Schrödinger-egyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A kvantummechanikában egy fizikai rendszer ismerete ekvivalens annak teljes állapotterének ismeretével. Ez általában egy végtelen dimenziós lineáris tér, nevezetesen a Hilbert-tér, aminek minden eleme a rendszer állapotának megfeleltethető állapotvektor. Az állapotok időbeli fejlődése egy a Hilbert-téren ható, "idő paraméterű" operátorral jellemezhető. Amennyiben a rendszer időben eltolható, ez az operátor egy folytonos csoport eleme. Neve: Green-operátor. A csoport infinitezimális generátora, azaz az időfejlődés generátora a Hamilton operátor. A Schrödinger-egyenlet egy állapotegyenlet. Létezik időfüggetlen és időfüggő formája is. Az időfüggetlen formája egy energiasajátérték-egyenlet.

Az időfüggetlen Schrödinger-egyenlet[szerkesztés]

A kvantummechanikában a fizikai mennyiségek matematikai leírására operátorokat használnak. Kvantumrendszerek mérésekor a mérési eredmény az ahhoz a megfigyelhető mennyiséghez hozzárendelt operátor valamelyik sajátértékével egyezik meg. A kvantummechanikában a fizikai, megfigyelhető mennyiségekhez lineáris, hermitikus operátorokat rendelnek.

Azon klasszikus mechanikai rendszerek esetében, melyek rendelkeznek Hamilton-függvénnyel, a Hamilton-függvény alakja Descartes-koordinátákban

ahol T a rendszer kinetikus energiája és V a rendszer potenciális energiája. A Hamilton-függvény egy klasszikus, tiszta állapot, azaz a rendszer fázisterének pontjai a teljes energiáját adja meg.

A kvantummechanikában a kvantumrendszer energiáját a Schrödinger-féle energiasajátérték-egyenlet határozza meg. A sajátértékegyenletben szereplő operátor (Hamilton-operátor) a rendszer klasszikus fizikai analogonja (ha létezik ilyen) Hamilton-függvényének operátorosításával történik (Ez az úgynevezett kanonikus kvantálás):

a sajátértékegyenlet pedig:

ahol a kvantumállapot, mely a , a rendszer modelljeként szolgáló Hilbert-tér eleme. Az energiasajátértékek megadják a rendszer mérése során előforduló lehetséges energiaértékeket.

A mondottakat általában az egyetlen tömegpont kvantummechanikai leírásával szemléltetik. Ha a tömegpont kényszer nélkül mozog -ban és létezik klasszikus mechanikai Hamilton-függvénye, akkor annak alakja:

ahol a tömegpont tömege, p a tömegpont impulzusa, V pedig a mozgást meghatározó potenciál. Koordinátareprezentációban a kvantummechanikára való áttérés úgy történik, hogy az impulzus komponenseihez és a potenciálhoz -on ható operátorokat rendelnek:

valamint

ahol az identitásoperátor. Mind a potenciál, mind az impulzusoperátorok hermitikusak, így megfigyelhető mennyiségeket határoznak meg. Behelyettesítés után a Schrödinger-egyenlet a következő alakot ölti:

ahol a Laplace-operátor:

Az időfüggő Schrödinger-egyenlet[szerkesztés]

Az időfüggő Schrödinger-egyenlet -ahogy nevében is benne van- a helykoordinátákon kívül időfüggő tagot is tartalmaz. Alakja a következő:

A Klein–Gordon egyenlet[szerkesztés]

A Klein–Gordon-egyenlet a Schrödinger-egyenlet relativisztikus verziója.

Lásd még[szerkesztés]

További információk[szerkesztés]