Braket-jelölés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A braket-jelölés a kvantumállapotok bevett jelölése a kvantummechanikában. Kompakt jelölés, ahol a ket (vektor) egy állapotvektort (oszlopvektort), a bra (vektor) pedig egy transzponált konjugált állapotvektort (sorvektort) jelöl. A nevét a jelölés az angol „bracket” („zárójel”) szóról kapta, ahol a „bra” és „ket” betűcsoportok úgy zárják közbe a „c” betűt, mint a bra és ket vektorok egy C operátort. Az állapotvektorok belső szorzata alakban írandó. A jelölést Paul Dirac vezette be, és Dirac-jelölésként is ismert. A matematika és a kvantumszámítás is használja.

Bra és ket[szerkesztés]

A kvantummechanikában egy fizikai rendszert egy komplex H Hilbert-tér vektorával azonosítjuk. Mindegyik vektort „ket”-nek, vagy „ket vektornak” hívjuk és így írjuk:

Minden ket vektornak van egy „bra” duálisa:

Ez egy folytonos lineáris funkcionál H-ból C-be (komplex számok), amit a következő kifejzés definiál:

minden ket-re

ahol ( , ) a Hilbert-tér belső szorzata. A bra egyszerűen a ket transzponált konjugáltja (vagy hermitikus konjugáltja). A jelölést a Riesz-féle reprezentációtétel igazolja, ami kijelenti, hogy a Hilbert-tér és duális tere izometrikusan izomorf. Így minden bra pontosan egy ket-nek felel meg és megfordítva. Ez nem mindig van így, csak addig, amíg a definiáló függvények négyzetesen integrálhatók (ld. például Cohen-Tannoudji). Tekintsünk egy continuum bázist és egy Dirac-féle delta-függvényt, vagy egy szinusz vagy koszinusz függvényt, mint hullámfüggvényt. Az ilyen függvények nem négyzetesen integrálhatók, ezért az adódik, hogy vannak olyan bra-k, amiknek nincs megfelő ket-jük. Ez nem futtatja zátonyra kvantummechanikát, mert minden fizikailag realisztikus hullámfüggvény négyzetesen integrálható.

A braket-jelölés akkor is használható, ha a vektortér nem Hilbert-tér. Bármely B Banach-térben a vektorok jelölhetők kettel és a folytonos lineáris funkcionálok braval. Bármely nemtopologikus vektortér vektorait is jelölhetjük kettel és a lineáris funkcionálokat bra-val. Ebben az általános esetben a braketnek nincs belső szorzat jelentése, mivel a Riesz-féle reprezentációtétel nem alkalmazható.

A bra és a ket szorzata, amit bra-ket-nek hívhatunk:

.

egy komplex szám. A kvantummechanikában ez annak a valószínűségi amplitúdója, hogy a állapot a állapotba essen a mérés során.

Tulajdonságok[szerkesztés]

Mivel minden ket egy vektor egy komplex Hilbert-térben és minden bra-ket egy belső szorzat, a következő műveletek lehetségesek:

duálisa

ahol komplex számok.

Lineáris operátorok[szerkesztés]

Ha A : HH lineáris operátor, akkor A-t egy ket-re alkalmazva a ket-et kapjuk. A lineáris operátorok mindenütt jelen vannak a kvantummechanikában, például a fizikai mennyiségeket önadjungált operátorok, a szimmetriatranszformációkat unitér operátorok képviselik.

Az operátorokat tekinthetjük úgy is, mint ami jobbról a bra-ra hat. A konstrukció egy bra, ami egy lineáris funkcionál H-n a következő szabály szerint:

.

Ezt a kifejezést szokásosan így írjuk:

H-n komponálhatunk operátort a külső szorzattal:

ami a ket-et leképezi a ket-re (ahol egy skalár). A külső szorzatot például projekciós operátorok megkonstruálására használhatjuk. Legyen 1-es normájú ket. Az általa kifeszített altérbe vetítő operátor ekkor:

Összetett bra és ket[szerkesztés]

A V és W Hilbert-terekből tenzorszorzattal képezhetünk egy harmadikat: . A kvantummechanikában ha egy rendszer egy V és W által leírt alrendszerből áll, akkor a teljes rendszert a tenzorszorzat írja le – kivéve ha az alrendszerek azonos részecskék, mert ekkor a helyzet egy kicsit bonyolultabb.

Ha egy ket V-ben és egy ket W-ben, akkor a tenzorszorzatuk egy ket -ben, amit többféleképpen írhatunk:

vagy vagy vagy

Reprezentációk braket-jelöléssel[szerkesztés]

A kvantummechanikában gyakran kényelmesebb a vektoroknak egy bázisra vett vetületeivel dolgozni, mint magukkal a vektorokkal. Az ok, hogy az utóbbiak egyszerűen komplex számok, amiket parciális differenciálegyenletekben használhatunk (például a Schrödinger-egyenlet helykoordináta-bázison). Ez az eljárás nagyon hasonlít a koordinátavektorok használatához a lineáris algebrában.

Például egy nulla spinű részecske Hilbert-terét az helybázis feszíti ki, ahol x befutja az összes helyvektort. Kiindulva bármely ket-ből ezen a Hilbert-téren definiálhatunk egy komplex skalár függvényt, a hullámfüggvényt:

Ezután definiálhatjuk a hullámfügvényre ható operátorokat a ket vektorokon ható operátorok segítségével:

Például a p impulzus operátorát:

.

A számolás közben előfordul a

kifejezés, amit úgy kell érteni, hogy a differenciáloperátor egy absztrakt operátor, ami a koordinátákra vetítéskor a következőképpen hat:


További információk[szerkesztés]