Harmonikus rezgőmozgás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Harmonikus rezgőmozgás

A két szélsőérték között, szinuszos periodicitással végzett mozgást harmonikus rezgőmozgásnak nevezzük. Szemléletesen, ha egy rugóhoz rögzített testet kitérítünk nyugalmi helyzetéből és magára hagyjuk, a test két a szélső helyzet között periodikusan ismétlődő mozgást végez majd. (Itt a testet pontszerűnek tekintjük, és csak kis mértékben térítjük ki nyugalmi helyzetéből, így nem okozunk maradandó alakváltozást a rugóban. A mozgás leírása során a külső erők hatását (pl. közegellenállás) elhanyagoljuk.)

Vannak nem-harmonikus rezgőmozgások is, ezek közül legfontosabbak a csillapított rezgések.

A mozgás jellemzése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Harmonikus rezgőmozgás
  • A test nyugalmi helyzettől való legnagyobb kitérését amplitúdónak nevezzük. Jele: A, mértékegysége: m (méter).
  • A periódusidő vagy rezgésidő az egy teljes rezgés megtételéhez szükséges idő. Jele: T, mértékegysége: s (másodperc).
  • A rezgésszám a t idő alatt megtett rezgések száma, jele: N, mértékegység nélküli mennyiség.
  • A rezgés frekvencia az időegység alatt megtett rezgések száma. Jele: f vagy \nu, mértékegysége: \frac{1}{s}=Hz (hertz). f=\frac{1}{T}=\frac{N}{t}
  • A körfrekvencia jele: \omega, mértékegysége: rad/s (nem összetévesztendő a rezgés frekvenciával, melynek mértékegysége 1/s = Hz). \omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f
  • A kezdőfázis jele: \phi_0, mértékegység nélküli mennyiség.

Kinematikai leírás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kitérés-idő grafikon
Kitérés, sebesség, gyorsulás

Kitérés-idő függvény: x(t)=A\cdot\sin(\omega t+\varphi_0)
Sebesség-idő függvény: v(t)=A\omega\cdot\cos(\omega t+\varphi_0)
Gyorsulás-idő függvény: a(t)=-A\omega^2\cdot\sin(\omega t+\varphi_0)=-\omega^2x

A harmonikus rezgőmozgást végző test gyorsulása egyenesen arányos a kitéréssel, és azzal ellentétes irányú. A sebesség és a gyorsulás is periodikus függvénye az időnek.

A sebesség maximuma a sebességamplitúdó: v_{max}=A\omega
A gyorsulás maximuma a gyorsulásamplitúdó: a_{max}=-A\omega^2

Az egyenletes körmozgás és a harmonikus rezgőmozgás kapcsolata[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Figyeljünk meg egy egyenletes körmozgást és egy harmonikus rezgőmozgást végző tömegpontot! A körmozgást állítsuk be úgy, hogy a sugara egyezzen a rezgés amplitúdójával, és periódusidejük megegyezzen. Ha oldalról (a körmozgás síkjából) egymás mellé vetítjük a két tömegpont árnyékát, azonos kezdőfázis esetén a két árnyék együtt mozog, mindkettő harmonikus rezgőmozgást végez.

Harmonikus rezgőmozgás referenciaköre
Egyenletes körmozgás és harmonikus rezgőmozgás

Dinamikai leírás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A harmonikus rezgőmozgást a pont egyensúlyi helyzetétől mért kitérésével egyenesen arányos, és azzal ellentétes irányú erő, az úgynevezett harmonikus erő hozza létre: F=-Dx, ahol D rugóállandó vagy direkciós állandó.

A dinamika alapegyenlete: m\ddot{x}=-Dx.

A differenciálegyenlet megoldásaként olyan függvényt keresünk, melynek idő szerinti második deriváltja arányos magával a függvénnyel. Ilyen pl. a szinusz és a koszinusz függvény.

Az egyenlet megoldása: x(t)= A\cdot\sin(\omega t+\varphi), ahol a körfrekvencia \omega=\sqrt{\frac{D}{m}}, a periódusidő T=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}.

Rezgések összetétele[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egyirányú, azonos frekvenciájú rezgések összetétele[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A két rezgés frekvenciája megegyezik, amplitúdójuk és kezdőfázisuk eltérhet. A két rezgés kitérés-idő függvénye:

x_1(t)=A_1\cdot\sin(\omega t+\varphi_1)
x_2(t)=A_2\cdot\sin(\omega t+\varphi_2)

Az eredő mozgás kitérés-idő függvénye: x(t)=A_1\cdot\sin(\omega t+\varphi_1)+A_2\cdot\sin(\omega t+\varphi_2)=A\cdot\sin(\omega t+\delta),

ahol az amplitúdó A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)} és a kezdőfázis \tan\delta=\frac{A_1\sin\varphi_1+A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1+A_2\cos\varphi_2}.

Speciális esetek

  • Maximális erősítés
    Amikor \varphi_1=\varphi_2, vagyis a rezgések azonos fázisúak, akkor A=A_1+A_2, azaz az eredő rezgés amplitúdója az összetevő rezgések amplitúdójának összege.
  • Maximális gyengítés
    Amikor |\varphi_2-\varphi_1|=\pi, vagyis a rezgések ellentétes fázisúak, akkor A=|A_1-A_2|, azaz az eredő rezgés amplitúdója az összetevő rezgések amplitúdójának különbsége. Ha az ellentétes fázisú rezgések amplitúdója megegyezik, A=0, a két rezgés kioltja egymást.

Egyirányú, különböző frekvenciájú rezgések összetétele[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A két rezgés frekvenciája különbözik, amplitúdójuk és kezdőfázisuk eltérhet. Egy egyszerűsített esetet vizsgálunk, amikor az amplitúdók és a kezdőfázsok megegyeznek. A két rezgés kitérés-idő függvénye:

x_1(t)=A\cdot\sin(\omega_1 t)
x_2(t)=A\cdot\sin(\omega_2 t)

Az eredő mozgás kitérés-idő függvénye: x(t)=A\cdot\sin(\omega_1 t)+A\cdot\sin(\omega_2 t)=2A\cdot\cos(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t)\sin(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t).

Az amplitúdó A^*=2A\cdot\cos(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t).

Az amplitúdó az idő függvényében periodikusan változik, ezt lebegésnek nevezzük.

Eredő pályák A=B esetén

Merőleges, azonos frekvenciájú rezgések összetétele[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A két rezgés frekvenciája megegyezik, amplitúdójuk és kezdőfázisuk eltérhet. A két rezgés kitérés-idő függvénye:

x(t)=A\cdot\sin(\omega t)
y(t)=B\cdot\sin(\omega t+ \delta)

Az eredő mozgás pályája: \frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}-2\frac{xy}{AB}\cos\delta=\sin^2\delta. Ez egy ellipszis egyenlete.

Az ellipszis tengelyének iránya \delta fáziskülönbségtől függ.

Merőleges, különböző frekvenciájú rezgések összetétele[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A két rezgés frekvenciája különbözik, amplitúdójuk és kezdőfázisuk eltérhet. A körfrekvenciák aránya (\omega_1:\omega_2) alapján két esetet különböztetünk meg:

1:2
1:3
1:6
2:3
3:4
3:20
17:23
97:101
  • Irracionális arányú körfrekvenciák esetén a pályagörbe nem záródik.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Budó Ágoston: Kísérleti fizika I.
    Tankönyvkiadó, Budapest
  • Tasnádi Péter - Skrapits Lajos - Bérces György: Mechanika I.
    Dialóg Campus Kiadó, Budapest-Pécs ISBN 963-9310-23-9

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]