Rendezési egyenlőtlenség

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A rendezési egyenlőtlenség (más néven rendezési tétel) azt mondja ki, miszerint

minden

esetén, minden

permutációra.

Amennyiben a feltételek x-re és y-ra szigorúak, azon esetben az egyenlőtlenség:

Felhasználások[szerkesztés]

Számos egyenlőtlenség bizonyítható a rendezési tétel felhasználásával, például a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség, Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség és a Csebisev-összegegyenlőtlenség.

Bizonyítás[szerkesztés]

A rendezési egyenlőtlenség bizonyítható indirekt módon: n=2-re: (a2-a1)(b2-b1)0. Kibontás és átrendezés után éppen a kívánt egyenlőtlenség jön ki. Ezután tegyük fel, hogy a legnagyobb értéket nem akkor veszi fel az összeg, amikor minden i-re ai és bi van párosítva. Ekkor van legalább egy olyan ai - bj és ak - bl párosítás, ahol i<j és k>l. Ekkor azonban az n=2-re használt módszerrel látható, hogy az érték nem csökken, amennyiben az i - l és k - j párokat vesszük, amely azonban ellentmond annak, miszerint van nagyobb. A minimális tag is hasonló módon bizonyítható.

Források[szerkesztés]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Rearrangement inequality című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.
  • AOPSWiki