Matematikai inga

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Inga
Matematikai inga

A matematikai inga egy elhanyagolható tömegű hosszúságú fonalra függesztett, tömegű pontszerű testből áll, amelyre szabad erőként csak a nehézségi erő hat. Az egyensúlyi helyzetéből kitérített inga csillapítatlan periodikus mozgást végez. Ennek az idealizált modellnek a gyakorlati megvalósítása egy vékony fonálra felfüggesztett fémgolyó (egy fonálinga), ami az egyensúlyi helyzetéből kitérítve, függőleges síkban egy körív mentén a két szélső helyzet között közelítőleg csillapítatlanul leng.[1]

A matematikai inga lengése. A kék vektor jelzi a pillanatnyi sebességet, a piros vektor a pillanatnyi gyorsulást, pedig a kitérés szögét.

A mozgás egyenletei[szerkesztés]

A matematikai inga mozgását a dinamika alapegyenletéből lehet meghatározni. A nehézségi erőn kívül hat még a fonálban ébredő erő (F), ami mindig a fonál irányában hat, azaz a mozgás során mindig sugárirányú. Ez a fonálerő és a nehézségi erőnek a sugárirányú komponense hozza létre a körpályán való mozgáshoz a centripetális erőt. Erre a következőt írhatjuk fel:

,

ahol: a fonálban ébredő erő, a test tömege, a nehézségi gyorsulás, a fonál függőlegessel bezárt szöge, a fonál hossza, a lengést végző tömegpont pillanatnyi sebessége.

A fonálban ébredő kényszererő nagysága a mozgás során tehát változik. Legnagyobb az értéke a pálya legalsó pontján, amikor a fonál függőleges, és a sebesség a legnagyobb. A szélső helyzetben a legkisebb.

A nehézségi erő érintő irányú komponense a körpálya menti gyorsulást hozza létre, és így meghatározza az inga helyzetét, a fonál függőlegessel bezárt szögét az idő függvényében. Erre a következőt írhatjuk fel:

,

ahol az érintő (tangenciális) irányú gyorsulás.

A tangenciális gyorsulás és a szöggyorsulás () kapcsolata:

.

A szöggyorsulás a szögkitérés második deriváltja:

.

Így a szögkitérésre a következő másodrendű differenciálegyenletet kapjuk:

.

A tömeggel egyszerűsítve, és átrendezés után:

.


Kis kitérések esetén a szinusz függvényt közelíteni lehet magával a szöggel:

.

Ezt a közelítést alkalmazva kapjuk:

.

Bevezetve a következő jelölést:

,

az egyenlet a következő alakra hozható: .

Ez az egyenlet a harmonikus rezgőmozgást végző test mozgásegyenlete. A matematikai inga mozgása tehát kis kitéréseknél körfrekvenciájú harmonikus rezgőmozgásnak tekinthető. A lengés periódusideje:

.

Az inga helyzetét leíró időfüggvény, a szögkitérés az időfüggvényében a következő alakú:

,

ahol a legszélső helyzethez tartozó szög, és a kezdeti nulla időponthoz tartozó helyzetet jellemző szögkitérés.

Az inga mozgásának közelítő megoldásából látszik, hogy kis kitérési szögek esetén a lengések frekvenciája nem függ az inga tömegétől és a lengések amplitúdójától, csak az inga hosszától és a nehézségi gyorsulástól. A közelítés megfelelő, ha a kilengések 8 foknál kisebbek.

Forrás[szerkesztés]

  1. Demény A., Erostyák J., Szabó G., Trócsányi Z.: Fizika I. Klasszikus mechanika, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2005, ISBN 963195577

Külső hivatkozások[szerkesztés]