Harmonikus rezgőmozgás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Harmonikus rezgőmozgás

Harmonikus rezgőmozgásnak nevezzük a két szélsőérték között, szinuszos periodicitással végzett mozgást. Szemléletesen, ha egy rugóhoz rögzített testet kitérítünk nyugalmi helyzetéből és magára hagyjuk, a test két a szélső helyzet között periodikusan ismétlődő mozgást végez majd. (Itt a testet pontszerűnek tekintjük, és csak kis mértékben térítjük ki nyugalmi helyzetéből, így nem okozunk maradandó alakváltozást a rugóban. A mozgás leírása során a külső erők hatását (pl. közegellenállás) elhanyagoljuk.)

Vannak nemharmonikus rezgőmozgások is, ezek közül legfontosabbak a csillapított rezgések.

A mozgás jellemzése[szerkesztés]

Harmonikus rezgőmozgás
  • A test nyugalmi helyzettől való legnagyobb kitérését amplitúdónak nevezzük. Jele: A, mértékegysége: m (méter).
  • A periódusidő vagy rezgésidő az egy teljes rezgés megtételéhez szükséges idő. Jele: T, mértékegysége: s (másodperc).
  • A rezgésszám a t idő alatt megtett rezgések száma, jele: N, mértékegység nélküli mennyiség.
  • A rezgés frekvenciája az időegység alatt megtett rezgések száma. Jele: f vagy , mértékegysége: (hertz).
  • A körfrekvencia jele: , mértékegysége: rad/s (nem összetévesztendő a rezgés frekvenciával, melynek mértékegysége 1/s = Hz).
  • A kezdőfázis jele: , mértékegység nélküli mennyiség.

Kinematikai leírás[szerkesztés]

Kitérés-idő grafikon
Kitérés, sebesség, gyorsulás

Kitérés-idő függvény:
Sebesség-idő függvény:
Gyorsulás-idő függvény:

A harmonikus rezgőmozgást végző test gyorsulása egyenesen arányos a kitéréssel, és azzal ellentétes irányú. A sebesség és a gyorsulás is periodikus függvénye az időnek.

A sebesség maximuma a sebességamplitúdó:
A gyorsulás maximuma a gyorsulásamplitúdó:

Az egyenletes körmozgás és a harmonikus rezgőmozgás kapcsolata[szerkesztés]

Figyeljünk meg egy egyenletes körmozgást és egy harmonikus rezgőmozgást végző tömegpontot! A körmozgást állítsuk be úgy, hogy a sugara egyezzen a rezgés amplitúdójával, és periódusidejük megegyezzen. Ha oldalról (a körmozgás síkjából) egymás mellé vetítjük a két tömegpont árnyékát, azonos kezdőfázis esetén a két árnyék együtt mozog, mindkettő harmonikus rezgőmozgást végez.

Harmonikus rezgőmozgás referenciaköre
Egyenletes körmozgás és harmonikus rezgőmozgás

Dinamikai leírás[szerkesztés]

A harmonikus rezgőmozgást a pont egyensúlyi helyzetétől mért kitérésével egyenesen arányos, és azzal ellentétes irányú erő, az úgynevezett harmonikus erő hozza létre: , ahol D rugóállandó vagy direkciós állandó.

A dinamika alapegyenlete: .

A differenciálegyenlet megoldásaként olyan függvényt keresünk, melynek idő szerinti második deriváltja arányos magával a függvénnyel. Ilyen pl. a szinusz és a koszinusz függvény.

Az egyenlet megoldása: , ahol a körfrekvencia , a periódusidő .

Rezgések összetétele[szerkesztés]

Egyirányú, azonos frekvenciájú rezgések összetétele[szerkesztés]

A két rezgés frekvenciája megegyezik, amplitúdójuk és kezdőfázisuk eltérhet. A két rezgés kitérés-idő függvénye:


Az eredő mozgás kitérés-idő függvénye: ,

ahol az amplitúdó és a kezdőfázis .

Speciális esetek

  • Maximális erősítés
    Amikor , vagyis a rezgések azonos fázisúak, akkor , azaz az eredő rezgés amplitúdója az összetevő rezgések amplitúdójának összege.
  • Maximális gyengítés
    Amikor , vagyis a rezgések ellentétes fázisúak, akkor , azaz az eredő rezgés amplitúdója az összetevő rezgések amplitúdójának különbsége. Ha az ellentétes fázisú rezgések amplitúdója megegyezik, A=0, a két rezgés kioltja egymást.

Egyirányú, különböző frekvenciájú rezgések összetétele[szerkesztés]

A két rezgés frekvenciája különbözik, amplitúdójuk és kezdőfázisuk eltérhet. Egy egyszerűsített esetet vizsgálunk, amikor az amplitúdók és a kezdőfázisok megegyeznek. A két rezgés kitérés-idő függvénye:


Az eredő mozgás kitérés-idő függvénye: .

Az amplitúdó .

Az amplitúdó az idő függvényében periodikusan változik, ezt lebegésnek nevezzük.

Eredő pályák A=B esetén

Merőleges, azonos frekvenciájú rezgések összetétele[szerkesztés]

A két rezgés frekvenciája megegyezik, amplitúdójuk és kezdőfázisuk eltérhet. A két rezgés kitérés-idő függvénye:


Az eredő mozgás pályája: . Ez egy ellipszis egyenlete.

Az ellipszis tengelyének iránya fáziskülönbségtől függ.

Merőleges, különböző frekvenciájú rezgések összetétele[szerkesztés]

A két rezgés frekvenciája különbözik, amplitúdójuk és kezdőfázisuk eltérhet. A körfrekvenciák aránya () alapján két esetet különböztetünk meg:

1:2
1:3
1:6
2:3
3:4
3:20
17:23
97:101
  • Irracionális arányú körfrekvenciák esetén a pályagörbe nem záródik.

Források[szerkesztés]

  • Budó Ágoston: Kísérleti fizika I.
    Tankönyvkiadó, Budapest
  • Tasnádi Péter - Skrapits Lajos - Bérces György: Mechanika I.
    Dialóg Campus Kiadó, Budapest-Pécs ISBN 963-9310-23-9

További információk[szerkesztés]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]