Határérték

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A matematikában a határérték az az érték, amihez "egyre közelebb" kerül egy függvény vagy sorozat értéke, ahogy a függvény bemenete "egyre közelebb" kerül valamely adott véges értékhez vagy végtelenhez, ill. ahogy a sorozat indexe a végtelenhez tart. A matematikai analízis szinte teljes egészében a határérték fogalmára épül, mint például a differenciálszámítás, integrálszámítás esetében. A latin limes (jelentése: határ, mesgye) szóból lim-ként rövidítik matematikai jelölésekben.

A határérték fogalmát a topológia, illetve a kategóriaelmélet eszközeivel általánosabban is meg lehet határozni.

Sorozat határértéke ()[szerkesztés]

Az (1,79; 1,799; 1,7999;…) sorozatról intuitívan megállapítható, hogy a számok egyre „közelítenek” 1,8-hez, amennyiben a sorozat minden elemére igaz, hogy az előzőnél eggyel több kilences tizedesjegye van. Ezt az intuitív gondolatot fogalmazza meg formálisan a sorozat határértékének fogalma.

Definíció[szerkesztés]

Legyen adott az () valós számokból álló sorozat. A valós szám a sorozat határértéke, ha minden (epszilon) esetén létezik olyan (epszilontól függő) természetes szám, melyre minden esetén . Jelölése:

vagy .

Szemléletesen ez azt jelenti, hogy tetszőlegesen közel kerül a sorozat eleme a határértékhez azáltal, hogy elég nagy indexű elemet választunk, hiszen az abszolút érték az és távolságaként is felfogható. Ha létezik olyan tulajdonságú szám, ami a fenti definíciónak megfelel, akkor a sorozatot konvergensnek nevezik, ha pedig nem, akkor divergensnek. Bebizonyítható, hogy legfeljebb egy ilyen szám létezhet, így a jelölés és a „határérték” megnevezés egyértelmű.

Tétel: Ha és , akkor .

Hasonlóan definiálható a több koordinátával jellemezhető pontsorozatok határértéke.

Tétel: Egy pontsorozat pontosan akkor konvergens, ha az egyes koordinátái által alkotott számsorozatok konvergensek.

Például az pontsorozat konvergenciája ekvivalens az és a sorozatok konvergenciájával.

A sorozat és a függvény határértékének a fogalma szoros kapcsolatban áll egymással. A két fogalom egymás definiálására is felhasználható, de értelmezhetők külön-külön is. Az sorozat határértékét a pozitív egészek halmazán értelmezett függvény végtelenben vett határértékeként is definiálhatjuk, míg a függvény határértéke definiálható a sorozat határértékének felhasználásával: függvény határértéke helyen akkor létezik, ha az sorozat konvergens és azonos határértékű bármely olyan határértékű konvergens sorozat esetén, amely a függvény értelmezési tartományából vesz fel értékeket. Ekkor az sorozat egyértelmű határértéke lesz a függvény helyen vett határértéke.

Tulajdonságok[szerkesztés]

Ha az és a valós sorozat is konvergens, akkor az , sorozatok is konvergensek, és határértékük a megfelelő művelettel kapható a határértékekből. Ha a sorozat véges sok nullát tartalmaz, és nem tart nullához, akkor hasonló teljesül az sorozatra is. Ezek a pontsorozatokra is érvényesek, ha a műveleteket koordinátánként végezzük.

A konvergens valós szám- és pontsorozatokra teljesül a Cauchy-tulajdonság, ami azt mondja ki, hogy a sorozat távoli elemei is közel vannak egymáshoz. Formálisan, az sorozat konvergens, ha minden -hoz van olyan , hogy minden -ra . Megfordítva, minden valós Cauchy-sorozat konvergens. Más terekben ez nem feltétlenül igaz; ahol viszont igen, azt a teret teljesnek mondjuk.

A konvergens sorozatok tulajdonságai kritériumokat adnak arra, hogy belássuk, hogy ha egy sorozat nem konvergens. Szintén vannak kritériumok a sorozat konvergens voltára. Nincs mindig szükség a határérték kiszámítására.

Példák[szerkesztés]

, ha

Függvényhatárérték ()[szerkesztés]

Határérték véges pontban[szerkesztés]

Ábra a formális definícióhoz. Véges pontban vett véges határérték.

Feltéve, hogy valós függvény és valós szám. A

kifejezés azt jelenti, hogy értéke tetszőlegesen közel kerül az -hoz, ha az elég közel van -hoz. Ebben az esetben „az határértéke, ha tart -hoz, ”. Ez akkor is igaz lehet, ha , sőt az függvénynek nem muszáj értelmezve lennie a pontban.

Formális definíció[szerkesztés]

Legyen az függvény, mely a egy nyílt környezetében végtelen sok értékre értelmezve van - esetleg -ban nem - vagyis egy torlódási pontja a -nek; és egy valós szám. A

jelölés azt jelenti, hogy minden érték esetén van olyan , melyekre bármely esetén, ha , akkor .

Példák[szerkesztés]

Vizsgáljuk meg határértékét, ha tart 2-höz. Ebben az esetben az definiált a 2 helyen, és egyenlő az ottani 0,4 értékével:

f(1,9) f(1,99) f(1,999) f(2) f(2,001) f(2,01) f(2,1)
0,4121 0,4012 0,4001 0,4 0,3998 0,3988 0,3882

Ha közelít 3-hoz, akkor közelít 0,3-hez, azaz . Ezekben az esetekben, amikor , azt mondjuk, hogy folytonos az helyen.

De nem minden függvény folytonos. Legyen például a függvény az alábbi módon értelmezett:

A határértéke tart 2 esetén 0,4 (ahogy az esetén is), de ; nem folytonos helyen.

Függvényhatárérték a végtelenben[szerkesztés]

Van, amikor nem csak a véges helyen vett határértéket kell vizsgálnunk, hanem, hogy a függvény hogyan viselkedik, amikor tart a pozitív vagy negatív végtelenhez.

Példaként vizsgáljuk az függvényt.

...

Ahogy nagyon naggyá válik, közelít 2-höz. Ebben az esetben,

Formális definíció[szerkesztés]

A végtelenben vett határérték definíciója:

pontosan akkor, ha minden > 0 esetén létezik olyan valós szám, melyre teljesül, ha .

A negatív végtelenben vett határérték hasonlóan definiálható.

Definíciója topologikus térben[szerkesztés]

Függvényeknél[szerkesztés]

Legyen és topologikus tér, , az torlódási pontja és . Az függvény határértéke az pontban , ha:

tetszőleges környezetéhez található -nak olyan környezete, hogy halmaz általi képe környezetébe esik, azaz:
.

A határérték ezen fogalma annyira általános, hogy adott pontban több határértéke is lehet egy függvénynek. Ugyanis egyes topologikus terek olyan "egyszerűek", hogy bizonyos pontoknak azonosak a környezetei. Más szóval a pontok nem különböztethetőek meg a "szomszédok" által. Fontos tény továbbá, hogy a függvénynek nem kell értelmezve lennie az pontban, ahol a határértéket vizsgáljuk.

A szakirodalomban szigorúbb változatai is előfordulnak, melyek például megkövetelik, hogy a leképezés egy teljes környezetében legyen értelmezve, leszámítva esetleg magát -t (), azaz . Illetve olyan gyengítései is akadnak, amelyek az értelmezési tartomány speciális részhalmazain () határozzák meg a limes-t, azaz . Ha elvárnánk, hogy a vizsgált pont az értelmezési tartomány eleme legyen () és , akkor a pontbeli folytonosság topológiai fogalmához lyukadnánk ki.

Pontsorozatoknál[szerkesztés]

Legyen topologikus tér, a tér pontjaiból álló sorozat, és . Az sorozat határérétke , ha:

minden környezetéhez létezik olyan index, hogy a sorozat minden -nél nagyobb indexű tagja környezetébe esik, azaz
.

Definíciója metrikus térben[szerkesztés]

Metrikus terek esetén, melyek egyben topologikus terek is, a definíció speciálisabban megfogalmazható. Ez esetben rendelkezésünkre áll a távolságfüggvény, amellyel környezetet definiálhatunk.

Függvény határértéke[szerkesztés]

Legyen és metrikus tér, , az torlódási pontja, és . Az függvény határértéke az pontban , ha:

minden sugarú nyílt környezetéhez található -nak olyan sugarú nyílt környezete, hogyha , akkor általi képe környezetébe esik, azaz
,

ahol:

  • ,
  • és
  • az általános definícióban szereplő környezetek megfelelői,
  • és rendre az és metrikus térben definiált távolság.

Sorozat határértéke[szerkesztés]

Legyen metrikus tér, , a tér pontjaiból álló sorozat, és . Az sorozat határértéke , ha:

minden sugarú nyílt környezetéhez található olyan (epszilontól függő) index, hogy a sorozat minden -nél nagyobb indexű tagja az környezetébe esik, azaz
.

Euklideszi térben[szerkesztés]

Az n-dimenziós vektortéren értelmezett skalárszorzat természetesen módon normát indukál, amellyel metrika, azaz távolság definiálható a téren. Ez teszi az Euklideszi teret topologikus, ill. metrikus térré. A távolságfüggvény:

, speciálisan: .

Többdimenziós terekben a határérték számítása gyökös távolságképlettel nehézkes. Könnyítést ad az a tény, hogyha egy pontnak van nyílt gömbkörnyezete, akkor van nyílt téglakörnyezete is és fordítva:

Tétel: .

Magyarul, egy vektor akkor és csak akkor van közel egy másikhoz, ha külön-külön a koordinátái is közel vannak a másik koordinátáihoz. Így a vektorfüggvények és vektorsorozatok határértéke visszavezethető a koordináta-függvények határértékére.

Definíciója végtelenre[szerkesztés]

A fenti definíciók egyike sem mondja meg, mit értünk végtelen határértéken, vagy végtelenben vett határértéken. Nem is határozhatja meg, mert a végtelen egy képzeletbeli pont. Nem része a térnek, míg a határérték és a pont, ahol a határértéket vizsgájuk a tér egy eleme kell hogy legyen. Azonban kiterjeszthetjük úgy a fogalmat, hogy definiáljuk a végtelen egy környezetét, így lehetőségünk nyílik a képzeletbeli pont körül vizsgálódni. Általános topológiai eszközökkel kicsit bonyolult, de normált, s ezáltal egyben metrizálható terekben igen egyszerű.

Végtelen környezete[szerkesztés]

halmaz a végtelen egy " sugarú nyílt gömbkörnyezete". (Nyilvánvalóan ez a megfogalmazás matematikailag nem elfogadható, inkább szemléltető jellege van.)

Végtelenben vett határérték[szerkesztés]

Legyen és normált tér, , legyen a végtelen torlódási pontja, , és . Az függvény végtelenben vett határértéke , ha:

minden sugarú nyílt környezetéhez található olyan , hogyha , akkor általi képe környezetébe esik, azaz
,

ahol:

  • és az X és Y terekben definiált norma.
  • A végtelen torlódási pontja -nak, ha .

Ez a definíció konzisztens a sorozatoknál kimondott határérték fogalmával, ugyanis a természetes számok halmaza normált tér és a fenti lehet teljesen általános topologikus tér is.

Végtelen mint határérték[szerkesztés]

Legyen és normált tér, , az A torlódási pontja, , és . Az függvény határértéke az pontban végtelen, ha:

minden -hoz található -nak olyan sugarú nyílt környezete, hogyha , akkor általi képének normája nagyobb mint , azaz
.

Végtelenben vett végtelen határérték[szerkesztés]

Értelmezését egyszerűen a két megfogalmazás kombinációja szolgáltatja. Röviden:

.

Plusz és mínusz végtelen[szerkesztés]

Speciális a következő eset: a valós számegyenesből () kivéve egy pontot könnyűszerrel felbontjuk a teret, két diszjunkt és külön-külön összefüggő halmazra. Az intuíciónk pedig az, hogy ezek a halmazok mintha két különböző végtelennek lennének a környezetei. A gondolatmenetet tovább folytatva bármely térben definiálhatnánk egy speciális részhalmazt, hogy a végtelenben vett határérték vizsgálódását ezen részhalmazra leszűkítve végezzük. De esetén nem szoktunk megkülönböztetni irány szerinti végteleneket.

A valós számegyenesnél a és a intervallumok által szűkített végtelenben vett határérték keresése rendre a és a határérték fogalmához vezet. Hasonlóan lehet a határérték is.

Komplex számok esetében sincs , topológiailag izomorf -tel. Ez esetben a végtelen pontot szemléletesen definiálhatjuk az úgynevezett Riemann-gömbbel. Ha ennek megfelelően elkészítjük a valós esetre vonatkozó szemléltető kört, akkor a -ben vett limes-t felfoghatjuk úgy is, mint a végtelenben vett bal és jobb oldali határértéket.

Tétel: Egy -beli vektorsorozat pontosan akkor tart végtelenbe, ha legalább az egyik koordinátasorozata végtelenbe tart.

Ekkor belátható, hogy a vektor normája is tart végtelenbe. Fordítva, ha a norma tart végtelenbe, akkor legalább egy koordináta abszolút-értéke is végtelenbe kell hogy tartson.

Egyértelműsége[szerkesztés]

Fentebb már említésre került, hogy általános topologikus terek között ható függvénynek egy adott pontban, illetve pontsorozatnak létezhet több határértéke is. Ilyenkor a határértékek egy halmazáról, mint megoldásról érdemes beszélni. Ahhoz, hogy egy egyenlőségi formulával adhassuk meg a határértéket, annak egyértelműen kell léteznie. Ez egy speciális térben mindig igaz is:

Hausdorff-tér vagy tér olyan topologikus tér, amelyben minden pontpárhoz található őket elválasztó diszjunkt környezet.

Tétel: Hausdorff-térben ha létezik határérték, akkor egyértelműen létezik.

Legtöbbször azonban metrikus terekben (...) lévő pontsorozatokkal és ezen terek között ható függvényekkel (...) találkozunk és vizsgáljuk határértéküket.

Tétel: Minden metrikus tér egyben Hausdorff-tér is.

Tehát metrikus terekben is egyértelmű a határérték. Értelemszerűen minden metrikus tér egyben topologikus tér is. Pontosabban, természetes módon topologikus térré tehető, ha az -sugarú nyílt gömbök segítségével definiáljuk a környezeteket.

Jelölései[szerkesztés]

  • általánosan: "limesz iksz tart iksznullba efiksz egyenlő ipszilon"
  • sorozatoknál: "á n tart ipszilonba ha n tart végtelenbe"
  • speciális tartományon:

Határértéken alapuló definíciók[szerkesztés]

Határérték-változatok[szerkesztés]

  • Limesz szuperior, inferior:
  • Parciális limesz:
, ahol
  • Bal és jobb oldali határérték:
  • Végtelenben vett határérték:

Új fogalmak megalapozása[szerkesztés]

Konvergencia[szerkesztés]

A fogalom létezésének tényét erősíti, hogy sorozatok esetén egyértelműen mindig a végtelenben vett határértékről beszélünk, így a kérdés leredukálódik a: van-e határértéke vagy sem kérdésre. Olyat nem mondunk, hogy konvergens függvény, vagy a függvény konvergens egy pontban, de egy függvénysorozat lehet az, hiszen az is sorozat.

Definíció[szerkesztés]

Legyen Y topologikus tér, . Az sorozatot konvergensnek nevezzük , ha létezik határértéke. Ellenkező esetben, azaz mikor nincs határértéke, divergensnek nevezzük.

Tétel: Metrikus térben konvergens sorozatnak egyértelmű a határértéke.

Hiszen a metrikus tér Hausdorff-tér is, melyben legfeljebb egy határértéke lehet egy sorozatnak.

Fontos megemlíteni, hogy mivel értelmezzük a végtelen határértéket is oda kell figyelnünk, hogy konvergens nem lehet egy sorozat, ha csak végtelen határértéke van, ugyanis az nem eleme a térnek. Hacsak nem a végtelen elemmel bővített halmazzal van dolgunk, vagy nem tágabb értelemben beszélünk konvergenciáról. A tárgyalási módból ki kell derülnie. Ezért találkozhatunk azzal a kifejezéssel, hogy: létezik a határérték és véges.

Cauchy-sorozat[szerkesztés]

Legyen Y metrikus tér, . Az sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük , ha tetszőlegesen közel kerülnek egymáshoz az elemek, azaz

.
Tétel: Minden, metrikus térben konvergens sorozat, egyben Cauchy-sorozat is. Megfordítása általánosan nem igaz.

Ha egy sorozat tetszőlegesen megközelíti a határértéket, akkor a sorozat elemei is tetszőlegesen megközelítik egymást.

Teljes tér[szerkesztés]

Azokat a metrikus tereket, melyekben minden Cauchy-sorozat konvergens, teljesnek nevezzük.

Tétel: Minden metrikus tér teljessé tehető. (Úgy, hogy hozzávesszük azon hipotetikus pontokat, amelyeket a divergens Cauchy-sorozatok kijelölnek.)
Tétel: Az ekludeszi tér teljes metrikus tér.

Nem teljes tér például . A sorozat, melynek . tagja olyan racionális szám, mely a -t tizedesjegy pontossággal írja le, határértéke , de ez nem racionális szám. Természetesen -ben a sorozat konvergens lenne, illetve Cauchy-konvergens -ban. Ha a -t teljessé tesszük, akkor pedig éppenséggel -t kapjuk.

Forrás[szerkesztés]

  • Császár Ákos: Valós analízis I.