze. Általában c-es számrendszerben felírt A szám számjegyeinek száma: (logcA)+1 egész része.

Alternatív definíciók[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy alternatív definíció a logaritmus azonosságaira támaszkodik, de hatványsorával és a természetes logaritmus az 1/x integráljaként is definiálható, amiből a többi logaritmus az alap megváltoztatására szolgáló képlettel kapható. Ez az utóbbi két definíció nem vonatkoztatható a diszkrét logaritmusra.

  • A logaritmus egy L:\,(\R^+\!,\,\cdot\,) \longrightarrow (\R,+) izomorfiasereg, és más ilyen izomorfia nincs.
  • A természetes logaritmus az L:t \mapsto \int_1^t \frac 1x\,\mathrm dx integrállal kapható, ha t > 0.
  • A logaritmus hatványsora: \ln(1+x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{x^k}k = x-\frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 -\frac{x^4}4 + \dotsb.

Mindezekről az összefüggésekről alább bővebben is szót ejtünk.

Jelölésrendszer[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A számításokban leggyakrabban a tízes és a kettes alapú logaritmust, valamint az e alapú ún. természetes logaritmust használják. Ezek jelölésére országonként és tudományáganként különböző rövidítések használatosak.

Magyarországon a 10-es alapú logaritmust leggyakrabban

\mbox{lg}(x)\,

jelöli (például középiskolai tankönyvekben is).[3] Az angolszász mintára készült számológépeken a tízes alapú logaritmus jele log(x). A tízes alapú logaritmust még közönséges logaritmusnak is nevezik. Kézi számolásokhoz egyszerű használni a tízes számrendszerhez való alkalmazkodás miatt:[4]

\mbox{lg}(10 x) = \mbox{lg}(10) + \mbox{lg}(x) = 1 + \mbox{lg}(x).\

Így a 10-es alapú logaritmus kapcsolódik a decimális jegyek számához: a számjegyek száma az a legkisebb egész, ami szigorúan nagyobb a szám 10-es alapú logaritmusánál.[5] Például \mbox{lg}1430 \approx 3,15 \,. A következő egész a 4, ami valóban megegyezik a számjegyek számával. A függvénytáblázatból a logaritmus törtrésze, a mantissza olvasható ki; a karakterisztikát a felhasználónak kell megadnia a szám nagyságrendje alapján.

A másik gyakran használt logaritmus a természetes logaritmus, aminek az alapja az Euler-féle szám, az e. Ennek jele általában

\ln(x)\,,

ami a latin „logarithmus naturalis” (természetes logaritmus) kifejezés rövidítése. Gyakran azonban, főleg a számítástudományban log(x) jelöli a természetes logaritmust, míg a tízes alapút log10(x). A matematikai analízisben széles körűen használják kellemes analitikai tulajdonságai miatt. Elterjedt a statisztikában, a gazdaságtani elméletekben, a fizikában, kémiában és egyes mérnöki alkalmazásokban is.

A kettes alapú logaritmust az információelméletben[6] és a számítógéptudományban használják, alkalmazkodva a kettes számrendszerhez. Az információelméletben a természetes logaritmus is előfordul.[7] A zeneelméletben szintén eleve adva van a kettes alap, mivel egy hang és oktávjának frekvenciájának aránya 2. A cent két szomszédos, egyenletesen temperált hang frekvenciájának arányának logaritmusa 1200-zal szorozva. A fényképészetben az expozíciós időt mérik kettes alapú logaritmikus skálán.[8]

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Alakja:[9]

Logaritmus függvények

Összefüggések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A logaritmusfüggvény művelettartó leképezés a pozitív számok szorzással ellátott halmaza és a valós számok összeadással ellátott halmaza között. Az algebra szaknyelvén ez azt jelenti, hogy a loga:(0,+∞)\rightarrow R függvény izomorfizmus a ((0,+∞),\cdot) és az (R,+) csoport között. A szorzásból összeadást csinál, az osztásból kivonást, az 1-ből 0-t. Mondhatjuk, hogy a logaritmus függvény a hatványozást szorzásra, a szorzást összeadásra vezeti vissza. Tetszőleges a pozitív, nem 1 számra és x, y pozitív számra:[10]

\log_a xy = \log_a x + \log_a y\,
\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y\,
\log_a x^k = k \log_a x \,
\log_a \sqrt[p]{x} = \frac {\log_a (x)} p

Az azonosságok a logaritmus x = b^{\log_b(x)} vagy y = b^{\log_b(y)} definíciójából helyettesítéssel származtathatók.[11]

Az összeg és a különbség logaritmusára ismert azonosság nem könnyíti meg a számolást:

x+y = x \left(1+\frac yx\right).

tehát

\log_b (x + y) = \log_b x + \log_b \left(1 + \frac yx\right).

Bármely logaritmus visszavezethető egy tetszőleges másik alapra:

\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}[12]

A tudományos számológépek általában csak 10-es vagy természetes logaritmust tudnak számolni.

Egy adott x pozitív számnak még a logb(x) logaritmusa is ismert egy ismeretlen b-re, akkor a b szám így számítható:

 b = x^\frac{1}{\log_b(x)}.[13]

Analitikai tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A logaritmus mélyebb tanulmányozása a függvény fogalmára támaszkodik. Ez egy olyan reláció, ami értelmezési tartományának minden eleméhez hozzárendel egy, és csakis egy értéket.[14] Ezekből az értékekből áll a függvény értékkészlete.[15] A valós logaritmus, mint függvény a pozitív számokon értelmezett, és értéke befutja a teljes valós számkört.

Ahhoz, hogy a logaritmusfüggvény jóldefiniált legyen, meg kell mutatni, hogy a

b^x = y \,

egyenlet megoldható, és megoldása egyértelmű, ha b és y is pozitív, és b nem egyenlő eggyel. Ez a Bolzano-tétellel bizonyítható.[16] Eszerint egy folytonos függvény nem ugorhat át egy értéket; ha azon az intervallumon, ahol folytonos, felveszi az a és a b értékeket, akkor minden olyan értéket felvesz, ami a és b között van.

Ez megmutatható az f(x) = bx függvényre a fenti kikötésekkel. Mivel f akármilyen kicsi és akármilyen nagy pozitív értékeket is felvesz, így minden y > 0 számhoz található f(x0) és f(x1) alkalmas x0-ra és x1-re. Emiatt a Bolzano-tétel szerint f(x) = y megoldható. Továbbá, mivel f monoton nő, ha b 1-nél nagyobb, és monoton csökken, ha b 1-nél kisebb, a megoldás egyértelmű.[17]

Ez az egyértelmű megoldás y b alapú logaritmusa, logb(y). A fenti kikötéseknek megfelelő b-vel, mint alappal az y-hoz annak logaritmusát hozzárendelő függvény a logaritmusfüggvény, vagy logaritmus.[18]

A logb(x) függvény alapvető jellemzője a fenti szorzatképlet:

\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y).

Pontosabban, ha b > 1, akkor a logaritmus az egyetlen monoton növő függvény, ami eleget tesz az f(b) = 1 és :f(xy)=f(x)+f(y). függvényegyenlet-rendszernek.[19]

Inverz függvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Két függvény grafikonja
A logb(x) logaritmus függvény grafikonja (kék) megkapható a bx függvény grafikonjának (piros) tükrözésével az x = yegyenesre)

A hatvány logaritmusára vonatkozó képlet alapján minden x számra

\log_b \left (b^x \right) = x \log_b(b) = x.[20]

Szavakkal: a b alapot x-edik hatványra emelve és ennek b alapú logaritmusát véve visszakapjuk a b számot.

Megfordítva, ha y pozitív szám, és

b^{\log_b(y)} = y

akkor először a logaritmust véve és erre emelve az alapot visszakapjuk az y számot. Tehát bármelyik műveletet végezzük előbb és a másikat később, mindannyiszor visszakapjuk az eredeti számot. Emiatt a b alapú logaritmus a b alapú hatványfüggvény inverz függvénye.[21]

Az inverz függvények közeli kapcsolatban állnak az eredeti függvénnyel. Grafikonjuk megkapható az x és az y koordináták felcserélésével, azaz az x = y egyenesre való tükrözéssel. A hatványfüggvény grafikonjának (t, u = bt) pontja az (u, t = logbu) pontot adja a logaritmus grafikonján, és megfordítva. Emiatt logb(x) tart a végtelenbe, ha x tart a végtelenbe, hogyha b nagyobb 1-nél. Ekkor logb(x) monoton nő. Ha b < 1, akkor a logb(x) függvény a mínusz végtelenhez tart. Ha x a nullához tart, és b > 1, akkor a logaritmus a mínusz végtelenhez tart; ha pedig b < 1, akkor végtelenhez tart.[22]

Derivált és primitív függvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A logaritmusfüggvény grafikonja egy pontjához húzott érintőjével
A természetes logaritmus grafikonja (zöld) és érintője az x = 1,5 pontban (fekete)

A függvények egyes analitikai tulajdonságai átvihetők az inverz függvényre.[16] Ilyen tulajdonság a folytonosság és a differenciálhatóság. Így, mivel f(x) = bx deriválható, ezért logb(y) is differenciálható. Szavakkal: egy folytonos függvény ott deriválható, ahol nincs töréspontja. Továbbá, mivel f(x) deriváltja ln(b)bx az exponenciális függvény tulajdonsága alapján, ezért a láncszabály szerint logb(x) deriváltja:[17][23]

\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x\ln(b)}.

Így a b alapú logaritmusfüggvényt az (x, logb(x)) pontbeli érintő meredeksége 1/(x ln(b)). Továbbá ln(x) deriváltja 1/x, eszerint 1/x határozatlan integrálja ln(x) + c. Az általánosított f(x) általánosított függvény argumentummal:[24]

\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}.

A jobb oldalon álló hányados f logaritmikus deriváltja. AZ f'(x) derivált kiszámítása a ln(f(x)) felhasználásával logaritmuikus differenciálás néven ismert.[25] Az ln(x) primitív függvénye:[26]

\int \ln(x) \,dx = x \ln(x) - x + C.

Más alapú logaritmusokra a logaritmus alapváltásával egy szorzótényező jelenik meg.[27]

A természetes logaritmus mint integrál[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy hiperbola egy szakasza alatti terület szürkével beszínezve.
A t természetes alapú logaritmusa megegyezik az f(x) = 1/x grafikonja alatt besötétített területtel

Ha t pozitív, akkor a természetes logaritmusa megegyezik 1/x dx integráljával 1 -től t-ig:

\ln (t) = \int_1^t \frac{1}{x} \, dx.

Más szavakkal, ln(t) megegyezik az x tengely és az 1/x grafikonja között 1-től t-ig terjedő területtel. Ez az analízis alaptételének és annak a következménye, hogy ln(x) deriváltja 1/x. Az egyenlet jobboldala a természetes logaritmus definíciója lehet. A logaritmus szorzásra és hatványozásra vonatkozó összefüggései is származtathatók ebből.[28] Például az 1=ln(tu) = ln(t) + ln(u) szorzatképlet:

 \ln(tu) = \int_1^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(1)} = \int_1^{t} \frac{1}{x} \, dx + \int_t^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(2)} = \ln(t) + \int_1^u \frac{1}{w} \, dw = \ln(t) + \ln(u).

Az első egyenlet két részre osztja az integrált, míg a második elvégzi az 1=w = x/t helyettesítést. A bal oldali területet felfelé megnyújtjuk t-szeresére, és vízszintesen összenyomjuk t-edrészére, akkor a terület területe változatlan. Megfelelően eltolva újra illeszkedni fog az 1=f(x) = 1/x függvény grafikonjához. Emiatt a bal terület, ami f(x) integrálja t-től tu-ig, ugyanaz, mint 1 integrálja u-ig. Ez a második egyenlőséget geometriailag demonstrálja.

A hiperbola lerajzolva kétszer. Az alatta levő terület két részre osztva
A geometriai bizonyítás bemutatása

A hatványra vonatkozó 1=ln(tr) = r ln(t) összefüggés hasonlóan bizonyítható:


\ln(t^r) = \int_1^{t^r} \frac{1}{x}dx = \int_1^t \frac{1}{w^r} \left(rw^{r - 1} \, dw\right) = r \int_1^t \frac{1}{w} \, dw = r \ln(t).

ahol a második egyenletben a változók helyettesítése: 1=w = x1/r.

A természetes számok reciprokainak összege a harmonikus sor:

1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k},

szorosan kapcsolódik a

\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n),

különbséghez. Ha n tart a végtelenbe, akkor a különbség az Euler–Mascheroni-konstanshoz konvergál. Ez segít elemezni az algoritmusok bonyolultságát.[29]

A logaritmus egy másik integrál reprezentációja:

 \ln(x) = -\lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^\infty \frac{dt}{t}\left( e^{-xt} - e^{-t} \right)

Ez azzal igazolható, hogy értéke megegyezik x = 1-ben, és ugyanaz a deriváltja.

Transzcendencia[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A nem algebrai valós számokat transzcendensnek nevezzük. Például a π és az e transzcendens számok, de például \sqrt{2-\sqrt 3} nem.[30] Majdnem minden valós vagy komplex szám transzcendens. A logaritmus egy példa a transzcendens függvényekre. A Gelfond–Schneider-tétel szerint a logaritmus értéke majdnem mindig transzcendens.[31]

Kiszámítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Bizonyos esetekben a logaritmus könnyen számítható, például lg 1000 = 3. Általában hatványsorok vagy a számtani-mértani közép felhasználásával számítják. Használhatók adott pontosságú táblázatok is a logaritmushoz.[32][33] A Newton-módszer szintén alkalmazható, mivel inverz függvénye, az exponenciális függvény gyorsan számítható.[34] Ha csak a bitenkénti eltolás és az összeadás érhető el alapműveletként, akkor keresőtáblák és CORDIC-szerű módszerek használhatók a logaritmus számítására. A bináris logaritmus algoritmus a kettes alapú logaritmust számolja sorozatos négyzetre emeléssel, ami ezt a kapcsolatot használja ki:

\log_2(x^2) = 2 \log_2 (x). \,

Hatványsorok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A logaritmus approximációjának bemutatása a logaritmus grafikonján
ln(z) Taylor-sora z = 1 körül.Az animáción az első 10 és a 99. és a 100 approximáció látható. Az approximációk nem konvergálnak a középponttól mért 1 távolságon kívül

Minden 0 < z < 2 valós számra:[35]


\ln (z) = (z-1) - \frac{(z-1)^2}{2} + \frac{(z-1)^3}{3} - \frac{(z-1)^4}{4} + \cdots

Mivel ez a logaritmus Taylor-sora, ezért ez értelmezhető úgy is, hogy a


\begin{array}{lllll}
(z-1) & & \\
(z-1) & - & \frac{(z-1)^2}{2} & \\
(z-1) & - & \frac{(z-1)^2}{2} & + & \frac{(z-1)^3}{3} \\
\vdots &
\end{array}

függvények egyre jobban megközelítik a természetes logaritmust. Például, ha z = 1,5, akkor a harmadik approximáció értéke 0,4167, ami 0,011-del nagyobb, mint ln(1,5) ~ 0,405465. A sorral a természetes logaritmus akármennyire megközelíthető, ha elég sok tagot összegezünk.Az elemi analízisben ln(z)-t tekintik a sor határértékének. Azonban a konvergencia nem érvényes mindenütt az értelmezési tartományban, ugyanis ez a sorozat a természetes logaritmus z = 1 körüli Taylor-sora, ami nem konvergálhat nagyobb sugarú körben, mert z = 0-ban a logaritmus nincs értelmezve. A Taylor-sor z = 1, |z| < 1-re nyújt közelítést:


\ln (1+z) = z - \frac{z^2}{2} +\frac{z^3}{3}\cdots \approx z.
[36]

Például a z = 0,1-re az első közelítés ln(1,1) ≈ 0,1, aminek hibája kevesebb, mint 5%, hiszen ln(1,1) ~ 0,0953.

Gyorsabban konvergáló sorok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy másik ismert sor az area hiperbolikus tangens függvényen alapul:


\ln (z) = 2\cdot\operatorname{arth}\,\frac{z-1}{z+1} = 2 \left ( \frac{z-1}{z+1} + \frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3 + \frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5 + \cdots \right ),

minden valós z > 0 számra.[35] A szigma jelöléssel

\ln (z) = 2\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2n+1}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{2n+1}.

Ez a sor a Taylor-sorból származtatható, de gyorsabban konvergál annál, különösen, ha z közel van 1-hez. Ha z = 1,5, akkor az első három tag által a logaritmusra adott közelítés hibája megközelítően 3 · 10-6. A gyors konvergencia tovább gyorsítható: Legyen y ≈ ln(z) egy pontatlan közelítés. Legyen A = \frac z{\exp(y)} \,. Ekkor z logaritmusa: \ln (z)=y+\ln (A). \,. Minél jobb a kezdeti y közelítés, annál közelebb lesz A 1-hez. Ez az A az exponenciális hatványsorral számítható, ami gyorsan konvergál, ha az adott y nem túl nagy. A nagyobb számok logaritmusa kisebb számok logaritmusának összegére bontható, például ha z = a · 10b, akkor ln(z) = ln(a) + b · ln(10).

Az egészek logaritmusa egy rokon módszerrel számolható. A fenti sor alapján:

\ln (n+1) = \ln(n) + 2\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2k+1}\left(\frac{1}{2 n+1}\right)^{2k+1}.

Ha az n szám logaritmusa ismert, akkor ez alapján számolható log(n+1).

A számtani-mértani közepek módszere[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A számtani-mértani közepek módszere egy viszonylag pontos közelítést ad a természetes logaritmusra. A következő képlet ln(x)-et 2p pontossággal (vagy p jegy pontossággal) közelíti (Carl Friedrich Gauss nyomán):[37][38]

\ln (x) \approx \frac{\pi}{2 M(1,2^{2-m}/x)} - m \ln (2).

Itt M(x,y) x és y számtani-mértani közepét jelöli. Ez úgy kapható, hogy először kiszámoljuk a pozitív x és y számok számtani és mértani közepét. Ezután ezt ismételgetjük a megkapott két számmal. Ezek gyorsan konvergálnak egy közös határértékhez, az M(x,y) számtani-mértani középhez. Az m szám a pontosságot biztosítja. Nagyobb m-ekhez az M(x,y) pontosabb értéke kell, de az eredmény is pontosabb. A π és az ln(2) konstansok más módszerekkel számolhatók.

Határértékek Hurwitz nyomán[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A természetes logaritmusra teljesül:

\ln x = \lim_{n \to \infty} n \left(\sqrt[n]x -1 \right)
              = \lim_{n \to \infty} n \left(1-\frac{1}{\sqrt[n]{x}}\right)

ekvivalensen

\ln x = \lim_{h \to 0} \frac{x^h-1}h = \lim_{h \to 0} \int_1^x \frac{1}{t^{1-h}}\ dt

amit a L’Hospital-szabály is megerősít.

Ezen alapulnak az Adolf Hurwitz által a a_n illetve b_n sorozatok a természetes logaritmussal definiált határértékei

\begin{align}
a_n&=2^n(x_n-1)\\
b_n&=2^n(1-1/x_n),
\end{align}

ahol

x_{n+1}=\sqrt{x_n}\quad\text{ahol}\quad x_0=x

Mivel 1-\tfrac1{x}\le b_n \le a_n < x-1 és mert a_n monoton csökken és b_n monoton nő, azért mindkét sorozat konvergens. Mivel a_n=b_n x_n és x_n→1, adódik az egyenlőség mindkét határértékre:

\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}b_n = \ln x.

Azonban az ln x kiszámítására a vészes kiegyszerűsödés (kivonáskor elvesző pontosság) miatt gyakorlatilag alkalmatlan.

Egyes bináris jegyek kiszámítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy másik lehetőség a logaritmus kiszámítására, ha a számításokat kettes számrendszerben végezzük, és a jegyeket egymás után rendre számítjuk. Ez az eljárás egyszerűen implementálható, mivel elkerüli a hosszas osztásokat, és könnyen alkalmazható a fixpontos aritmetikához is.

A kettes alapú logaritmus kiszámításához először megszámolják a kettes számrendszerbeli jegyeket, majd a számot 1 és 2 közé normálják.

Ha az adott szám x, akkor logaritmusa ábrázolható, mint:

\begin{align}
\log_2(x)&=0,b_1b_2b_3\cdots = \sum_{k>0} b_k 2^{-k} \text{ mivel } b_k\in\{0,1\}\\
\log_2(x^2)&=b_1,b_2b_3\cdots \qquad\text{ mivel }\quad \log(x^2) = 2\log x
\end{align}

Azx szám negyedelése (nem inkább felezése?) a logaritmust egy jeggyel balra tolja, ezzel elérhető, hogy az egészrész 1 legyen. Ez akkor teljesül, ha x2 ≥ 2 ist. Ekkor x-et felezéssel újra normálják, ami nincs hatással a további jegyekre.[39] Az algoritmus pszeudokódja:

INPUT  1 ≤ x < 2
OUTPUT A log2(x) törtrészének bi bitjei
i ← 0
LOOP
   i ← i + 1
   x ← x2
   IF x ≥ 2 THEN
      x ← x / 2
      bi ← 1
   ELSE
      bi ← 0
   END IF
END LOOP

Analóg számológép[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy logaritmáló egyszerűsített kapcsolási rajza

A logaritmus analóg számológéppel is kiszámítható. Az eredmény az Ua feszültség, ami a bemeneti Ue feszültség logaritmusa. Ez a dióda áram-feszültség exponenciális karakterisztikáját használja ki. A mellékelt ábra a logaritmáló elvi felépítését mutatja be, egy D diódával és egy R ellenállással.[40]


Negatív és komplex számok logaritmusa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A poláris alak bemutatása: egy pont, aminek helyét nyíl mutatja, az x tengellyel bezárt szögével és hosszával is leírható
A z = x + iy komplex szám poláris alakja. Az argumentum nem egyértelmű: φ és φ' is argumentuma z-nek.
A komplex logaritmus Riemann-felülete
Sűrűségi ábra. A középen egy fekete pont. A negatív tengelyen a szín hirtelen megváltozik, máshol azonban simán megy át
A komplex logaritmus főága, Log(z). A fekete pont z = 1-ben a nulla abszolútértéknek felel meg. A telítettebb színek a nagyobb abszolútértéket, a szín az argumentumot jelöli

A logaritmus általánosítható minden, nullától különböző komplex számra, így a negatív számokra is. Adott z komplex szám természetes logaritmusa az a komplex szám, ha e^a=z.\, A más alapú logaritmusok ebből számíthatók. Ez azonban nem egyértelmű.[41]

  • Nézzük meg egy z = a+bi komplex szám logaritmusát:

log(z) = ln(r) + i*arg(z), ahol a valós szám, r a z komplex szám abszolútértéke, mely a r=\sqrt{x^2+y^2}. \, képlettel számítható ki és arg(z) pedig a z komplex szám és a valós tengely pozitív része által bezárt szög (radiánban). Az argumentum nem egyértelmű; ha α argumentuma a z komplex számnak, akkor φ + 2π és φ - 2π is argumentuma z-nek. Ugyanis a 2π hozzáadása vagy kivonása a komplex számsík egy 360 fokos forgatásnak felel meg, ami minden komplex számot önmagára képez. Az argumentum főértéke az a φ, amire −π < φ és φ ≤ π. Jelölése Arg(z).[42] (An alternative normalization is 0 ≤ Arg(z) < 2π.[43])

A komplex szinusz és koszinusz, vagy a komplex exponenciális függvény felhasználásával r-re és φ-re rendre a következők teljesülnek:[44]

\begin{array}{lll}z& = & r \left (\cos \varphi + i \sin \varphi\right) \\
& = & r e^{i \varphi}.
\end{array} \,

Innen következik, hogy e a-adik hatványa z, ha

a = \ln (r) + i ( \varphi + 2 n \pi ), \,

ahol φ a z argumentumának főértéke, és n tetszőleges egész. Minden ilyen a érték logaritmusa z-nek. Ezekből végtelen sok van, szemben az egyértelmű valós logaritmussal. A logaritmus egyenletei erre a végtelen értékű logaritmusra megmaradnak. Az Arg(z) = a-val definiált érték a logaritmus főértéke, Log(z). A pozitív számok argumentumának főértéke 0, így a komplex logaritmus főértéke valós szám, és megegyezik a valós logaritmussal. A főértékre szorítkozva azonban elvesznek az azonosságok, mert az egyenlőség lehet, hogy a logaritmus egy másik értékét válasdztva teljesülne.[45]

A jobbra lent látható kép a természetes logaritmus főágát mutatja be. A negatív oldalon a szín az argumentum ugrása miatt változik meg hirtelen. Ez csak azzal kerülhető el, hogy az argumentum nagyságára nem teszünk kikötést, de ekkor visszakapjuk a végtelen értékű logaritmust. Habár a negatív számok logaritmusa is értelmezett a komplex számsíkon, a negatív számok logaritmusának nincs főértéke.[46]

  • Egy komplex szám alapú logaritmust pedig kiszámíthatunk az előbbi összefüggések alapján,

logw(z) = log(z) ÷ log(w), ahol w és z komplex szám[47]

  • Negatív számok logaritmusa kiszámítható az előző összefüggésekkel, ugyanis minden valós szám egyben komplex szám is.

loga(b) = ln(|b|)+i*π, ahol b egy negatív szám[48]

  • Az eredmény képzetes része π, mert minden negatív szám az arg függvényben i*π-t ér. Most nézzünk meg pár példát:

1. Példa:

log(-30)=ln(30)+i*π

Ellenőrzés:
10ln(30)+i*π=e(ln(30)+i*π)*log(10)=eln(30)*(cos(π)+i*sin(π))=30(-1+0*i)=-30

2. Példa:

logi/2(-1/2) = log(-1/2) / log(i/2) = (ln(1/2)+i*π) / (ln(1/2)+i*π/2)≈ 0,050647 + i*0,361058

Ellenőrzés:
(i/2)(ln(1/2)+i*π)/(ln(1/2)+i*π/2)=e(ln(1/2)+i*π)/(ln(1/2)+i*π/2) * (ln(1/2)+i*π/2)=eln(1/2)+i*π=eln(1/2)*(cos(π)+i*sin(π))=-1/2

Más exponenciális függvények inverzei[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A matematikában több részterületen is használják a hatványozást, így az inverz függvények is szóba kerülnek. Például a mátrixok hatványozásának egyik inverz függvénye a többértékű mátrix logaritmus.[49] Egy másik példa a p-adikus számokon értelmezett p-adikus logaritmus, ami a p-adikus exponenciális inverze. Mindezeket a valós Taylor-sor alapján definiálják.[50] A differenciálgeometriában egy exponenciális leképezés egy sokaság egy pontjabeli érintőteret a pont környezetére képezi. Ennek inverzét szintén logaritmikus leképezésnek nevezik.[51]

A véges csoportok körében egy elem hatványa az elem önmagával való szorzásával kapható meg. Mivel véges csoportban az elemek rendje véges, negatív kitevőkre nincs szükség, mivel az elemek inverze is előáll pozitív kitevős hatványként.[52] Az x csoportelem b csoportelem alapú diszkrét logaritmusa az az egész n szám, ami megoldja az

b^n = x,\,

egyenletet. Jelen ismereteink szerint míg a hatványozás véges csoportokban gyorsan elvégezhető, addig a diszkrét logaritmus bizonyos csoportokban nehezen számítható.[53] Ezt az aszimmetriát kihasználják a nyilvános kulcsú titkosírásban, például a Diffie–Hellman-kulcscsere eljárásban, ami lehetővé teszi a titkosírás kulcsának cseréjét nyilvános csatornán.[54] A Zech-féle logaritmus véges testek multiplikatív csoportján értelmezett diszkrét logaritmus.[55]

A további logaritmusszerű inverz függvények közé tartoznak az iterált logaritmus, a ln(ln(x)) kettős logaritmus, ami a kettős exponenciális inverze; a hiper- vagy szuperlogaritmus, ami a tetráció inverze; a Lambert-féle W-függvény ami a f(w) = wew inverze;[56] és a logit, ami a logisztikus függvény inverze.[57]

Kapcsolódó fogalmak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Absztrakt algebrai szempontból a log(cd) = log(c) + log(d) egyenlőség csoportizomorfia a pozitív valós számok szorzásra vett csoportja és a valós számok additív csoportja között. E között a két csoport között csak a logaritmusfüggvények teremtenek csoportizomorfiát.[58] Ezzel az izomorfiával a Haar-mérték, Lebesgue-mérték a valós számokon megfelel a dx/x mértéknek a pozitív valós számokon.[59]

A komplex analízisben és az algebrai geometriában a df/f alakú differenciálformák logaritmikus pólusokkánt ismertek.[60]

A polilogaritmus definíciója:


\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}.

A természetes logaritmussal kifejezve: Li1(z) = −ln(1 − z), továbbá Lis(1) éppen a ζ(s) Riemann-féle zéta-függvény.[61]

Alkalmazások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy nautilus héjának fényképe.
Egy nautilus héja logarithmikus spirál alakzatot mutat
Logaritmustáblázat

A logaritmusnak számos alkalmazása van a matematikában és azon kívül. Ezek jelentős része a skálainvarianciát használja fel. Például a nautilus héjának minden egyes kamrája olyan, mint az előző, de egy konstans tényezővel nagyobb. Emiatt a héj keresztmetszete logaritmikus spirál.[62] Benford törvénye is a skálainvarianciára hivatkozik.[63] A logaritmus az önhasonlósághoz is kapcsolódik, emiatt jelenik meg az oszd meg és uralkodj típusú algoritmusok műveletigényében[64] önhasonló geometriai alakzatok fraktáldimenziójának is logaritmus használatával számítható ki. A logaritmikus skálák akkor hasznosak, ha vagy különböző nagyságrendű mennyiségeket kell egy skálán ábrázolni, vagy az abszolút különbség helyett a relatív megváltozást kell megjeleníteni. A logaritmus több tudományos képletnek is része, mint a Ciolkovszkij-egyenlet, a Fenske-egyenlet és a Nernst-egyenlet.

Számítások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fenti tulajdonságok segítségével, ha minden szám logaritmusát tudjuk, akkor a szorzások csupán összeadás műveletével elvégezhetőek, sőt, a hatványozást először szorzásra visszavezetve szintén két összeadással elvégezhetjük. A kitevők összeadását a logaritmus értékeket skálájában tartalmazó logarléc használatakor egyszerű tologatással megoldhatjuk.[65] A logarlécet napjainkban már nemigen használják, de az elv továbbra is használható például számológépekben.

Mivel a logaritmus additívvá teszi az egymással szorzódó mennyiségeket, mint például állapotok valószínűségét, alapvető szerepet játszik a statisztikus fizikában használatos entrópia, illetve azzal gazdag analógiákat mutató információmennyiség, hírérték megadásában.

Bonyolultság[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A bonyolultságelmélet a számítástudománynak az az ága, amely az algoritmusok végrehajtásának idejét vizsgálja.[66] A logaritmusok azoknak a feladatoknak a vizsgálatában jelennek meg, amelyeket úgy oldanak meg, hogy részproblémákra osztják, azokat megoldják, majd ezekből állítják elő a feladat megoldására. Erre a módszerre oszd meg és uralkodj módszerként is utalnak.[67]

Például a logaritmikus keresés egy rendezett listában keres egy elemet. Ehhez a középső elemet vizsgálja meg. Ha ez kisebb, akkor a nagyobb, ha nagyobb, mint a keresett elem, akkor a kisebb elemek között keres tovább ugyanígy. Ha az adott elem megegyezik a vizsgált elemmel, akkor megvan a keresett elem. Ha a lista már nem osztható tovább, és nem találta meg a keresett elemet, akkor a keresett elem nincs a listában. Az esetek legalább felében ez összesen log2(N) összehasonlítást jelent.[68] Hasonlóan az összefuttatásos rendezés megfelezi a kapott listát, rendezi a két részt, majd összefuttatva kapja meg a teljes lista rendezését. Az egy elemű listák rendezettje önmaguk. Ez összesen N · log(N).[69] A bonyolultságelméletben rendszerint nem határozzák meg a logaritmus alapját, mert az egy konstans szorzót jelent, és ettől a bonyolultságelmélet eltekint.[70]

Ha f(x) függvény, akkor logaritmikusan nő, ha egy logaritmusfüggvény konstansszorosa. Ez azt is jelenti, hogy logaritmusfüggvény. Például egy természetes szám leírásához egy rögzített számrendszerben szükséges jegyek száma logaritmikusan nő a számhoz képest. Más szavakkal, az eltárolásához szükséges memória logaritmikusan nő a számmal. A biológiában azonban az exponenciális növekedést nevezik logaritmikusnak.[71]

Entrópia és káosz[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy ovális, két részecske útjával
Billiárd ovális billiárdasztalon. Két részecske az asztal közepéről indul, de kis mértékben különböző szögben indulnak el. Útjuk kaotikusan divergál, mivel visszaverődnek az asztal széléről

Az entrópia egy adott rendszer rendezettségét méri. A statisztikai termodinamikában

 S = - k \sum_i p_i \ln(p_i).\,

az információk elméletében

 H = - \sum_i p_i \log _2(p_i).\,

Az összeg az összes i állapotot, illetve elemet magába foglalja. Itt pi az adott állapot vagy elem valószínűsége, k a Boltzmann-állandó. Az információelméletben az információ mennyiségét méri. Ha N üzenet mindegyike egyforma valószínűségű, akkor a kiválasztott üzenet információtartalma log2(N) bit.[72]

A Ljapunov-kitevők dinamikus rendszerek kaotikusságát méri a logaritmussal. Például, ha egy részecske egy ovális billiárdasztalon mozog, akkor a kiindulópont kis mértékű megváltoztatása is a részecske útjának nagy mértékű változását eredményezi. Az ilyen rendszerek determinisztikusan kaotikusak, mivel megjósolható, hogy kis mérési hibák is nagy különbséget eredményeznek a végső állapotban.[73] A determinisztikusan kaotikus rendszerekben legalább egy Ljapunov-kitevő pozitív.

Fraktálok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Sierpiński-háromszög konstrukciója. Minden lépésben minden háromszöglemezből kivágják a középvonalai által határolt belső háromszöget. A határérték a Sierpiński-háromszög (jobb szélen)

A logaritmus megjelenik a fraktáldimenziók definíciójában.[74] A fraktálok önhasonló geometriai alakzatok, ami azt jelenti, hogy (legalább köznapi vagy statisztikai értelemben) hasonlók önmaguk egy részével. Például a Sierpiński-háromszög lefedhető három önmaga felére kicsínyített másolatával, így Hausdorff-dimenziója log(3)/log(2) ≈ 1,58. Egy másik logsaritmuson alapuló definíció a dobozszámlálási dimenzió, ami különböző méretű dobozokkal való fedésből indul ki.

Valószínűségszámítás és statisztika[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Három aszimmetrikus görbe
Három lognormális eloszlás sűrűségfüggvényének grafikonja. A lokációs paraméter (μ) mindhárom függvénynél 0. Ez megegyezik a valószínűségi változó logaritmusának várható értékével
Oszlopdiagram piros oszlopokkal, előtte pontdiagram. A kettő között lényeges az eltérés, de hasonlóan csökkennek
Benford törvényének bemutatása a világ 237 országának népességi adatainak felhasználásával. A tényleges eloszlást oszlopdiagram jelzi, a fekete pöttyök a Benford-törvény által megjósolt eloszlást jelölik

A valószínűségszámításban is megjelenik a logaritmus. A nagy számok törvénye szerint egy szabályos érmével nagyon sokszor dobva a fejek aránya megközelíti az 1/2-et. A tétel nem állít semmit sem a fej és az írás különbségéről, az a végtelenbe tartva végtelenre nőhet. Az 1/2-es arány körüli ingadozásokat az iterált logaritmus törvénye írja le.[75]

A logaritmus a lognormál eloszlásra is jellemző. Ha egy mennyiség eloszlása normális, akkor logaritmusának eloszlása lognormális.[76] A lognormális eloszlás gyakori, és hátterében sok pozitív értékű, összeszorzódó valószínűségi változó áll. Erre egy példa a turbulencia tanulmányozása.[77]

A paraméteres statisztikai modellek egyike a maximum-likelihood becslés. Ebben a modellben a likelihood függvény legalább egy olyan paramétertől függ, amit becsülni kell. Ez a függvény ott maximális, ahol logaritmusa maximális, mivel a logaritmus monoton nő. Ennek egyszerűbb megtalálni a maximumát, különösen akkor, ha a likelihood függvény független valószínűségi változók több tényezős szorzata.[78]

Benford törvénye a számjegyek eloszlását írja le különféle adathalmazokban, például épületek magassága. Eszerint annak a valószínűsége, hogy egy számadat első jegye d, megegyezik a log10(d + 1) − log10(d) mennyiséggel, függetlenül a mértékegységtől.[79] Így az adatok 30%-a 1-gyel, 18%-a 2-vel kezdődik, és így tovább. Ezt a szabályszerűséget használják például könyvelési csalások leleplezésére.[80]

Számelmélet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A természetes logaritmus kapcsolódik a prímszámok (2, 3, 5, 7, 11, ...) eloszlásához, ami a számelmélet egy régi nevezetes problémája. Minden x egész számhoz rendeljük hozzá a nála nem nagyobb pozitív prímek számát; ezt a függvényt π(x) jelöli. Ennek aszimptotikus közelítése a prímszámtétel szerint:

\frac{x}{\ln(x)},

ami azt jelenti, hogy a két függvény hányadosa tart az egyhez, ha x tart a végtelenbe.[81] Eszerint annak a valószínűsége, hogy egy x-nél nem nagyobb véletlen szám prím, közelítőleg fordítottan arányos x számjegyeinek számával.

Egy jobb közelítés:

 \mathrm{Li}(x) = \int_2^x \frac1{\ln(t)} \,dt.

A Riemann-hipotézis megfogalmazható π(x) and Li(x) összehasonlításával.[82] A számok prímtényezőiről szóló Erdős–Kac-tételben szintén megjelenik a logaritmus.

Az n faktoriálisának logaritmusa (n! = 1 · 2 · ... · n) kifejezhető, mint

 \ln (n!) = \ln (1) + \ln (2) + \cdots + \ln (n). \,

Ebből levezethető a Stirling-formula, ami n! approximációja.[83]

Logaritmikus skálák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A logaritmus használatával mennyiségek sok nagyságrendjét egy skálára sűríthetjük. Ennek hasznosságát gyakran a gyakorlat és természet törvényszerűségei is alátámasztják. A különböző fizikai mennyiségék (hangerősség, hangmagasság, fényintenzitás stb.) által keltett, általunk érzékelt fiziológiai érzet a fizikai jel (teljesítményének) logaritmusával arányos. Ez indokolja a logaritmussal arányos decibel-skálák bevezetését. A decibel a teljesítmény 10-es alapú logaritmusának 10-szerese, vagy az elektromos feszültség 10-es alapú logaritmusának 20-szorosa. Használják az elektromos jelek szállítása közbeni feszültségesés mérésére,[84] a hangok teljesítményének mérésére az akusztikában,[85] vagy a fény elnyelődésének mérésére az optikában és a spektrometriában. A jel-zaj arányt is decibelben mérik.[86] A csúcs jel-zaj arányt használják a képtömörítés és a hangminőség mérésére.[87]

Az érzékelés leírásában gyakran jelenik meg a logaritmus.[88][89] A hangmagasság érzete a hang frekvenciájának logaritmusával arányos, azaz például egyenletes léptéknek észlelt oktávok rendre a frekvencia 2-, 4-, 8-szorosát jelentik. A csillagok fényességét mérő magnitudó is logaritmikus.[90] A pszichofizikában a Weber–Fechner-törvény szerint az inger és az érzet erőssége között logaritmikus kapcsolat van.[91] Ez azonban kevésbé pontos, mint egyes ma használt összefüggések, mint például Steven törvénye.[92]

Hick törvénye szerint a választási idő arányos az alternatívák számának logaritmusával.[93] Fitt törvénye szerint egy tágy méretének és távolságának logaritmusa arányos az odasietés idejével.[94] A matematikában képzetlen egyéneknél tendencia, hogy a mennyiségeket logaritmusuk szerint becsülik meg, például a 10 az 1 és a 100 között félúton van. Az alaposabb matematikai képzés ezt bizonyos körülmények esetén lineáris irányba tolja el.[95][96]

Logaritmikus továbbá a földrengés erősségét jelző Richter-skála is; a földrengés által kibocsátott energia 10 alapú logaritmusa. Például, ha egy földrengés erőssége 5,0, akkor 32-szer (101,5) akkora; a 6,0 erősségű 1000-szer ((103)) akkora, mint egy 4,0 erejű földrengés.[97]

Egy további példa a vizes oldatok pH-ja, ami a oxóniumionok koncentrációjának 10-es alapú logaritmusának negatívja.[98] Például a semleges pH-jú vízben ez a koncentráció 10−7 mol·L−1, ami szerint a pH 7. Az ecet pH-ja 3. A különbség az oldatbvan levő oxóniumionok koncentrációjának 10000-szeresét jelzi; eszerint az ecetben 10−3 mol·L−1 oxóniumion található.

Zene[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Négy oktáv elhelyezkedése lineáris skálán
Négy oktáv elhelyezkedése logaritmikus skálán, ahogy a fül hallja

A hangmagasság logaritmikus észleléséhez a zenének is alkalmazkodnia kell. Az egyenletes hangolásban az egyes hangközök mérete csak a két hang távolságától függ, és nem maguktól a hangoktól. Például az a' (440 Hz) és a b' hangok (466 Hz) közötti hangköz ugyanakkora, mint a b (466 Hz) és a h (493 Hz) hangok közötti. Eszerint a frekvenciák közötti arányok megegyeznek, vagy csak annyiban térnek el, amennyiben a fül nem érzékeli a különbséget:

\frac{466}{440} \approx \frac{493}{466} \approx 1.059 \approx \sqrt[12]2.

A hangközöket az elnevezések mellett (például nagy szekund, kis terc, tiszta kvint) logaritmikusan célszerű mérni. A logaritmus alapja 21/12, ami az oktáv frekvenciaarányához és az oktáv által tartalmazott 12 hanghoz alkalmazkodva ez a legkisebb nem prím hangköz, a kis szekund frekvenciaaránya. Ez a száz cent. A centet a nem egyenletesen temperált hangolások beállításához használják.[99]

Hangköz
(két egyszerre játszott hang között)
1/12 hangSound play Kis szekund Sound play Just nagy terc Sound play Nagy terc Sound play Tritón Sound play Oktáv Sound play
Frekvenciaarány r 2^{\frac 1 {72}} \approx 1.0097 2^{\frac 1 {12}} \approx 1.0595 \tfrac 5 4 = 1.25 \begin{align} 2^{\frac 4 {12}} & = \sqrt[3] 2 \\ & \approx 1.2599 \end{align} \begin{align} 2^{\frac 6 {12}} & = \sqrt 2 \\ & \approx 1.4142 \end{align}  2^{\frac {12} {12}} = 2
Kis szekundokban (félhangokban)
\log_{\sqrt[12] 2}(r) = 12 \log_2 (r)
\tfrac 1 6 \, 1 \, \approx 3.8631 \, 4 \, 6 \, 12 \,
Centekben
\log_{\sqrt[1200] 2}(r) = 1200 \log_2 (r)
16 \tfrac 2 3 \, 100 \, \approx 386.31 \, 400 \, 600 \, 1200 \,

Grafikonok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szemilog grafikonok a logaritmikus skálát is szemléltetik. Az egyik tengelyen, tipikusan a függőlegesen a skála logaritmikus, Például az itt látható grafikon több nagyságrendet összenyomva mutatja be a német hiperinflációt az 1920-as években. Ezeken a grafikonokon az f(x) = a · bx alakú exponenciális függvények képe egyenes.

A természetben talált legtöbb összefüggés (például fizikai képlet) hatványfüggvény alakú. Ha mindkét tengelyen szereplő értékeknek logaritmusát ábrázoljuk, az ún. log-log ábrán bármely hatványfüggvény lineáris alakot vesz fel, a meredekség pedig a kitevőt adja meg:

y=c x^\alpha
\log{y}=\log{c} + \alpha \log x
Y=\alpha X+ C

A fenti elvet használják ki a gyakran alkalmazott különböző logaritmikus grafikonokon, például a Bode-diagram, amely egy rendszer átviteli függvényének log-log ábrázolása.[100]

Különböző skálákat használó grafikonok y=10^x exponenciális (piros), y=x identitás (zöld) és y=\ln x logaritmusfüggvény (kék) ábrázolásával

Története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Előzmények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A babilóniak Kr. e. 2000–1600 körül kezdték el alkalmazni a negyednégyzet algoritmust szorzásra, ami csak összeadást, kivonás, és egy négyzetek negyedét tartalmazó táblázatot használt.[101][102] Azonban ez még nem volt alkalmas osztásra, mert ahhoz még a reciprokok táblázatára is szükség lett volna, vagy egy olyan eljárásra, amivel gyorsan lehetett volna reciprokot számolni. A módszert az újkorban újra felfedezték, és 1817-től kezdve egészen a számológépek elterjedéséig kiadtak negyednégyzeteket tartalmazó táblázatokat nagy számok pontos szorzásához.

Az indiai Virasena azzal foglalkozott, hogy hányszor lehet elfelezni egy páros számot. 2 egész kitevős hatványaira ez a logaritmus. Ezt ardhacchedának nevezte. Továbbá foglalkozott hasonló függvényekkel 3 és 4 alapra (trakacheda és caturthacheda).[103] Ma ezt a p-adikus számok kapcsán a számok rendjének nevezzük.

Michael Stifel 1544-ben Nurenbergben kiadott Arithmetica integrája tartalmazott egy táblázatot[104] az egészekről és 2 hatványairól, ami egy korai logaritmustáblának tekinthető.[105][106]

A 16. és a 17. században közelítő pontosságú szorzásra és osztásra a prosthaphaeresis algoritmust használták, ami az

\cos\,\alpha\,\cos\,\beta = \frac12[\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)]

képleten alapulva összeadásra, kivonásra és táblázatok használatára egyszerűsítette a műveleteket. A logaritmus azonban még ezt is tovább egyszerűsítette. Az Euler-formulával kimutatható az összefüggés a két képlet között.

Napiertől Eulerig[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Barokk kép egy ülő szakállas férfiról
John Napier (1550–1617), a logaritmus felfedezője

A logaritmusok módszerét John Napier 1614-ben jelentette meg Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio címen.[107][108] Joost Bürgi logaritmustáblája 1620-ban jelent meg, de nem terjedt el széles körben. Ez egy egyhez közeli számot használt alapnak, és az 1-től 10-ig terjedő számok logaritmusát tartalmazta. Napiertől eltérően nem definiálta a folytonos logaritmusfüggvényt, és nem elemezte az interpolációk pontosságát sem. Még a használat szabályait sem írta le, bár ezt a hiányosságát később pótolta. Ezt különj adták ki.[109][110]

Johannes Kepler az Ephemeris fordításához logaritmustáblákat használt, ezért művét Napiernek ajánlotta:,[111] Napier rendszerének megjelenését ugyan megelőzte Justus Byrgius [Joost Bürgi], ámde ő ahelyett, hogy a köz szeme előtt nevelte volna fel gyermekét, már születése után magára hagyta.[112].

Napier ismételt kivonásokkal kiszámolta (1 − 10−7)L értékét minden egész L-re 1-től 100-ig, ahol is megközelítően 0,99999 = 1 − 10−5-t ért el. Ezután kiszámolta ezeknek a szorzatait 107(1 − 10−5)L-nel 1-től 50-ig, és hasonlókat számolt 0,9998 ≈ (1 − 10−5)20-nal és |0,9 ≈ 0,99520-nal is. Mindezek a számítások 20 évig tartottak, és lehetővé tették, hogy 5 és 10 millió között minden N-hez megadja azt az L számot, ami megoldja az

N=10^7 {(1-10^{-7})}^L. \,

egyenletet. Az L számot először mesterséges számnak nevezte, de később a logaritmus nevet adta neki, mivel a szám arányt jelöl. Napier kapcsolata a természetes logaritmussal:

[113]

L = \log_{(1-10^{-7})} \!\left( \frac{N}{10^7} \right) \approx 10^7 \log_{ \frac{1}{e}} \!\left( \frac{N}{10^7} \right) = -10^7 \log_e \!\left( \frac{N}{10^7} \right),

ami egy nagyon pontos approximáció, és megfelel az

{(1-10^{-7})}^{10^7} \approx \frac{1}{e}. \,

megfigyelésnek. A logaritmus hamarosan találkozott az igényekkel, és gyorsan népszerűvé vált. Bonaventura Cavalieri (Itália), Edmund Wingate (Franciaország), Xue Fengzuo (Kína) művei, és Johannes Kepler Chilias logarithmorum (német államok) segítette az elterjedésben.[114]

A hiperbola (y = 1/x, pirossal) és az alatta levő terület x = 1-től 6-ig (narancssárgával)

1649-ben Alphonse Antonio de Sarasa, aki korábban Grégoire de Saint-Vincent tanítványa volt, kapcsolatba hozta a logaritmust a hiperbola kvadratúrájával.[115] Rámutatott arra, hogy a hiperbola alatti f(t) terület x = 1-től x = t-ig eleget tesz a következőnek:

f(tu) = f(t) + f(u).\,

Ennek előzményeként Grégoire de Saint-Vincent 1647-ben megjelent könyvében, az Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni vizsgálta a kúpszeleteket.[116] Ebben bizonyította, ha a pontok abszcisszái mértani arányban állnak, akkor a hiperbola íve és az abszcisszák által meghatározott görbe alatti terület számtani arányban van. Ezt felhasználva látta be Alphonse Antonio de Sarasa a fenti összefüggést, és a kapcsolatot a logaritmussal.[117]

A természetes logaritmust Nicholas Mercator 1668-ban kiadott könyvében, a Logarithmotechniában vezette be,[118] habár John Speidell matematikatanár Napier nyomán már készített természetes logaritmus táblázatot.[119] 1730-ban Euler definiálta a természetes alapú exponenciális függvényt és logaritmust,

e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} (1+x/n)^n,
\ln(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} n(x^{1/n} - 1).

és megmutatta, hogy e kettő inverze egymásnak.[120][121][122]

Történelmi alkalmazások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az 1797-es kiadású Encyclopaedia Britannica cikke a logaritmusról

A számítások leegyszerűsítésével a logaritmus hozzájárult a természettudományok, különösen a csillagászat fejlődéséhez. Kritikus fontosságú volt a geodéziában, az égi navigációhoz, és sok más területhez. Pierre-Simon Laplace szerint a több hónapos számításokat néhány naposra rövidíti, és a hibákat is csökkenti.[123]

A számológépek megjelenése előtt a logaritmust táblázatok alapján használták.[124] Az első ilyen táblázatot Napier után nem sokkal Henry Briggs készítette 1617-ben. Ezután egyre pontosabb és egyre nagyobb számtartományokra készültek logaritmustáblázatok. Ezek a táblázatok tartalmazták logb(x) és bx értékét, ahol az x szám egy bizonyos lépésközzel befutott egy tartományt, és b legtöbbször 10 volt a 10-es számrendszerhez való alkalmazkodás miatt. Briggs táblázata a 1–1000 egészek logaritmusát tartalmazta 8 jegyes pontossággal. A logb(x) inverz függvényét, f(x) = bx-et antilogaritmusnak nevezték.[125] A logaritmus alapvető tulajdonságai alapján a szorzást összeadásra, az osztéást kivonásra, a hatványozást szorzásra, és a gyökvonást osztásra vezették vissza. Ezután az így kapott érték antilogaritmusát keresték vissza ugyanabban a táblában.

Így a c és a d számok szorzata

 c d = b^{\log_b (c)} \, b^{\log_b (d)} = b^{\log_b (c) + \log_b (d)} \,

és hányadosa

\frac c d = c d^{-1} = b^{\log_b (c) - \log_b (d)}. \,

A 10-es alapú logaritmus nullákat számláló tulajdonságára támaszkodva egyes táblák külön adták meg a a karakterisztikát (a logaritmus egészrészét) és a mantisszát (a logaritmus törtrészét).[126] A 10 · x 10-es alapú logaritmusának karakterisztikája 1-gyel nagyobb, mint x karakterisztikája, így a 10-es alapú logaritmustábla értelmezési tartománya kibővíthető. Így például, ha adva vannak az 1-től 1000-ig terjedő egész számok 10-es alapú logaritmusai, 3542 logaritmusa közelíthető így:

\log_{10}(3542) = \log_{10}(10\cdot 354.2) = 1 + \log_{10}(354.2) \approx 1 + \log_{10}(354). \,

Egy másik alkalmazás a logarléc volt, amiben két logaritmikus skálát használtak a számításokhoz.

Logarléc: két logaritmikusan skálázott téglalap, úgy elcsúsztatva, hogy az alsó léc 1-től 2-ig terjedő távolságához a felső léc az 1-től 3-ig terjedő távolságot adja, amivel kijelöli a 6-ot, mint szorzatot
Egy logarléc sematikus ábrája. Az alsó skála 2-eséhez a felső skála 3 távolságot ad, ami az alsó skálán 6-ot jelöl ki. A logarléc azért használható így, mivel minden x 1-től mért távolsága arányos x logaritmusával

Az első logarlécet 1620–1630 körül az oxfordi Edmund Gunter készítette, és csak egy logaritmikus skálája volt. További mérőeszközökkel kombinálva szorozni és osztani lehetett vele. 1632-ben a cambridge-i William Oughtred két Gunter-vonalzó összetételével megalkotta a modern logarlécet. Ezeken a skálákon a számok logaritmusuk különbségével arányos tábvolságra kerültek. A felső skála elcsúsztatásával lehetett összeadni a logaritmusokat. Például a felső skálán az 1 és a 2 közötti távolságot az alsó skálán 1-től 3-ig terjedő távolsághoz adva a szorzat az alsó skáláról olvasható le. Az elektronikus számológépek elterjedéséig (1970-es évek) használták még mérnökök és kutatók is, mert a pontosság árán fel lehetett gyorsítani a számításokat.[120]

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Hajnal Imre: Matematika III.
  2. Kate, S.K. & Bhapkar, H.R. (2009), Basics Of Mathematics, Pune: Technical Publications, ISBN 978-81-8431-755-8, <http://books.google.com/books?id=v4R0GSJtEQ4C&pg=PR1#v=onepage&q&f=false>, chapter 1
  3. Lásd például Hajnal Imre: Matematika III.
  4. Downing, Douglas (2003), Algebra the Easy Way, Barron's Educational Series, Hauppauge, N.Y.: Barron's, ISBN 978-0-7641-1972-9, chapter 17, p. 275
  5. Wegener, Ingo (2005), Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21045-0, p. 20
  6. Van der Lubbe, Jan C. A. (1997), Information Theory, Cambridge University Press, p. 3, ISBN 9780521467605, <http://books.google.com/books?id=tBuI_6MQTcwC&pg=PA3>.
  7. Van der Lubbe, Jan C. A. (1997), Information Theory, Cambridge University Press, p. 3, ISBN 9780521467605, <http://books.google.com/books?id=tBuI_6MQTcwC&pg=PA3>.
  8. Allen, Elizabeth & Triantaphillidou, Sophie (2011), The Manual of Photography, Taylor & Francis, p. 228, ISBN 9780240520377, <http://books.google.com/books?id=IfWivY3mIgAC&pg=PA228>.
  9. Hajnal Imre: Matematika III.
  10. Hajnal Imre: Matematika III.
  11. Hajnal Imre: Matematika III.
  12. Hajnal Imre: Matematika III.
  13. Obádovics J. Gyula: Matematika
  14. http://www.bethlen.hu/matek/mathist/forras/fuggveny_megadasa.htm
  15. http://www.bethlen.hu/matek/mathist/forras/fuggveny_et_ek.htm
  16. ^ a b Lang, Serge (1997), Undergraduate analysis (2nd ed.), Undergraduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94841-6, section III.3
  17. ^ a b Sablon:Harvard citations
  18. http://www.bethlen.hu/matek/mathist/forras/Logaritmus_fuggveny.htm
  19. Dieudonné, Jean. Foundations of Modern Analysis. Academic Press (1969)  item (4.3.1)
  20. http://www.bethlen.hu/matek/mathist/forras/Logaritmus_fuggveny.htm
  21. Stewart, James (2007), Single Variable Calculus: Early Transcendentals, Belmont: Thomson Brooks/Cole, ISBN 978-0-495-01169-9, section 1.6
  22. http://www.bethlen.hu/matek/mathist/forras/Logaritmus_fuggveny.htm
  23. Calculation of d/dx(Log(b,x))'. Wolfram Alpha. Wolfram Research. (Hozzáférés: 2011. március 15.)
  24. Bárczi Barnabás: Differenciálszámítás
  25. Kline, Morris (1998), Calculus: an intuitive and physical approach, Dover books on mathematics, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-40453-0, p. 386
  26. Calculation of Integrate(ln(x))'. Wolfram Alpha. Wolfram Research. (Hozzáférés: 2011. március 15.)
  27. Sablon:Harvard citations
  28. Courant, Richard (1988), Differential and integral calculus. Vol. I, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-60842-4, section III.6
  29. Havil, Julian (2003), Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09983-5, sections 11.5 and 13.8
  30. Nomizu, Katsumi (1996), Selected papers on number theory and algebraic geometry, vol. 172, Providence, RI: AMS Bookstore, p. 21, ISBN 978-0-8218-0445-2, <http://books.google.com/books?id=uDDxdu0lrWAC&pg=PA21>
  31. Baker, Alan (1975), Transcendental number theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-20461-3, p. 10
  32. Muller, Jean-Michel (2006), Elementary functions (2nd ed.), Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4372-0, sections 4.2.2 (p. 72) and 5.5.2 (p. 95)
  33. Hart, Cheney, Lawson et al. (1968), Computer Approximations, SIAM Series in Applied Mathematics, New York: John Wiley, section 6.3, p. 105–111
  34. Zhang, M.; Delgado-Frias, J.G. & Vassiliadis, S. (1994), "Table driven Newton scheme for high precision logarithm generation", IEE Proceedings Computers & Digital Techniques 141 (5): 281–292, ISSN 1350-2387, doi:10.1049/ip-cdt:19941268, <http://ieeexplore.ieee.org/xpl/articleDetails.jsp?arnumber=326783>, section 1 for an overview
  35. ^ a b Sablon:Harvard citations
  36. Halász Gábor: Komplex függvénytan
  37. Sasaki, T. & Kanada, Y. (1982), "Practically fast multiple-precision evaluation of log(x)", Journal of Information Processing 5 (4): 247–250, <http://ci.nii.ac.jp/naid/110002673332>. Retrieved on 30 March 2011
  38. Ahrendt, Timm (1999), Fast computations of the exponential function, vol. 1564, Lecture notes in computer science, Berlin, New York: Springer, pp. 302–312, DOI 10.1007/3-540-49116-3_28
  39. http://www.claysturner.com/dsp/BinaryLogarithm.pdf
  40. http://oktatas.ch.bme.hu/oktatas/konyvek/fizkem/mtszm/03b_elektro.doc
  41. Halász Gábor: Komplex függvénytan
  42. Ganguly, S. (2005), Elements of Complex Analysis, Kolkata: Academic Publishers, ISBN 978-81-87504-86-3, Definition 1.6.3
  43. Nevanlinna, Rolf Herman & Paatero, Veikko (2007), "Introduction to complex analysis", London: Hilger (Providence, RI: AMS Bookstore), ISBN 978-0-8218-4399-4, section 5.9
  44. Moore, Theral Orvis & Hadlock, Edwin H. (1991), Complex analysis, Singapore: World Scientific, ISBN 978-981-02-0246-0, section 1.2
  45. Wilde, Ivan Francis (2006), Lecture notes on complex analysis, London: Imperial College Press, ISBN 978-1-86094-642-4, <http://books.google.com/?id=vrWES2W6vG0C&pg=PA97&dq=complex+logarithm#v=onepage&q=complex%20logarithm&f=false>, theorem 6.1.
  46. Halász Gábor: komplex függvénytan
  47. http://www.maa.org/sites/default/files/269138324871.pdf
  48. http://www.reddit.com/r/askscience/comments/2e3jnv/logarithms_of_complex_numbers_logarithms_with/
  49. Higham, Nicholas (2008), Functions of Matrices. Theory and Computation, Philadelphia, PA: SIAM, ISBN 978-0-89871-646-7, chapter 11.
  50. Sablon:Neukirch ANT, section II.5.
  51. Hancock, Edwin R.; Martin, Ralph R. & Sabin, Malcolm A. (2009), Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, September 7–9, 2009 Proceedings, Springer, p. 379, ISBN 978-3-642-03595-1, <http://books.google.com/books?id=0cqCy9x7V_QC&pg=PA379>
  52. Diszkréció diszkrét logaritmussal
  53. Diszkréció diszkrét logaritmussal
  54. Stinson, Douglas Robert (2006), Cryptography: Theory and Practice (3rd ed.), London: CRC Press, ISBN 978-1-58488-508-5
  55. Lidl, Rudolf & Niederreiter, Harald (1997), Finite fields, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-39231-0
  56. Corless, R.; Gonnet, G. & Hare, D. et al. (1996), "On the Lambert W function", Advances in Computational Mathematics (Berlin, New York: Springer-Verlag) 5: 329–359, ISSN 1019-7168, doi:10.1007/BF02124750, <http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf>
  57. Cherkassky, Vladimir; Cherkassky, Vladimir S. & Mulier, Filip (2007), Learning from data: concepts, theory, and methods, Wiley series on adaptive and learning systems for signal processing, communications, and control, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-68182-3, p. 357
  58. Bourbaki, Nicolas (1998), General topology. Chapters 5—10, Elements of Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-64563-4, section V.4.1
  59. Ambartzumian, R. V. (1990), Factorization calculus and geometric probability, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-34535-4, section 1.4
  60. Esnault, Hélène & Viehweg, Eckart (1992), Lectures on vanishing theorems, vol. 20, DMV Seminar, Basel, Boston: Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-2822-1, section 2
  61. Sablon:Dlmf
  62. Sablon:Harvard citations
  63. Frey, Bruce (2006), Statistics hacks, Hacks Series, Sebastopol, CA: O'Reilly, ISBN 978-0-596-10164-0, <http://books.google.com/?id=HOPyiNb9UqwC&pg=PA275&dq=statistics+hacks+benfords+law#v=onepage&q&f=false>, chapter 6, section 64
  64. Ricciardi, Luigi M. (1990), Lectures in applied mathematics and informatics, Manchester: Manchester University Press, ISBN 978-0-7190-2671-3, <http://books.google.de/books?id=Cw4NAQAAIAAJ>, p. 21, section 1.3.2
  65. Roger R. Flynn. Computer sciences. Macmillan (2002. június 1.). ISBN 978-0-02-865567-3. Hozzáférés ideje: 2013. március 30. „The slide rule is an example of a mechanical analog computer...” 
  66. Wegener, Ingo (2005), Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21045-0, pages 1-2
  67. Harel, David & Feldman, Yishai A. (2004), Algorithmics: the spirit of computing, New York: Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-11784-7, p. 143
  68. Knuth, Donald (1998), The Art of Computer Programming, Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-89685-5, section 6.2.1, pp. 409–426
  69. Sablon:Harvard citations
  70. Wegener, Ingo (2005), Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms, Berlin, New York: Springer-Verlag, p. 20, ISBN 978-3-540-21045-0
  71. Mohr, Hans & Schopfer, Peter (1995), Plant physiology, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58016-4, chapter 19, p. 298
  72. Eco, Umberto (1989), The open work, Harvard University Press, ISBN 978-0-674-63976-8, section III.I
  73. Sprott, Julien Clinton (2010), Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows, New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-283-881-0, <http://books.google.com/books?id=buILBDre9S4C>, section 1.9
  74. Helmberg, Gilbert (2007), Getting acquainted with fractals, De Gruyter Textbook, Berlin, New York: Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-019092-2
  75. Breiman, Leo (1992), Probability, Classics in applied mathematics, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-296-4, section 12.9
  76. Aitchison, J. & Brown, J. A. C. (1969), The lognormal distribution, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-04011-2, OCLC 301100935
  77. Jean Mathieu and Julian Scott (2000), An introduction to turbulent flow, Cambridge University Press, p. 50, ISBN 978-0-521-77538-0, <http://books.google.com/books?id=nVA53NEAx64C&pg=PA50>
  78. Rose, Colin & Smith, Murray D. (2002), Mathematical statistics with Mathematica, Springer texts in statistics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95234-5, section 11.3
  79. Tabachnikov, Serge (2005), Geometry and Billiards, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 36–40, ISBN 978-0-8218-3919-5, section 2.1
  80. Durtschi, Cindy; Hillison, William & Pacini, Carl (2004), "The Effective Use of Benford's Law in Detecting Fraud in Accounting Data", Journal of Forensic Accounting V: 17–34, <http://faculty.usfsp.edu/gkearns/Articles_Fraud/Benford%20Analysis%20Article.pdf>
  81. Bateman, P. T. & Diamond, Harold G. (2004), Analytic number theory: an introductory course, New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-256-080-3, OCLC 492669517, theorem 4.1
  82. Sablon:Harvard citations
  83. Slomson, Alan B. (1991), An introduction to combinatorics, London: CRC Press, ISBN 978-0-412-35370-3, chapter 4
  84. Bakshi, U. A. (2009), Telecommunication Engineering, Pune: Technical Publications, ISBN 978-81-8431-725-1, <http://books.google.com/books?id=EV4AF0XJO9wC&pg=SA5-PA1#v=onepage&f=false>, section 5.2
  85. Maling, George C. (2007), "Noise", in Rossing, Thomas D., Springer handbook of acoustics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-30446-5, section 23.0.2
  86. Tashev, Ivan Jelev (2009), Sound Capture and Processing: Practical Approaches, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-470-31983-3, <http://books.google.com/books?id=plll9smnbOIC&pg=PA48#v=onepage&f=false>, p. 48
  87. Chui, C.K. (1997), Wavelets: a mathematical tool for signal processing, SIAM monographs on mathematical modeling and computation, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-384-8, <http://books.google.com/books?id=N06Gu433PawC&pg=PA180#v=onepage&f=false>, p. 180
  88. Goldstein, E. Bruce (2009), Encyclopedia of Perception, Encyclopedia of Perception, Thousand Oaks, CA: Sage, ISBN 978-1-4129-4081-8, <http://books.google.de/books?id=Y4TOEN4f5ZMC>, p. 355–356
  89. Matthews, Gerald (2000), Human performance: cognition, stress, and individual differences, Human Performance: Cognition, Stress, and Individual Differences, Hove: Psychology Press, ISBN 978-0-415-04406-6, <http://books.google.de/books?id=0XrpulSM1HUC>, p. 48
  90. Bradt, Hale (2004), Astronomy methods: a physical approach to astronomical observations, Cambridge Planetary Science, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53551-9, section 8.3, p. 231
  91. Banerjee, J. C. (1994), Encyclopaedic dictionary of psychological terms, New Delhi: M.D. Publications, ISBN 978-81-85880-28-0, OCLC 33860167, <http://books.google.com/?id=Pwl5U2q5hfcC&pg=PA306&dq=weber+fechner+law#v=onepage&q=weber%20fechner%20law&f=false>, p. 304
  92. Nadel, Lynn (2005), Encyclopedia of cognitive science, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-470-01619-0, lemmas Psychophysics and Perception: Overview
  93. Welford, A. T. (1968), Fundamentals of skill, London: Methuen, ISBN 978-0-416-03000-6, OCLC 219156, p. 61
  94. Paul M. Fitts (June 1954), "The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement", Journal of Experimental Psychology 47 (6): 381–391, DOI 10.1037/h0055392, reprinted in Paul M. Fitts (1992), "The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement", Journal of Experimental Psychology: General 121 (3): 262–269, doi:10.1037/0096-3445.121.3.262, <http://sing.stanford.edu/cs303-sp10/papers/1954-Fitts.pdf>. Retrieved on 30 March 2011
  95. Siegler, Robert S. & Opfer, John E. (2003), "The Development of Numerical Estimation. Evidence for Multiple Representations of Numerical Quantity", Psychological Science 14 (3): 237–43, doi:10.1111/1467-9280.02438, <http://www.psy.cmu.edu/~siegler/sieglerbooth-cd04.pdf>
  96. Dehaene, Stanislas; Izard, Véronique & Spelke, Elizabeth et al. (2008), "Log or Linear? Distinct Intuitions of the Number Scale in Western and Amazonian Indigene Cultures", Science 320 (5880): 1217–1220, DOI 10.1126/science.1156540
  97. Crauder, Bruce; Evans, Benny & Noell, Alan (2008), Functions and Change: A Modeling Approach to College Algebra (4th ed.), Boston: Cengage Learning, ISBN 978-0-547-15669-9, section 4.4.
  98. IUPAC (1997), A. D. McNaught, A. Wilkinson, ed., Compendium of Chemical Terminology ("Gold Book") (2nd ed.), Oxford: Blackwell Scientific Publications, ISBN 978-0-9678550-9-7, doi:10.1351/goldbook, <http://goldbook.iupac.org/P04524.html>
  99. Wright, David (2009), Mathematics and music, Providence, RI: AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-4873-9, chapter 5
  100. Bird, J. O. (2001), Newnes engineering mathematics pocket book (3rd ed.), Oxford: Newnes, ISBN 978-0-7506-4992-6, section 34
  101. McFarland, David (2007), Quarter Tables Revisited: Earlier Tables, Division of Labor in Table Construction, and Later Implementations in Analog Computers, p. 1, <http://escholarship.org/uc/item/5n31064n>
  102. Robson, Eleanor. Mathematics in Ancient Iraq: A Social History (2008). ISBN 978-0691091822 
  103. Gupta, R. C. (2000), "History of Mathematics in India", in Hoiberg, Dale & Ramchandani, Indu, Students' Britannica India: Select essays, Popular Prakashan, p. 329
  104. Stifelio, Michaele (1544), Arithmetica Integra, Nuremberg: Iohan Petreium, <http://books.google.com/books?id=fndPsRv08R0C&pg=RA1-PT419>
  105. Sablon:Springer
  106. Vivian Shaw Groza and Susanne M. Shelley (1972), Precalculus mathematics, New York: Holt, Rinehart and Winston, p. 182, ISBN 978-0-03-077670-0, <http://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logarithm&q=stifel>
  107. Napier, John (1614), Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, Edinburgh, Scotland: Andrew Hart, <http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN527914568&DMDID=DMDLOG_0001&LOGID=LOG_0001&PHYSID=PHYS_0001>
  108. Hobson, Ernest William (1914), John Napier and the invention of logarithms, 1614, Cambridge: The University Press, <http://www.archive.org/details/johnnapierinvent00hobsiala>
  109. Bürgi, Jost (1620), Arithmetische und Geometrische Progress Tabulen …, Prague, (Czech Republic): University [of Prague] Press, <http://daten.digitale-sammlungen.de/~db/0008/bsb00082065/images/index.html?id=00082065&fip=eayaxsewqxsfsdreayasdassdassdasen&no=5&seite=7> Gieswald, Hermann Robert (1856), Justus Byrg als Mathematiker, und dessen Einleitung zu seinen Logarithmen, Danzig, Prussia: St. Johannisschule, pp. 26 ff., <http://books.google.com/books?id=xPhSAAAAcAAJ&pg=PA26#v=onepage&q&f=false>
  110. Sablon:Harvard citations
  111. Gladstone-Millar, Lynne (2003), John Napier: Logarithm John, National Museums Of Scotland, ISBN 978-1-901663-70-9, p. 44
  112. Napier, Mark (1834), Memoirs of John Napier of Merchiston, Edinburgh: William Blackwood, <http://books.google.com/books?id=husGAAAAYAAJ&pg=PA1&source=gbs_toc_r&cad=4#v=onepage&q&f=false>, p. 392.
  113. William Harrison De Puy (1893), The Encyclopædia Britannica: a dictionary of arts, sciences, and general literature ; the R.S. Peale reprint,, vol. 17 (9th ed.), Werner Co., p. 179, <http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?seq=7&view=image&size=100&id=nyp.33433082033444&u=1&num=179>
  114. Maor, Eli (2009), e: The Story of a Number, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-14134-3, section 2
  115. Solutio problematis a R.P. Marino Mersenne Minimo propositi … [Solution to a problem proposed by the reverend father Marin Mersenne, member of the Minim order … ], (Antwerp, (Belgium): Johannes and Jakob Meursius, 1649). Sarasa's critical finding occurs on page 16
  116. 586. oldal
  117. Solutio problematis a R.P. Marino Mersenne Minimo propositi … [Solution to a problem proposed by the reverend father Marin Mersenne, member of the Minim order … ], (Antwerp, (Belgium): Johannes and Jakob Meursius, 1649). Sarasa's critical finding occurs on page 16
  118. J. J. O'Connor & E. F. Robertson (September 2001), The number e, The MacTutor History of Mathematics archive, <http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html>. Retrieved on 2009-02-02
  119. Cajori, Florian (1991), A History of Mathematics (5th ed.), Providence, RI: AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-2102-2, <http://books.google.com/?id=mGJRjIC9fZgC&printsec=frontcover#v=onepage&q=speidell&f=false>, p. 152
  120. ^ a b Sablon:Harvard citations
  121. Eves, Howard Whitley (1992), An introduction to the history of mathematics (6th ed.), The Saunders series, Philadelphia: Saunders, ISBN 978-0-03-029558-4, section 9-3
  122. Boyer, Carl B. (1991), A History of Mathematics, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-54397-8, p. 484, 489
  123. Bryant, Walter W., A History of Astronomy, London: Methuen & Co, <http://archive.org/stream/ahistoryastrono01bryagoog#page/n72/mode/2up>, p. 44
  124. Campbell-Kelly, Martin (2003), The history of mathematical tables: from Sumer to spreadsheets, Oxford scholarship online, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850841-0, section 2
  125. Abramowitz, Milton & Stegun, Irene A., eds. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (10th ed.), New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0, section 4.7., p. 89
  126. Spiegel, Murray R. & Moyer, R.E. (2006), Schaum's outline of college algebra, Schaum's outline series, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-145227-4, p. 264

Ez a szócikk részben vagy egészben a Logarithm című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.