Harmonikus oszcillátor

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A lineáris harmonikus oszcillátor potenciális energiája és sajátfüggvényei

A harmonikus rezgőmozgást végző tömegpontot nevezzük harmonikus oszcillátornak.

Egydimenziós (lineáris) harmonikus oszcillátor[szerkesztés]

A lineáris harmonikus oszcillátor sajátfüggvényei

Az m tömegű egydimenziós harmonikus oszcillátorra rugalmas erő hat, ahol k pozitív állandó. Mivel , a potenciális energia: . Ha a potenciális energiát () a hely (x) függvényében ábrázoljuk, parabolát kapunk.

Schrödinger-egyenlet és megoldása[szerkesztés]

A harmonikus oszcillátor Schrödinger-egyenlete:

A Schrödinger-egyenlettel meghatározhatóak a lehetséges energia-sajátértékek (), és a hozzájuk tartozó sajátfüggvények (). Az egyenletet a Sommerfeld-féle polinom módszerrel lehet megoldani.

Az energia lehetséges értékei a sajátértékek: , ahol körfrekvencia, és n=0,1,2,... nemnegatív egész szám. Ezzel a sajátértékek teljes rendszerét megkaptuk. Az oszcillátor energia-sajátértékei tehát nem vesznek fel tetszőleges értékeket, hanem kvantum egész számú többszörösei.

Az -hoz tartozó sajátértéket az oszcillátor zéruspont-energiájának nevezzük.

A szomszédos energiaszintek közti különbség:

AZ sajátértékhez tartozó sajátfüggvény: , ahol , és az n-dik Hermite-polinom.

Az arányossági tényező egy normáló tag, mivel -nek teljesülnie kell.

Alkalmazás[szerkesztés]

  • Kétatomos molekulák vibrációs színképének értelmezése
    A kétatomos molekulákban az atomokat közelítőleg rugalmas erők tartják egymás közelében. A molekula ezek hatására rezgéseket végez, amelyek lehetséges energiaértékeit a fenti energiasajátértékek adják meg.
  • Szilárd testek Einstein-modellje
    A modellben a szilárd testet úgy képzeljük el, hogy az atomjai a kristályrács rácspontjaiban helyezkednek el, és egyensúlyi helyzetük körül kis amplitúdóval rezegnek. A test minden atomja azonos amplitúdóval rezeg, és a köztük lévő kölcsönhatástól eltekintünk. Ekkor az atomokat elemi oszcillátorokként vizsgálhatjuk, így jó közelítéssel meghatározhatjuk a szilárd anyag moláris hőkapacitásának értékét.

Háromdimenziós harmonikus oszcillátor[szerkesztés]

Az energia lehetséges értékei:

Lásd még[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

  • Marx György: Kvantummechanika (Műszaki Kiadó, Budapest)
  • Nagy Károly: Kvantummechanika (Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest ISBN 9631911276)