Statisztikus fizika

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A statisztikus fizika a sok részecskéből álló rendszereket tanulmányozó ága a fizikának. Ebben az esetben a részecskék alatt molekulákat, atomokat és elemi részecskéket értünk.

A klasszikus mechanikával ellentétben itt nem a részecskék mozgásegyenlete a kérdés. A gázokban, folyadékokban makroszkopikusan már észlelhető (látható, mérhető, stb.) mennyiségű részecske van – tipikusan 1023 nagyságrend –, ami ugyanannyi másodrendű differenciálegyenlet megoldását jelenti. Ez, a mai számítástechnikai lehetőségeket figyelembe véve, még lehetetlen. Másrészt, a mozgásegyenletek egzakt megoldása kezdeti feltételeket is igényel, vagyis mindegyik részecskének ismeri kell a kezdeti helyzetét és sebességét. Ilyen fizikai kísérlet egyelőre még nem létezik. A kísérletek során mindig átlagos értékeket lehet mérni, így a statisztikus fizikától is az átlagos értékek változásának a leírását lehet csak követelni.

A nagy számú részecskék miatt a statisztikus fizika valószínűség-számítási alapokon nyugszik. A feladat: mekkora valószínűséggel található a rendszer egy adott időben egy adott állapotban, majd az állapot alapján a releváns fizikai mennyiségek kiszámítása. Az állapotokat a fázistérben egy-egy pont jelzi, és az eloszlásfüggvény megadja, hogy egy adott rendszer mekkora valószínűséggel található a fázistér egy pontjában.

Gibbs három alapvető eloszlásfüggvényt posztulált:

  • Mikrokanonikus
  • Kanonikus
  • Nagykanonikus

Alapfogalmak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Makro- és mikroállapotok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Amennyiben egy rendszer állapotát pontosan ismerjük (vagyis ismerjük az összes részecskéhez tartozó helykoordinátát és minden egyes részecske impulzusát), azt mondjuk, hogy ismerjük a rendszer mikroállapotát. A mikroállapot természetesen függ attól is, hogy klasszikus mechanikai, vagy kvantummechanikai tárgyalást taglalunk. Míg első esetben egy mikroállapot a 6N dimenziós fázistér egyetlen pontja (ahol N a molekulák száma), utóbbi esetben a mikroállapot a rendszer egy konkrét kvantumállapota. Azt gondolhatnánk, hogy a két tárgyalásmód merőbben más eredményre vezet, ez azonban nem így van, a kvantummechanika némileg pontosítja a klasszikus tárgyalást. Ezt azzal értelmezhetjük, hogy a kvantummechanikában a mikroállapotot jellemző fázispont elmosódik, ú.n. fáziscellákról beszélünk.

Vegyünk egy egyensúlyi izolált állapotú gáz. Ha egy adott pillanatban ismernénk a molekulák helyzetét és sebességét, a megfigyelés eredménye egy fázispont lenne. Ha a megfigyelést többször megismételnénk, nyilvánvalóan más és más mikroállapotokat kapnánk. Ennek az az oka, hogy a rendszert jellemző adatok – melyek általában az U belső energia, a V térfogat és az N részecskeszám –, rengeteg különböző mikroállapottal férnek össze.

Az is nyilvánvaló, hogy az egyensúlyi állapotok meghatározzák azon mikroállapotokat, melyek hozzájuk tartoznak, illetve azt a valószínűséget, amellyel az egyes mikroállapotokat megtalálhatjuk. Ugyanezt feltételezhetjük a részleges egyensúlyi állapotokról is. Ebből a nézőpontból az egyensúlyi, valamint a részleges egyensúlyi állapotokat makroállapotoknak tekintjük. A makroállapotokat tehát azzal az alaptulajdonságukkal jellemezhetjük, hogy a rendszer részletes megfigyelésekor a különféle mikroállapotokat meghatározott valószínűséggel kapjuk eredményül.

Információ-mennyiség[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tételezzük fel, hogy van egy rendszerünk, melyről rendelkezünk valamekkora információval. Ha ezt a rendszert magára hagyjuk, nyilvánvaló, hogy a rendszerről tudott információ mennyísége csak csökkenhet; másképpen megfogalmazva: egy magárahagyott rendszer információ-hiánya nem csökkenhet. Az információ-hiány mérőszáma az információ-mennyíség, mely azt fejezi ki, hogy mekkora információ birtokába jutunk akkor, ha az adott rendszerről megismerünk valamit.

A következőkben jelölje I magát az információ-mennyíséget, valamint jelöljük egy teljes eseményrendszer egymást kizáró eseményeit p_i-vel (i=1..n). A kérdés tehát az, hogy mekkora információhoz jutunk, ha megtudjuk, hogy az adott eseményrendszerben melyik p_i esemény következett be. Ahhoz, hogy ezt a kérdést számszerüleg meg tudjuk válaszolni, néhány dolgot posztulálnunk kell:

  • Abban az esetben, ha egyetlenegy p_i kivételével az összes többi zérus, I=0.
  • Adott n-nél I akkor a maximális, ha az összes lehetőség bekövetkezősi valószínűsége azonos, azaz p_i=1/n. A maximális érték legyen n-nek szigorúan monoton növő függvénye!
  • Független eseményrendszerekre nézve I legyen additív! Legyen az egyik eseményrendszer n elemű és a bekövetkezési valószínűségeket jelöljük p_i-vel, a másik eseményrendszernél rendre ugyanezek legyenek m és q_j. Ekkor annak a valószínűsége, hogy az első rendszerben az i-edik, a másodikban a j-edik lehetőség valósul meg, p_i\cdot q_i. Az additivitás feltétele tehát:

I(p_1q_1,...,p_nq_m)=I(p_1,...,p_n)+I(q_1,...,q_m)

  • Az információmennyíség abban az esetben, ha két elemi esemény van és ezek egyenlő valószínűséggel következnek be, legyen egységnyi, azaz

I(1/2,1/2)=1 bit

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hraskó Péter: Termodinamika és statisztikus fizika