A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség egy matematikai tétel, amely szerint nemnegatív valós számok számtani középértéke nem lehet kisebb, mint a számok mértani középértéke; egyenlőség is csak akkor állhat fenn, ha a szóban forgó számok megegyeznek.
A tétel megfogalmazása[szerkesztés]
Bármely
nemnegatív valós számok esetén
![{\displaystyle {\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a6ffb97c070d4b5129bdde69381ef519613530)
és egyenlőség csak abban az esetben áll fenn, ha
.
Az n = 2 eset bizonyításai[szerkesztés]
Algebrai bizonyítás
Ekvivalens átalakításokkal




ami mindig teljesül.
Geometriai bizonyítás
Az egymás mögé illesztett
és
hosszúságú szakaszok, mint átmérő fölé, rajzoljunk félkörívet! Ennek sugara a két szám számtani közepe lesz. A két szám mértani közepének megfelel a szakaszok érintkezési pontjába állított és a körívig húzott merőlegesnek a hossza. Az ábráról leolvasható, hogy az utóbbi csak abban az esetben éri el a sugár hosszát, ha
.
Bizonyítások teljes indukcióval[szerkesztés]
1. bizonyítás
a.) A tételt
esetre már bizonyítottuk.
b.) Igazoljuk, hogy ha
-re igaz az állítás, akkor
-re is igaz.
Osszuk ugyanis fel a tetszőlegesen rögzített
számot két darab
-es csoportra; alkalmazzuk ezekre külön-külön az
-re vonatkozó indukciós feltevést; majd második lépésben alkalmazzuk az
esetre már bizonyított tételt:
Ezzel bizonyítottuk az állítást minden olyan esetre, amikor a tagok száma 2-hatvány (
).
c.) Amennyiben
nem 2-hatvány (
), akkor az
nemnegatív valós számokhoz vegyük hozzá az
elemeket, és alkalmazzuk az így kapott
számokra a már bizonyított állítást:
Ekvivalens átalakításokkal:


amit bizonyítani kellett.
d.) Végül igazoljuk a tétel egyenlőségre vonatkozó részét.
esetén az egyenlőség nyilvánvalóan teljesül, hiszen ekkor ![{\displaystyle {\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}=a={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/096a15c0f4169c7f6b0ab2a3d8265d6cfb140d5c)
Tegyük fel most, hogy például
! Felhasználva, hogy ebben az esetben
:
tehát egyenlőség nem állhat fenn.
2. bizonyítás
a.) A tételt
esetre már bizonyítottuk.
b.) Igazoljuk, hogy ha
-re igaz az állítás, akkor
-re is igaz, a már látott módon.
c.) Egyfajta fordított irányú indukciót alkalmazva igazoljuk, hogy ha
-re igaz az állítás, akkor
-re is teljesül, és így minden természetes számra fennáll. Az
nemnegatív valós számokhoz vegyük ugyanis hozzá
-dik elemként a számok számtani középértékét, az
számot. Az indukciós feltevésből kiindulva, ekkor, ekvivalens átalakításokkal:
![{\displaystyle A_{n}={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}+A_{n}}{n+1}}\geq {\sqrt[{n+1}]{a_{1}\cdots a_{n}A_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0ff329ebd9f5b9c4f90eaff464375af6b65cdfb)


,
amit bizonyítani kellett.
d.) Végül igazoljuk a tétel egyenlőségre vonatkozó részét, a már látott módon.
3. bizonyítás
a.) A tételt
esetre már bizonyítottuk.
b.) Igazoljuk, hogy ha
-re igaz az állítás, akkor
-re is igaz.
Legyen ugyanis
és
, ekkor az indukciós feltevés miatt
Mivel
, elegendő megmutatni, hogy
Ekvivalens átalakításokkal:




,
ami mindig teljesül, mert
esetén a bal oldalon két pozitív,
esetén pedig két negatív szám szorzata szerepel.
c.) Végül igazoljuk a tétel egyenlőségre vonatkozó részét, a már látott módon.
4. bizonyítás
a.) A tételt
esetre már bizonyítottuk.
b.) Igazoljuk, hogy ha
-re igaz az állítás, akkor
-re is igaz.
Indukcióval feltehetjük, hogy
-re igaz az állítás és
szám van adva:
és
. Jelöljük
-val az
számok számtani közepét. Az indukciós hipotézis miatt tudjuk, hogy
. Be kell látnunk, hogy
teljesül minden
számra.
Az indukció miatt már tudjuk, hogy
, ezért azt kell belátni, hogy
azaz
teljesül.
polinom, ami 0-ban pozitív,
-ban nulla, végtelenben pedig végtelenhez tart. Így van minimuma, ahol deriváltja nulla.
Kiszámolva:
ahonnan
.
Richard Rado bizonyítása[szerkesztés]
Richard Rado indukciós bizonyítása erősebb állítást igazol.
Tegyük fel, hogy
számunk van, ezek számtani és mértani közepe
és
, az első
szám számtani illetve mértani közepe pedig
és
. Ekkor
Ez elég, hiszen ha
, akkor a képlet szerint
. A képlet igazolásához
-nel osztva, 0-ra redukálva és bevezetve az
új változót, a következő adódik:
Ezt kell tehát
-ra igazolni.
Ezt
-re való indukcióval bizonyítjuk. Az
eset igaz.
Ha pedig
-re igaz, akkor
-re
Pólya György bizonyítása[szerkesztés]
Pólya György bizonyítása, ami az analízis mély fogalmait használja.
Tegyük fel tehát, hogy adottak az
nemnegatív számok, számtani közepük
.
Ha
, akkor
, (
) tehát az egyenlőség teljesül:
Tegyük fel, hogy a számok pozitívok:
Ekkor
.
Legyen
függvény első deriváltja:
második deriváltja:
A második derivált mindenhol pozitív:
A
egyenlet egyetlen megoldása:
Ezekből az következik, hogy
függvénynek csak
helyen van szélsőértéke és ott minimuma van. Továbbá
.
Összefoglalva: Minden
esetén
és
pontosan akkor igaz, ha
.
Kifejtve:
és az egyenlőség csak akkor áll, ha
.
Írjuk fel az említett egyenlőtlenséget az
(
) számokra:
Összeszorozva ezeket azt kapjuk, hogy
A bal oldal
miatt így alakítható:
és ezzel azt kaptuk, hogy
, tehát készen vagyunk. Egyenlőség csak akkor áll, ha
, azaz a számok egyenlőek. Ezt a bizonyítást Pólya György álmában találta.
Riesz Frigyes bizonyítása[szerkesztés]
Riesz Frigyes bizonyítása a következő:
Továbbra is feltesszük, hogy
1. Az összes szám megegyezik[szerkesztés]
esetén az egyenlőség nyilvánvalóan teljesül, hiszen ekkor
.
2. A számok nem egyenlőek[szerkesztés]
Mivel nem lehet minden szám nulla, továbbá
(
), ezért a számtani középérték nyilván pozitív:
.
Ha bármelyik
, akkor a mértani középérték nulla, így az egyenlőtlenség teljesül:
A továbbiakban tegyük fel, hogy az összes szám pozitív:
A mértani középértéket jelöljük
-el:
Amennyiben a számok nem egyenlőek, feltehető, hogy létezik közöttük legkisebb és legnagyobb elem. Az általánosság elvesztése nélkül tegyük fel, hogy ezek az
és
elemek:
Nyilván igaz a következő egyenlőtlenség:
Az eredeti sorozat alapján állítsunk elő egy második sorozatot, melynek első két tagja
és
:
A második sorozat számtani középértéke nem változik:
A második sorozat mértani középértéke:
A második mértani középértékben lévő szorzat az első mértani közép szorzatától az első két tényezőben különbözik, ezért ezeket hasonlítjuk össze:
-ból következik:
Ezek alapján:
A mértani középértékekben lévő szorzatok összehasonlítása:
Kihasználtuk, hogy minden elem pozitív:
,
Megmutattuk, hogy a módosított sorozat mértani középértéke nagyobb, mint az eredeti sorozat mértani középértéke:
A módosított sorozatban legalább egyszer megjelenik
.
Ezt az eljárást véges sokszor ismételve egy olyan számsorozathoz jutunk, aminek minden eleme
. Legyen ez a
-ik sorozat:
Fent beláttuk, hogy a mértani középértékek monoton növekvő sorozatot alkotnak:
Ebből következik:
Tehát
,
és
figyelembevételével kijelenthetjük, hogy
Az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha az összes szám megegyezik.
.
A tétel fontosabb alkalmazásai[szerkesztés]
Pozitív valós szám és reciprokának összege nem kisebb 2-nél[szerkesztés]
A tétel segítségével bebizonyítható, hogy ha
, akkor
. Ugyanis
egyenlőtlenség a tétel miatt igaz, hiszen a bal oldalon
és
számtani, míg a jobb oldalon a mértani közepük van. A jobb oldalon a gyök alatt 1 van, és mivel
, ezért
, és 2-vel szorozva
. QED
A rendezési egyenlőtlenség helyettesítése több feladat megoldásában[szerkesztés]
Ebben a példában az egyenlőtlenség a rendezési egyenlőtlenséget helyettesíti:
Igazoljuk, hogy
(a, b, c poz. valós számok).
Bizonyítás:
. A változók ciklikus permutálásával kapott három egyenlőtlenséget összeadva adódik az igazolandó. Leolvashatjuk az egyenlőség esetét is: a=b=c.
Az
sorozat határértéke[szerkesztés]
Megmutatjuk, hogy
. Valóban, hiszen a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján
Az
sorozat korlátos és szigorúan monoton növekedő[szerkesztés]
Megmutatjuk, hogy
. Valóban, a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján
Ebből
-edikre emelés és rendezés után adódik a felső korlát.
A szigorúan monoton növekedéshez azt kell igazolni, hogy
. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján
Egyenlőség pedig nem állhat fenn. Hasonlóan igazolható, hogy
is korlátos és szigorúan monoton növekedő, ahol
tetszőleges valós szám.
Azonos kerületű háromszögek[szerkesztés]
Azonos kerületű háromszögek között a szabályos háromszög területe a legnagyobb. Egy
oldalú háromszög félkerülete legyen
. A Héron-képlet szerint a háromszög területe
vagyis az

függvényt kell maximalizálnunk rögzített
mellett. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján
Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha
.
A tétel súlyozott változata[szerkesztés]
A tétel súlyozott változata a következő.
Ha
nemnegatív valós számok,
pozitív valós számok, amikre
teljesül, akkor
Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha
.
Ennek
speciális esete az eredeti tétel.
A tétel általánosításai[szerkesztés]
A tétellel kapcsolatos (matematika)történeti érdekességek[szerkesztés]