Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség egy matematikai tétel, amely szerint nemnegatív valós számok számtani középértéke nem lehet kisebb, mint a számok mértani középértéke; egyenlőség is csak akkor állhat fenn, ha a szóban forgó számok megegyeznek.

A tétel megfogalmazása[szerkesztés]

Bármely nemnegatív valós számok esetén

és egyenlőség csak abban az esetben áll fenn, ha .

A tétel bizonyításai[szerkesztés]

Az n = 2 eset bizonyításai[szerkesztés]

Algebrai bizonyítás

Ekvivalens átalakításokkal







ami mindig teljesül.

Geometriai bizonyítás

Az egymás mögé illesztett és hosszúságú szakaszok, mint átmérő fölé, rajzoljunk félkörívet! Ennek sugara a két szám számtani közepe lesz. A két szám mértani közepének megfelel a szakaszok érintkezési pontjába állított és a körívig húzott merőlegesnek a hossza. Az ábráról leolvasható, hogy az utóbbi csak abban az esetben éri el a sugár hosszát, ha .

Számtani-mértani közép-egyenlőtlenség.png

Bizonyítások teljes indukcióval[szerkesztés]

1. bizonyítás

a.) A tételt esetre már bizonyítottuk.

b.) Igazoljuk, hogy ha -re igaz az állítás, akkor -re is igaz. Osszuk ugyanis fel a tetszőlegesen rögzített számot két darab -es csoportra; alkalmazzuk ezekre külön-külön az -re vonatkozó indukciós feltevést; majd második lépésben alkalmazzuk az esetre már bizonyított tételt:

Ezzel bizonyítottuk az állítást minden olyan esetre, amikor a tagok száma 2-hatvány ().

c.) Amennyiben nem 2-hatvány (), akkor az nemnegatív valós számokhoz vegyük hozzá az elemeket, és alkalmazzuk az így kapott számokra a már bizonyított állítást:

Ekvivalens átalakításokkal:





amit bizonyítani kellett.

d.) Végül igazoljuk a tétel egyenlőségre vonatkozó részét.
esetén az egyenlőség nyilvánvalóan teljesül, hiszen ekkor
Tegyük fel most, hogy például  ! Felhasználva, hogy ebben az esetben  :

tehát egyenlőség nem állhat fenn.

2. bizonyítás

a.) A tételt esetre már bizonyítottuk.

b.) Igazoljuk, hogy ha -re igaz az állítás, akkor -re is igaz, a már látott módon.

c.) Egyfajta fordított irányú indukciót alkalmazva igazoljuk, hogy ha -re igaz az állítás, akkor -re is teljesül, és így minden természetes számra fennáll. Az nemnegatív valós számokhoz vegyük ugyanis hozzá -dik elemként a számok számtani középértékét, az számot. Az indukciós feltevésből kiindulva, ekkor, ekvivalens átalakításokkal:







,

amit bizonyítani kellett.

d.) Végül igazoljuk a tétel egyenlőségre vonatkozó részét, a már látott módon.

3. bizonyítás

a.) A tételt esetre már bizonyítottuk.

b.) Igazoljuk, hogy ha -re igaz az állítás, akkor -re is igaz. Legyen ugyanis és , ekkor az indukciós feltevés miatt

Mivel , elegendő megmutatni, hogy

Ekvivalens átalakításokkal:









,

ami mindig teljesül, mert esetén a bal oldalon két pozitív, esetén pedig két negatív szám szorzata szerepel.

c.) Végül igazoljuk a tétel egyenlőségre vonatkozó részét, a már látott módon.

4. bizonyítás

a.) A tételt esetre már bizonyítottuk.

b.) Igazoljuk, hogy ha -re igaz az állítás, akkor -re is igaz. Indukcióval feltehetjük, hogy -re igaz az állítás és szám van adva: és . Jelöljük -val az számok számtani közepét. Az indukciós hipotézis miatt tudjuk, hogy . Be kell látnunk, hogy

teljesül minden számra. Az indukció miatt már tudjuk, hogy , ezért azt kell belátni, hogy azaz

teljesül. polinom, ami 0-ban pozitív, -ban nulla, végtelenben pedig végtelenhez tart. Így van minimuma, ahol deriváltja nulla. Kiszámolva:

ahonnan .

Richard Rado bizonyítása[szerkesztés]

Richard Rado indukciós bizonyítása erősebb állítást igazol. Tegyük fel, hogy számunk van, ezek számtani és mértani közepe és , az első szám számtani illetve mértani közepe pedig és . Ekkor

Ez elég, hiszen ha , akkor a képlet szerint . A képlet igazolásához -nel osztva, 0-ra redukálva és bevezetve az

új változót, a következő adódik:

Ezt kell tehát -ra igazolni. Ezt -re való indukcióval bizonyítjuk. Az eset igaz. Ha pedig -re igaz, akkor -re

Pólya György bizonyítása[szerkesztés]

Pólya György bizonyítása, ami az analízis mély fogalmait használja.

Tegyük fel tehát, hogy adottak az nemnegatív számok, számtani közepük .

Ha , akkor , () tehát az egyenlőség teljesül:

Tegyük fel, hogy a számok pozitívok:

Ekkor .

Legyen

függvény első deriváltja:

második deriváltja:

A második derivált mindenhol pozitív:

A egyenlet egyetlen megoldása:

Ezekből az következik, hogy függvénynek csak helyen van szélsőértéke és ott minimuma van. Továbbá .

Összefoglalva: Minden esetén és pontosan akkor igaz, ha .

Kifejtve:

és az egyenlőség csak akkor áll, ha .

Írjuk fel az említett egyenlőtlenséget az () számokra:

Összeszorozva ezeket azt kapjuk, hogy

A bal oldal miatt így alakítható:

és ezzel azt kaptuk, hogy , tehát készen vagyunk. Egyenlőség csak akkor áll, ha , azaz a számok egyenlőek. Ezt a bizonyítást Pólya György álmában találta.

Riesz Frigyes bizonyítása[szerkesztés]

Riesz Frigyes bizonyítása a következő:

Továbbra is feltesszük, hogy

1. Az összes szám megegyezik[szerkesztés]

esetén az egyenlőség nyilvánvalóan teljesül, hiszen ekkor .

2. A számok nem egyenlőek[szerkesztés]

Mivel nem lehet minden szám nulla, továbbá (), ezért a számtani középérték nyilván pozitív: .

Ha bármelyik , akkor a mértani középérték nulla, így az egyenlőtlenség teljesül:

A továbbiakban tegyük fel, hogy az összes szám pozitív:

A mértani középértéket jelöljük -el:

Amennyiben a számok nem egyenlőek, feltehető, hogy létezik közöttük legkisebb és legnagyobb elem. Az általánosság elvesztése nélkül tegyük fel, hogy ezek az és elemek:

Nyilván igaz a következő egyenlőtlenség:

Az eredeti sorozat alapján állítsunk elő egy második sorozatot, melynek első két tagja és :

A második sorozat számtani középértéke nem változik:

A második sorozat mértani középértéke:

A második mértani középértékben lévő szorzat az első mértani közép szorzatától az első két tényezőben különbözik, ezért ezeket hasonlítjuk össze:

-ból következik:

Ezek alapján:

A mértani középértékekben lévő szorzatok összehasonlítása:

Kihasználtuk, hogy minden elem pozitív: ,

Megmutattuk, hogy a módosított sorozat mértani középértéke nagyobb, mint az eredeti sorozat mértani középértéke:

A módosított sorozatban legalább egyszer megjelenik .

Ezt az eljárást véges sokszor ismételve egy olyan számsorozathoz jutunk, aminek minden eleme . Legyen ez a -ik sorozat:

Fent beláttuk, hogy a mértani középértékek monoton növekvő sorozatot alkotnak:

Ebből következik:

Tehát

, és figyelembevételével kijelenthetjük, hogy

Az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha az összes szám megegyezik.

.

A tétel fontosabb alkalmazásai[szerkesztés]

Pozitív valós szám és reciprokának összege nem kisebb 2-nél[szerkesztés]

A tétel segítségével bebizonyítható, hogy ha , akkor . Ugyanis egyenlőtlenség a tétel miatt igaz, hiszen a bal oldalon és számtani, míg a jobb oldalon a mértani közepük van. A jobb oldalon a gyök alatt 1 van, és mivel , ezért , és 2-vel szorozva . QED

A rendezési egyenlőtlenség helyettesítése több feladat megoldásában[szerkesztés]

Ebben a példában az egyenlőtlenség a rendezési egyenlőtlenséget helyettesíti:

Igazoljuk, hogy (a, b, c poz. valós számok). Bizonyítás: . A változók ciklikus permutálásával kapott három egyenlőtlenséget összeadva adódik az igazolandó. Leolvashatjuk az egyenlőség esetét is: a=b=c.

Az sorozat határértéke[szerkesztés]

Megmutatjuk, hogy . Valóban, hiszen a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján

Az sorozat korlátos és szigorúan monoton növekedő[szerkesztés]

Megmutatjuk, hogy . Valóban, a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján

Ebből -edikre emelés és rendezés után adódik a felső korlát. A szigorúan monoton növekedéshez azt kell igazolni, hogy . A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján

Egyenlőség pedig nem állhat fenn. Hasonlóan igazolható, hogy is korlátos és szigorúan monoton növekedő, ahol tetszőleges valós szám.

Azonos kerületű háromszögek[szerkesztés]

Azonos kerületű háromszögek között a szabályos háromszög területe a legnagyobb. Egy oldalú háromszög félkerülete legyen . A Héron-képlet szerint a háromszög területe vagyis az

függvényt kell maximalizálnunk rögzített mellett. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján

Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha .

A tétel súlyozott változata[szerkesztés]

A tétel súlyozott változata a következő. Ha nemnegatív valós számok, pozitív valós számok, amikre teljesül, akkor

Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha . Ennek speciális esete az eredeti tétel.

A tétel általánosításai[szerkesztés]

A tétellel kapcsolatos (matematika)történeti érdekességek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]