Matematikai inga

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Inga
Matematikai inga

Az inga egy tömegközéppontján kívüli pontban felfüggesztett test, mely a gravitáció hatására egy függőleges síkban lengéseket végez. A matematikai inga olyan idealizált inga, mely súlytalan fonálból és rá erősített tömegpontból áll. A valóságos (fizikai) ingákat a matematikai inga csak jó közelítéssel modellezi.

A matematikai inga mozgásegyenlete a tömegpontra ható erők összege:

Ahol:

A fenti egyenlet nemlineáris csillapított lengés, vagyis nem harmonikus lengés differenciálegyenlete. Ezt az egyenletet analitikusan nem lehet megoldani akkor sem, ha A=0.

Kis kitérések esetén a szinusz függvényt közelíteni lehet magával a szöggel:

A fenti közelítést alkalmazva, elhanyagolva a csillapítást és a gerjesztést az egyenlet így írható:

Ez az egyenlet egy szabadságfokú csillapítatlan, szabad lengéseket végző lengőrendszer egyenlete, amelynek a megoldása:

ahol a kezdeti kitérés, a kezdeti szögsebesség, pedig a körfrekvencia:

A lengés periódusa pedig:

Az inga mozgásának közelítő megoldásából látszik, hogy kis kitérési szögek esetén a lengések frekvenciája nem függ az inga tömegétől és a lengések amplitúdójától, hanem csak az inga hosszától és a nehézségi gyorsulástól. A közelítés megfelelő, ha a kilengések 8 foknál kisebbek.

Ha a kitérés nagyobb, de nincs sem gerjesztés, sem csillapítás, akkor a lengésidő az alábbi képlettel fejezhető ki:

ahol Legendre elsőfajú elliptikus integrálja:

.

Külső hivatkozások[szerkesztés]