Hölder-egyenlőtlenség

A Hölder-egyenlőtlenség a következő állítás: ha $a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{n}$ nemnegatív valós számok, $p,q>1$, továbbá ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ teljesül, akkor

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{q}\right)^{1/q}$

Egyenlőség akkor teljesül, ha valamelyik sorozat konstansszorosa a másiknak, tehát például van olyan $\lambda$, hogy $b_{i}^{q}=\lambda a_{i}^{p}$ minden i-re.

A tétel $p=q=2$-re vonatkozó esete a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség.

Bizonyítása

Legyen

$A=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{p},\quad B=\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{q}$

továbbá

$x_{i}={\frac {a_{i}^{p}}{A}},\quad y_{i}={\frac {b_{i}^{q}}{B}}\quad (i=1,\dots ,n).$

Ekkor tehát $x_{1}+\cdots +x_{n}=y_{1}+\cdots +y_{n}=1$ és azt kell igazolnunk, hogy

$S=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\frac {1}{p}}y_{i}^{\frac {1}{q}}\leq 1.$

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség súlyozott formája miatt minden i-re

$x_{i}^{\frac {1}{p}}y_{i}^{\frac {1}{q}}\leq {\frac {1}{p}}x_{i}+{\frac {1}{q}}y_{i}$

ezeket összeadva azt kapjuk, hogy

$S\leq {\frac {1}{p}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}+{\frac {1}{q}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.$

Egyenlőség akkor van, ha $x_{i}=y_{i}$ minden i-re, azaz $b_{i}^{q}=\lambda a_{i}^{p}$, ahol $\lambda =B/A$.

Története

Először Rogers igazolt egy ekvivalens állítást 1888-ban, majd Hölder, szintén különböző, de ekvivalens formában, 1889-ben. Mai formájában Riesz Frigyes mondta ki 1910-ben.