Végtelen

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A végtelen jele különböző betűtípusokkal

A végtelen kifejezés több elkülöníthető, a teológiában, filozófiában és a matematikában előforduló fogalomra utal. Hétköznapi használata sokszor nincs összhangban a technikai jelentésével. A végtelen szó határtalan, vég nélküli, megszámlálhatatlan mennyiséget jelöl.

A teológiában – például Duns Scotus írásaiban – Isten végtelen természete képességeinek határtalanságára utal, nem mennyiségbeli végtelenségre. A filozófiában többször alkalmazzák a fogalmat a térre vagy az időre vonatkoztatva, például Kant az első antinómiájában. A végtelennel foglalkoznak a végső, az abszolút és a Zénón paradoxonjai cikkek.

A matematika a végtelen fogalmának szigorú kezelésére több megoldást használ. A függvénytanban a végtelen számnak tekintése helyett a határértéket használják a minden korláton túl növekvő mennyiségekre. Egyes matematikai elméletekben a valós számokat kiegészítették végtelen elemekkel, és az így kapott halmazon újraértelmezték a műveleteket. A geometriában sokszor szemléletes egy végtelen távoli pontot elképzelni, például a parabolát egy ellipszisnek tekinteni, amelynek egyik fókuszpontja végtelen távol van. A végtelen távoli (ideális) pontok szigorú kezelése adja a projektív geometriát.

A matematikai halmazelmélet a végtelennek többféle fogalmát különbözteti meg, amelyeket nagyság szerinti sorba tud állítani. A legkisebb végtelen (pontosabban végtelen számosság) a megszámlálható végtelen, az ennél nagyobbakat megszámlálhatatlannak nevezik. A megszámlálható végtelen az, aminek meg tudjuk számolni az elemeit, azaz minden eleméhez tudunk mondani egy pozitív egész számot, úgy, hogy minden számot csak egyszer használunk fel. Nem tudjuk azonban megszámolni a valós számokat, az egészekből álló sorozatokat, vagy a valós számokat valós számokba képző függvényeket.