Hullámfüggvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Ez a szócikk a hullámfüggvény kvantummechanikai koncepcióját tárgyalja. Ennek a kifejezésnek a klasszikus mechanikában és a klasszikus elektrodinamikában jelentősen eltérő értelme van.

Definíció[szerkesztés]

A modern szóhasználatban a hullámfüggvény jelenthet bármilyen vektort vagy függvényt, amely egy fizikai rendszer állapotát írja le, általában a rendszer más állapotai – alapvektorai, bázisfüggvényei – szerint kifejtve. Tipikusan egy hullámfüggvény lehet:

,
  • komplex vektor végtelen sok komponenssel
,
  • egy vagy több valós változó komplex függvénye („folytonos indexű” komplex vektor) (például Schrödinger-kép)
.

Mindegyik esetben a hullámfüggvény a rendszer teljes leírását adja. Fontos azonban megjegyezni, hogy a rendszerhez rendelt hullámfüggvényt nem határozza meg egyértelműen az illető rendszer, mivel sok különböző hullámfüggvény is leírhatja ugyanazt a rendszert.

Interpretáció (függvény)[szerkesztés]

A hullámfüggvény fizikai interpretációja függ attól, hogy milyen összefüggésben használjuk. Számos példa található alább, mindegyiket megvizsgálva a fent megadott három esetre.

Egy részecske egy térdimenzióban[szerkesztés]

Egy részecskéhez egy dimenzióban rendelt hullámfüggvény egy olyan komplex függvény, amelyet a valós számegyenesen értelmezünk. A hullámfüggvény abszolutérték-négyzetét a részecske helyzetének (megtalálási) valószínűségsűrűségének tekintjük, ezért annak a valószínűsége, hogy a részecske helyének megmérése az intervallumba eső eredményt ad:

.

Ez a következő normálási feltételhez vezet:

.

Mivel a részecske helyzetének mérése mindenképpen eredményre kell, hogy vezessen, azt valahol meg kell találnunk.

Egy részecske három térdimenzióban[szerkesztés]

A három dimenziós eset analóg az egy dimenzióssal. A hullámfüggvény egy komplex függvény, amely a háromdimenziós Euklideszi téren van értelmezve, és az abszolutérték négyzetét háromdimenziós valószínűségsűrűség függvénynek tekintjük. Annak valószínűsége, hogy a részecskét a helyzetmérés során az térfogatban találjuk:

.

A normálási feltétel hasonló:

,

ahol az integrálás az egész térre kiterjed.

Két megkülönböztethető részecske három térdimenzióban[szerkesztés]

Ebben az esetben a hullámfüggvény hat (valós) térváltozó komplex függvénye:

,

és a két részecske pozíciójának együttes valószínűségsűrűségi függvénye. Annak a valószínűsége, hogy a két részecske helyzetének együttes mérése az első részecskét az R, a másodikat pedig az S tartományban találja:

,

ahol , is hasonló. A normálási feltétel ezért:

,

ahol az integrálás kiterjed mind a hat változó teljes értelmezési tartományára.

Alapvető fontosságú, hogy észrevegyük a következőt: Két részecskéből álló rendszer esetén csak a mindkét részecskét tartalmazó rendszernek kell jól definiált hullámfüggvénnyel rendelkeznie. Azaz, nem lehet olyan valószínűségsűrűség függvényt felírni, amely nem függ explicit módon a második részecske helyzetétől. Ez vezet a kvantumcsatolás jelenségéhez.

Egy részecske egydimenziós impulzustérben[szerkesztés]

Egy részecske hullámfüggvénye egy dimenzióban, impulzustérben (impulzusreprezentációban) egy, a valós számegyenes értelmezett komplex függvény. A mennyiség impulzustérben van értelmezve, ezért annak valószínűsége, hogy a részecske impulzusának mérése a intervallumba eső eredményre vezet:

.

Ez a következő normálási feltételhez vezet:

,

mivel a részecske impulzusa valamilyen értéket biztosan fel fog venni.

1/2-es spin[szerkesztés]

Egy 1/2-es spinű részecske hullámfüggvénye (eltekintve a térbeli szabadsági fokaitól) egy – algebrai – oszlopvektor (ld. spinorok):

.

A vektorkomponensek jelentése függ a választott bázistól, de tipikusan és a „felfelé” ill. „lefelé” mutató spinű állapotok a térbeli koordináta irányára vonatkozóan. A Dirac-féle braket-jelölésben:

A ill. értékeket ezután úgy értelmezhetjük, mint annak a valószínűségét, hogy a részecske spinjének mérése a részecskét „fel” ill. „le” állapotban találja a z-irányhoz képest. A normálási feltétel itt:

.

Interpretáció (vektor)[szerkesztés]

A hullámfüggvény itt a rendszer egy állapotát a rendszer más állapotai szerint kifejtve írja le. A rendszer aktuális állapotát jelöljük -vel, azok az állapotok pedig, ami szerint ez ki van fejtve legyenek . Az utóbbiakat együtt bázisnak vagy reprezentációnak nevezzük. A következőkben minden hullámfüggvényt normáltnak tekintünk.

Véges vektorok[szerkesztés]

A hullámfüggvény, ami egy vektor komponenssel, leírja, hogyan fejezzük ki a fizikai rendszer állapotát a végesen sok bázisfüggvény lineáris kombinációjaként, ahol -től -ig fut. A

,

egyenlet, ami oszlopvektorok közötti összefüggés, ekvivalens a

,

egyenlettel, ami a fizikai rendszer állapotai közötti összefüggés. Vegyük észre, hogy a két egyenlet közötti áttéréshez ismerünk kell a bázisállapotokat, ezért két oszlopvektor, ugyanazokkal a komponensekkel, két különböző állapotot képviselhet, ha a bázisok különbözőek. Egy példát véges vektorra fent láttunk az 1/2-es spinű részecskénél, ahol a komponensek mögött ott vannak a részecske spinállapotai.

komponenseinek fizikai jelentését a hullámfüggvény összeomlásának elve adja meg:

Ha a állapotok egy dinamikai változó (például impulzus, helykoordináta stb.) eltérő, határozott értékeivel rendelkeznek és az illető változó mérését elvégezzük a
állapoton, akkor annak a valószínűsége, hogy eredményül -t kapjunk, , és ha eredményünk , akkor a mérés után a rendszer a állapotban lesz.

Végtelen vektorok[szerkesztés]

A diszkrét indexű végtelen vektort ugyanúgy kezeljük, mint a végeset, azzal a különbséggel, hogy az összegzés kiterjed az összes bázisállapotra. Így,

ekvivalens a következővel:

,

ahol a szokásos konvenció szerint az összegzés kiterjed minden komponensére. A komponensek értelmezése ugyanaz, mint a véges esetben, az összeomlási elv is alkalmazandó.

Folytonos indexű vektorok (függvények)[szerkesztés]

Folytonos index esetén az összegzést integrálás helyettesíti. Erre egy példa egy részecske térhullámfüggvénye egy dimenzióban, amelyik a részecske fizikai állapotát a határozott helyzetű állapotokon fejti ki. Ezért

.

Vegyük észre, hogy nem azonos -vel. Az előbbi a részecske aktuális állapota, míg az utóbbi egyszerűen egy hullámfüggvény, amelyik megadja, hogyan kell az előbbit kifejteni a határozott pozíciójú állapotok szerint. Ebben az esetben a bázisállapotok a következőképpen fejezhetők ki:

és ezért az -hoz rendelt térhullámfüggvény (Dirac-delta).

Formalizmus[szerkesztés]

Tekintsünk egy izolált fizikai rendszert, ennek megengedett állapotai (olyan állapotai, amiben a rendszer lehet a fizikai törvények megsértése nélkül) egy vektortér, a Hilbert-tér részei. Azaz,

1. Ha és két megengedett állapot, akkor
szintén megengedett állapot feltéve, hogy . (Ez a feltétel a normálás miatt van.)

és,

2. A normálás miatt, mindig van a H vektortérnek egy ortonormált bázisa.

Ebben az összefüggésben egy bizonyos állapothoz rendelt hullámfüggvény tekinthető a vektortér bázisán történő kifejtésnek, pl.

egy az 1/2 spinű részecskéhez rendelt bázis, következésképpen egy ilyen részecske spinállapota felírható így:

.

Néha hasznos lehet kifejteni egy rendszer állapotát meg nem engedett állapotokon, azaz nem egy térben. Egy példa erre egy részecske térhullámfüggvénye egy dimenzióban, ahol a határozott helyzetű állapotok szerint fejtjük azt ki. Ezek az állapotok tiltottak, mivel sértik a határozatlansági elvet. Az ilyen bázist – "helytelen" bázisnak hívjuk. A határozatlansági elv itt azért sérül, mert itt egy időben állandóan egy helyen – nulla mérési bizonytalansággal – levő részecskénk lenne, azaz az impulzusa is, és annak mérési bizonytalansága is nulla lenne.

Szokás felruházni -t egy belső szorzattal, de ennek természete esetleges, függ a használt bázistól. Ha megszámlálhatóan sok báziselemünk van, amelyik mind -hoz tartoznak, akkor egyetlen olyan belső szorzattal rendelkezik, ami bázisát ortonormálttá teszi, azaz

Ha ez a helyzet, akkor belső szorzata egy tetszőleges vektor kifejtésével

.

Ha a báziselemek kontinuumot alkotnak, mint például a hely- vagy koordináta bázis, amelyik tartalmaz minden határozott pozíciójú állapotot, akkor szokás a Dirac-normálás választása

azaz érvényes az analóg

.

összefüggés.

Források[szerkesztés]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

További információk[szerkesztés]