Hölder-egyenlőtlenség

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A Hölder-egyenlőtlenség a következő állítás: ha nemnegatív valós számok, , továbbá teljesül, akkor

Egyenlőség akkor teljesül, ha valamelyik sorozat konstansszorosa a másiknak, tehát például van olyan , hogy minden i-re.

A tétel p=q=2-re vonatkozó esete a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség.

Bizonyítása[szerkesztés]

Legyen

továbbá

Ekkor tehát és azt kell igazolnunk, hogy

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség súlyozott formája miatt minden i-re

ezeket összeadva azt kapjuk, hogy

Egyenlőség akkor van, ha minden i-re, azaz , ahol .

Története[szerkesztés]

Először Rogers igazolt egy ekvivalens állítást 1888-ban, majd Hölder, szintén különböző, de ekvivalens formában, 1889-ben. Mai formájában Riesz Frigyes mondta ki 1910-ben.