Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség egy matematikai tétel, amely szerint nemnegatív valós számok számtani középértéke nem lehet kisebb, mint a számok mértani középértéke; egyenlőség is csak akkor állhat fenn, ha a szóban forgó számok megegyeznek.

A tétel megfogalmazása[szerkesztés]

Bármely nemnegatív valós számok esetén

és egyenlőség csak abban az esetben áll fenn, ha .

A tétel bizonyításai[szerkesztés]

Az n = 2 eset bizonyításai[szerkesztés]

Algebrai bizonyítás

Ekvivalens átalakításokkal







ami mindig teljesül.

Geometriai bizonyítás

Az egymás mögé illesztett és hosszúságú szakaszok, mint átmérő fölé, rajzoljunk félkörívet! Ennek sugara a két szám számtani közepe lesz. A két szám mértani közepének megfelel a szakaszok érintkezési pontjába állított és a körívig húzott merőlegesnek a hossza. Az ábráról leolvasható, hogy az utóbbi csak abban az esetben éri el a sugár hosszát, ha .

Számtani-mértani közép-egyenlőtlenség.png

Bizonyítások teljes indukcióval[szerkesztés]

1. bizonyítás

a.) A tételt esetre már bizonyítottuk.

b.) Igazoljuk, hogy ha -re igaz az állítás, akkor -re is igaz. Osszuk ugyanis fel a tetszőlegesen rögzített számot két darab -es csoportra; alkalmazzuk ezekre külön-külön az -re vonatkozó indukciós feltevést; majd második lépésben alkalmazzuk az esetre már bizonyított tételt:

Ezzel bizonyítottuk az állítást minden olyan esetre, amikor a tagok száma 2-hatvány ().

c.) Amennyiben nem 2-hatvány (), akkor az nemnegatív valós számokhoz vegyük hozzá az elemeket, és alkalmazzuk az így kapott számokra a már bizonyított állítást:

Ekvivalens átalakításokkal:





amit bizonyítani kellett.

d.) Végül igazoljuk a tétel egyenlőségre vonatkozó részét.
esetén az egyenlőség nyilvánvalóan teljesül, hiszen ekkor
Tegyük fel most, hogy például  ! Felhasználva, hogy ebben az esetben  :

tehát egyenlőség nem állhat fenn.

2. bizonyítás

a.) A tételt esetre már bizonyítottuk.

b.) Igazoljuk, hogy ha -re igaz az állítás, akkor -re is igaz, a már látott módon.

c.) Egyfajta fordított irányú indukciót alkalmazva igazoljuk, hogy ha -re igaz az állítás, akkor -re is teljesül, és így minden természetes számra fennáll. Az nemnegatív valós számokhoz vegyük ugyanis hozzá -dik elemként a számok számtani középértékét, az számot. Az indukciós feltevésből kiindulva, ekkor, ekvivalens átalakításokkal:







,

amit bizonyítani kellett.

d.) Végül igazoljuk a tétel egyenlőségre vonatkozó részét, a már látott módon.

3. bizonyítás

a.) A tételt esetre már bizonyítottuk.

b.) Igazoljuk, hogy ha -re igaz az állítás, akkor -re is igaz. Legyen ugyanis és , ekkor az indukciós feltevés miatt

Mivel , elegendő megmutatni, hogy

Ekvivalens átalakításokkal:









,

ami mindig teljesül, mert esetén a bal oldalon két pozitív, esetén pedig két negatív szám szorzata szerepel.

c.) Végül igazoljuk a tétel egyenlőségre vonatkozó részét, a már látott módon.

4. bizonyítás

a.) A tételt esetre már bizonyítottuk.

b.) Igazoljuk, hogy ha -re igaz az állítás, akkor -re is igaz. Indukcióval feltehetjük, hogy -re igaz az állítás és szám van adva: és . Jelöljük -val az számok számtani közepét. Az indukciós hipotézis miatt tudjuk, hogy . Be kell látnunk, hogy

teljesül minden számra. Az indukció miatt már tudjuk, hogy , ezért azt kell belátni, hogy azaz

teljesül. polinom, ami 0-ban pozitív, -ban nulla, végtelenben pedig végtelenhez tart. Így van minimuma, ahol deriváltja nulla. Kiszámolva:

ahonnan .

Richard Rado bizonyítása[szerkesztés]

Richard Rado indukciós bizonyítása erősebb állítást igazol. Tegyük fel, hogy számunk van, ezek számtani és mértani közepe és , az első szám számtani illetve mértani közepe pedig és . Ekkor

Ez elég, hiszen ha , akkor a képlet szerint . A képlet igazolásához -nel osztva, 0-ra redukálva és bevezetve az

új változót, a következő adódik:

Ezt kell tehát -ra igazolni. Ezt -re való indukcióval bizonyítjuk. Az eset igaz. Ha pedig -re igaz, akkor -re

Pólya György bizonyítása[szerkesztés]

Pólya György bizonyítása, ami az analízis mély fogalmait használja, az exponenciális függvény következő tulajdonságára épül: ha valós, egyenlőség csak akkor áll, ha . Tegyük fel tehát, hogy adottak az pozitív számok, számtani közepük . Írjuk fel az említett egyenlőtlenséget az () számokra:

Összeszorozva ezeket azt kapjuk, hogy

A bal oldal miatt így alakítható:

és ezzel azt kaptuk, hogy , tehát készen vagyunk. Egyenlőség csak akkor áll, ha , azaz a számok egyenlőek. Ezt a bizonyítást Pólya György álmában találta.

Riesz Frigyes bizonyítása[szerkesztés]

Riesz Frigyes bizonyítása a következő: esetén az egyenlőség nyilvánvalóan teljesül, hiszen ekkor . Amennyiben a számok nem egyenlőek, feltehető, hogy létezik közöttük legkisebb és legnagyobb elem, például . Helyettesítsük ebben az esetben helyébe az , helyébe pedig az értéket. Ezzel a helyettesítéssel a számtani középérték nem változott, hiszen

,

a mértani középérték viszont

értékkel nőtt; továbbá a számok között most már az elem eggyel többször szerepel. Ezzel az eljárással véges sok lépésben valamennyi elemet -re cserélhetjük, miközben a számtani közép változatlan marad, a mértani közép pedig fokozatosan nő. Az eljárás végén elérjük a bizonyítás elején már tárgyalt egyenlőséget, és ezzel egyben a tételt is igazoltuk.

A tétel fontosabb alkalmazásai[szerkesztés]

Pozitív valós szám és reciprokának összege nem kisebb 2-nél[szerkesztés]

A tétel segítégégvel bebizonyítható, hogy ha , akkor . Ugyanis egyenlőtlenség a tétel miatt igaz, hiszen a bal oldalon a és számtani, míg a jobb oldalon a mértani közepük van. A jobb oldalon a gyök alatt 1 van, és mivel , ezért , és 2-vel szorozva . QED

A rendezési egyenlőtlenség helyettesítése több feladat megoldásában[szerkesztés]

Ebben a példában az egyenlőtlenség a rendezési egyenlőtlenséget helyettesíti:

Igazoljuk, hogy (a, b, c poz. valós számok). Bizonyítás: . A változók ciklikus permutálásával kapott három egyenlőtlenséget összeadva adódik az igazolandó. Leolvashatjuk az egyenlőség esetét is: a=b=c.

Az sorozat határértéke[szerkesztés]

Megmutatjuk, hogy . Valóban, hiszen a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján

Az sorozat korlátos és szigorúan monoton növekedő[szerkesztés]

Megmutatjuk, hogy . Valóban, a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján

Ebből -edikre emelés és rendezés után adódik a felső korlát. A szigorúan monoton növekedéshez azt kell igazolni, hogy . A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján

Egyenlőség pedig nem állhat fenn. Hasonlóan igazolható, hogy is korlátos és szigorúan monoton növekedő, ahol tetszőleges valós szám.

Azonos kerületű háromszögek[szerkesztés]

Azonos kerületű háromszögek között a szabályos háromszög területe a legnagyobb. Egy oldalú háromszög félkerülete legyen . A Héron-képlet szerint a háromszög területe vagyis az

függvényt kell maximalizálnunk rögzített mellett. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján

Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha .

A tétel súlyozott változata[szerkesztés]

A tétel súlyozott változata a következő. Ha nemnegatív valós számok, pozitív valós számok, amikre teljesül, akkor

Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha . Ennek speciális esete az eredeti tétel.

A tétel általánosításai[szerkesztés]

A tétellel kapcsolatos (matematika)történeti érdekességek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]