Abszolútérték-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
Az abszolútérték-függvény grafikonja

Az abszolútérték-függvény egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden valós számhoz az abszolút értékét rendeli, azaz önmagát, ha a szám nemnegatív, és az ellentettjét, ha a szám negatív.

Egy x szám abszolút értékét így jelölik:

.

Magát az abszolútérték-függvényt, vagyis az

hozzárendelést vagy sehogy se jelölik, vagy az abs szimbólummal, esetleg az analízisben használatos jelöléssel, ahol a pont a változó helyét jelöli.

Ekvivalens definíciók[szerkesztés]

Az abszolútérték-függvény tehát nem más, mint az

függvény. Tekintve, hogy az abszolút értéknek sokféle ekvivalens megfogalmazása van, az abszolútérték-függvényt is több alakban adhatjuk meg. Tetszőleges x valós szám esetén:


ahol sgn(x) az ún. szignumfüggvény vagy előjelfüggvény, max pedig a mellette álló rendezetlen párból választja ki a nem kisebbet.

Ezen definíciók teljességgel ekvivalensek.

Példák[szerkesztés]

Analitikus tulajdonságok[szerkesztés]

Nemnegativitás[szerkesztés]

A teljes értelmezési tartományon nemnegatív, ezért abszolút értéke önmaga. Tehát minden x valós számra

Ugyanis a nemnegatív számokon identikus, azaz értéke a független változó (argumentum) értékével egyenlő, míg a negatív számokon a független változó értékének ellentettjét, azaz nemnegatív számot vesz föl.

Szubadditivitás[szerkesztés]

Rendkívül fontos mind a matematikai, mind a fizikai alkalmazások számára az a tulajdonsága, hogy szubadditív, azaz tetszőleges x,y valós számokra:

amely kijelentés lényegében a valós számokra vonatkozó háromszög-egyenlőtlenség.

Folytonosság[szerkesztés]

Az értelmezési tartomány minden pontjában folytonos, tehát az R-en folytonos függvények C(-∞, +∞) osztályába tartozik.

A Lipschitz-folytonosság a szubadditivitásból és a fordított háromszög-egyenlőtlenségből következik, ahol a Lipschitz-konstans :

.

Derivált és integrál[szerkesztés]

Az abszolútérték-függvény a halmazon megegyezik az függvénnyel, amely minden nyílt intervallumon differenciálható, és a deriváltja . Hasonlóan, a függvény a halmazon megegyezik az függvénnyel, amely szintén minden nyílt intervallumon differenciálható, és a deriváltja . Emiatt a függvény az halmazon differenciálható és a deriváltja a szignumfüggvény. A 0-ban nem deriválható, ott töréspontja van (balról deriválva -1-et, jobbról deriválva 1-et kapunk, holott a deriválhatóság feltétele, hogy a jobb és bal oldali derivált megegyezzen).

Korlátos intervallumon integrálható. Egy határozatlan integrálja .

Arkhimédészi tulajdonság[szerkesztés]

Az abszolútérték arkhimédészi norma, azaz, hogyha van egy egész szám, melyre , akkor minden egész számra teljesül, hogy .[1]

Algebrai tulajdonságok[szerkesztés]

Multiplikativitás[szerkesztés]

„Erős” értelemben multiplikatív, azaz tetszőleges x,y valós számokra:

Iteráció-invariancia[szerkesztés]

Nemnegativitásából következően az iteráció (önmagára alkalmazás) műveletére nézve fixpontként viselkedik a függvény, azaz bármely pozitív (n-ed) rendű iteráltja önmaga:

vagy az analízis formalizmusában

Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek[szerkesztés]

A megoldáshoz tudni kell, hogy esetén következik, hogy vagy . Hogyha , akkor .

Például szeretnénk megoldani az egyenletet a valós számokon.

A számolás a következő:

Tehát az egyenletnek két megoldása van -re, jelesül 2 és −8.

Egyenlőtlenségek esetén alkalmazhatók:

Például szeretnénk meg oldani az egyenlőtlenséget a valós számokon.

Számolhatunk a következőképpen:

Tehát megoldásként a intervalllum adódik.

Általában az , és valós számokra:

.

Általánosítás[szerkesztés]

Komplex számok, kvaterniók, sőt bizonyos más algebrák esetén is értelmezik az abszolút érték fogalmát. Ha z = a + b i komplex szám, akkor abszolút értéke a

valós szám, mely lényegében a komplex számot reprezentáló síkvektor hossza.

Általában egy algebrában az abszolút érték olyan norma, mely teljesíti a fent említett erős multiplikatív tulajdonságot.

Komplex abszolútérték[szerkesztés]

Legy , ahol , valós. Ekkor

,

ahol a szám komplex konjugáltja. Hogyha valós, akkor , így ; ezzel a komplex abszolútérték

ami éppen megegyezik a valós abszolútértékkel.

A komplex abszolútértékre példa:

A komplex abszolútérték nem komplex differenciálható, hiszen csak valós értékeket vesz fel, így nem teljesíti a Cauchy-Riemann-egyenleteket.

Norma[szerkesztés]

Egy normának három tulajdonságnak kell megfelelnie: definitség, abszolút homogenitás és szubaddditivitás. Mivel a valós és a komplex abszolútértéknek megvannak ezek a tulajdonságai, azért mindkettő norma, mégpedig abszolútérték-norma.

A definitség következik abból, hogy a négyzetgyökfüggvénynek a nulla az egyetlen nullhelye:

A homogenitás adódik abból, hogy ha komplex számok, akkor

A háromszög-egyenlőtlenség:

ahonnan négyzetgyökvonással adódik az eredmény. Itt kihasználtuk, hogy a konjugálás felcserélhető a szorzással és az összeadással. Továbbá azt, hogy a kétszeri konjugálás eredménye a kiindulási komplex szám; illetve, hogy a komplex abszolútérték legalább akkora, mint a valós része. Valós esetben nincs szükség konjugálásra.

Az abszolútérték-normát indukálja a skaláris szorzat a valós és a komplex számok fölött. Jelölje és a két számot. Az abszolútérték-norma által indukált metrika:

,

ahol a távolság két szám különbségének abszolútértéke.

A definitség, abszolút homogenitás és szubaddditivitás alapján az abszolútérték tetszőleges vektortérre általánosítható. Az egyértelműség azonban nincs biztosítva.

Egyéb testek fölött[szerkesztés]

Legyen integritási tartomány, és egy függvény! Teljesüljenek még a következő tulajdonságok is:

(0) Nemnegativitás
(1) Definitség
(0) és (1) együtt pozitív definitség
(2) Multiplikativitás, abszolút homogenitás
(3) Szubadditivitás, háromszög-egyenlőtlenség

A függvény kiterjesztésre a hányadostestre a multiplikativitás miatt egyértelmű. Ezekkel a tulajdonságokkal a függvény a hányadostest értékelése.

Ha minden természetes számra, akkor a norma vagy az értékelés nemarkhimédészi.

A minden esetben triviális nemarkhimédészi norma vagy értékelés.

Nemarkhimédészi esetben teljesül

(3’) az éles háromszög-egyenlőtlenség.

Emiatt a norma ultrametrikus. Megfordítva, minden ultrametrikus norma nemarkhimédészi.

  • Ha egy integritástartománynak van arkhimédészi normája, akkor karakterisztikája nulla.
  • A nem nulla (azaz prímszám) karakterisztikájú integritástartományoknak csak nemarkhimédészi normája lehet.
  • A véges integritástartományok prímkarakterisztikájú véges testek, ahol csak a triviális norma létezik.
  • A racionális számok teste, mint prímtest karakterisztikája nulla, és véges bővítésein mind arkhimédészi, mint nemarkhimédészi normák vannak.
  • Az Ostrowski-tétel szerint a racionális számokon egyetlen arkhimédészi norma van (ami euklideszi is). A többi norma nemarkhimédészi p-adikus norma, ahol a p betű prímszámra utal. Mindezekre érvényes az approximációs tétel.

Ha test, akkor a rajta normával indukált metrikák teljessé tehetők. Az így teljessé tett testet jelöli. A racionális számok arkhimédészi teljessé tételei és . A nemarkhimédészi teljessé tételek minden prímre.

A triviális norma kiterjesztése is triviális.

Legyenek és egy test normái vagy értékelései! Ekkor a következők:

  1. Minden sorozat, ami szerint nullsorozat, azaz , akkor szerint is nullsorozat – és megfordítva.
  2. Ha , akkor .
  3. a hatványa, vagyis minden esetén egy előre rögzített számmal.

Lásd még[szerkesztés]

Hivatkozások[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Betragsfunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. van der Waerden. Algebra. Springer-Verlag, 203, 212. o. (1967)