Háromszög-egyenlőtlenség

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A háromszög-egyenlőtlenség a geometria egyik legalapvetőbb tétele, megállapítható segítségével, hogy három szakaszból lehet-e háromszöget szerkeszteni.

Az egyenlőtlenség tovább általánosítható valós és komplex számokra, összegzésekre, integrálokra és különböző terekre. Itt a hosszak szerepét abszolútértékek és különféle normák veszik át. Leginkább becslésekben használják a matematika több területén is.

A tétel[szerkesztés]

A háromszög bármely oldalának hossza kisebb a másik két oldal hosszának összegénél. Azaz: , és .

A tétel ekvivalens alakja: , és

Bizonyítás:

Hszegy.JPG

-t elég bizonyítani. Hosszabbítsuk meg az oldalt, és felmérjük a távolságot a meghosszabbított félegyenesre, így kapjuk a szakaszt. háromszög egyenlő szárú, ekkor szög = szög. az szög belsejében halad, ekkor szög > szög = szög, így . Ez viszont éppen a tételben szereplő .

Metrikus interpretáció[szerkesztés]

A háromszög-egyenlőtlenség biztosítja, hogy a kétdimenziós (általánosabban, az n dimenziós) euklideszi tér tetszőleges három A,B,C pontjára igaz legyen, hogy bármely kettő pár egymástól mért távolságainak összege nagyobb, mint a harmadik pár közt mért távolsága:

AB+BC≥AC
BC+CA≥BA
CA+AB≥BC

Ezt a tényt úgy is interpretálhatjuk, hogy "két pont között a legrövidebb út az egyenes", mert a háromszög-egyenlőtlenség egy speciális esete e kijelentésnek, míg utóbbi következménye az előbbinek.

A háromszög-egyenlőtlenség e változata megenged elfajult háromszögeket, amikor is néhány háromszögcsúcs vagy -oldal illeszkedik egymásra.

A tétel általánosításai[szerkesztés]

Valós számokra[szerkesztés]

Valós számokra:

Bizonyítás:

Mivel az egyenlőtlenség mindkét oldala nem negatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás:

Mindkét oldalból kivonva az azonos tagokat:

és ez mindig teljesül, mert

minden -re.

Valós számokra önállóan is belátható a háromszög-egyenlőtlenség kivonásos alakja:

Nyilván

Az

helyettesítéssel

Viszont, ha

akkor

Az előző két egyenlőtlenséget összetéve

y helyére -y-t téve

Összefoglalva

minden -re.

Komplex számokra[szerkesztés]

Komplex számokra a háromszög-egyenlőtlenség:

Bizonyítás:

Mivel egyik oldal sem lehet negatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás:

ahol a felülvonás a komplex konjugálást jelenti. A két oldalról eltávolítva az egyenlő tagokat, és a helyettesítést elvégezve

A z komplex szám algebrai alakja legyen . Ezzel

és

ami és a valós négyzetgyökfüggvény monotóniája miatt mindig fennáll.

A valós esethez hasonlóan látható be a kivonásos alak is

minden -re.

Összegekre és integrálokra[szerkesztés]

A háromszög-egyenlőtlenség többszöri alkalmazásával és teljes indukcióval

ahol az számok lehetnek valósak, vagy komplexek.

Integrálokra: Legyen az függvény Riemann-integrálható, ahol egy intervallum!

Ekkor

.[1]

Hasonlók teljesülnek komplex értékű függvényekre is:

.[2]

Ekkor ugyanis van egy komplex úgy, hogy és .

Mivel

valós, ezért szükségképpen egyenlő nullával.

Emellett

,

összetéve tehát

.

Vektorokra[szerkesztés]

Vektorokra:

.

Négyzetre emeléssel:

,

és a Cauchy–Schwarz–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség felhasználásával:

.

Innen, mint a valós esetben:

és

Gömbháromszögekre[szerkesztés]

Két általános gömbháromszög

A gömbháromszögek körében a háromszög-egyenlőtlenség azokra a háromszögekre korlátozódik, amiknek egyik oldala sem nagyobb egy fél főkörívnél, azaz a < π, b < π és c < π. Általános gömbháromszögekre a tétel nem igaz.

Ahogy az ábra mutatja:

de , ahol még az is igaz, hogy

Normált terekben[szerkesztés]

Az normált térben a háromszög-egyenlőtlenség ezt az alakot ölti:

és megkövetelik, hogy a tér az adott normával ezt az egyenlőtlenséget azonossággal teljesítse.

Ebből

és

minden -re.

Speciálisan, az Lp-terekben a háromszög-egyenlőtlenséget Minkowski-egyenlőtlenségnek nevezik, és a Hölder-egyenlőtlenséggel bizonyítják.

Metrikus terekben[szerkesztés]

Az metrikus térben a háromszög-egyenlőtlenség ezt az alakot ölti:

és megkövetelik, hogy a tér az adott d távolságfüggvénnyel ezt az egyenlőtlenséget azonossággal teljesítse.

Innen következik

és

a tér tetszőleges elemeire.

Források[szerkesztés]

  1. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1. 8. kiadás. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6. Satz 85.1
  2. Walter Rudin: Real and Complex Analysis. MacGraw-Hill 1986, ISBN 0-07-100276-6. Theorem 1.33
  • Obádovics J. Gyula: Matematika