Lissajous-görbe

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
Papírra homokkal kirajzolt Lissajous-görbe

A Lissajous-görbéket egymásra merőleges rezgések által kijelölt síkgörbék. A görbéket Jules Antoine Lissajous írta le 1857-ben.

A Lissajous-görbék meglehetősen ismertek, mivel igen látványos és egyszerűen előállítható alakzatok, így akár díszítőelem funkciót is betölthetnek.

Leírás[szerkesztés]

Lissajous-görbék a fáziseltérés és a frekvencia-arányok szerint

A görbéket két, egymásra merőleges rezgés eredőjeként kapjuk.[1] Elképzelhető ugyan más szöget bezáró mozgás is, azonban ezek is mindig felbonthatóak merőleges és párhuzamos komponensekre.

A görbék paraméteres alakja:

A Lissajous-görbék egy téglalapot töltenek ki, aminek oldalhosszai a rezgések amplitúdója. A téglalapok oldalait érinti, az érintési pontok számának aránya a frekvenciák arányával egyenlő. Ennek következménye, hogy ha a két frekvencia aránya irracionális, a görbe a téglalapot kitölti. Másképpen fogalmazva a görbe periodikus függvény, ha a frekvenciák aránya racionális, és nem periodikus, ha irracionális szám.[2]

Maga a görbe elképzelhető úgy is, hogy egy hengerfelületre írunk szinuszhullámot, és ezt a koordinátarendszerbe vetítjük. A fázisszög a henger adott szögű elforgatásával egyenértékű, a henger magassága és átmérője az amplitúdókkal egyenlő, a hullám frekvenciája pedig a rezgések frekvenciájának arányával egyezik meg.

A legegyszerűbb eset[szerkesztés]

Ha a két frekvencia egyenlő, akkor a görbe vizsgálata egyszerű módszerekkel elvégezhető.

  1. Ha , akkor , azaz a görbe egyenes, méghozzá az és oldalú téglalap átlója.
  2. Ha , akkor a szögfüggvények közötti összefüggéseket figyelembe véve kapjuk, hogy
.

Innen a Pitagorasz-tételt alkalmazva a görbe egyenlete az

alakot ölti. Ez pontosan az ellipszis egyenlete.

Némileg bonyolultabb belátni, hogy ha , akkor a görbe egy olyan ellipszis, amelynek a nagytengelye az oldalú téglalp átmérőjén fekszik. Ehhez a másodrendű görbék ismerete szükséges.

Az összetettebb esetekben már mélyebb matematikai ismeretekre van szükség, ezeket itt nem részletezzük.

Alkalmazások[szerkesztés]

Az Australian Broadcasting Corporation logója is egy Lissajous-görbe

A Lissajous-görbéket a harmonográf használata során alkalmazzuk. Ekkor harmonikus rezgőmozgásokat az általuk létrehozott rajzok segítségével elemzünk. Ha egy ismeretlen rezgést egy rá merőleges másik rezgéssel összekapcsolunk, a kirajzolt ábra alapján a paramétereit meg tudjuk határozni.

Egyes esetekben logóként is alkalmazzák a Lissajous-görbéket, mivel látványos, ugyanakkor egyszerű alakzatok. Ilyen például az Australian Broadcasting Corporation emblémája.

Források[szerkesztés]

  1. Holics László, Csákány Antal, Flórik György, Gnädig Péter, Juhász András, Sükösd Csaba, Tasnádi Péter. Fizika (2009). ISBN 978 963 05 8487 6 
  2. Dr. Erostyák János, Dr. Demény András, Dr. Szabó Gábor, Dr. Trócsányi Zoltán.szerk.: Dr. Erostyák János, Dr. Litz József: Fizika, 1. Budapest-Debrecen-Pécs-Szeged: Nemzeti tankönyvkiadó (2005). ISBN 963 19 5719 5