Csebisev-egyenlőtlenség

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A Csebisev-egyenlőtlenség a valószínűségszámítás egyik egyenlőtlensége. Nevét Pafnutyij Lvovics Csebisev orosz matematikusról kapta. Lényege, hogy jelentőséget ad a szórásnak, azaz arra ad becslést a szórás felhasználásával, hogy egy valószínűségi változó mekkora eséllyel tér el egy előre adott mértéknél jobban a várható értéktől.

Állítás[szerkesztés]

Formálisan, legyen véges szórású valószínűségi változó, várható értéke

és szórásnégyzete

.

Ekkor a valós számokra

.

A komplementer eseményre

.

A becslés jósága[szerkesztés]

A Csebisev-egyenlőtlenség éles abban az értelemben, hogy vannak valószínűségi változók, amelyekre a becslés egyenlőséggel teljesül.

Legyen például diszkrét valószínűségi változó, és

továbbá

,

ahol egy pozitív szám, és . Ekkor és , így a becslés

ami esetén egyenlőséggel teljesül, mivel ekkor .

Általában a becslés nem sokat mond. Például, ha , akkor a becslés triviális. A tétel mégis gyakran hasznos, mivel ehhez nem kell ismerni az eloszlást, és minden véges szórású valószínűségi változóra alkalmazható, még a normális eloszlástól távol állókra is. A korlátok is egyszerűen meghatározhatók.

Változatok[szerkesztés]

Standard eltéréssel[szerkesztés]

Ha a standard eltérés nem nulla, és pozitív, akkor a helyettesítéssel az egyenlőtlenség gyakran idézett alakját kapjuk:

.

Ez csak esetén ad érdemi becslést, mivel a esetben triviális, hiszen a valószínűségek sosem nagyobbak 1-nél.

Magasabb momentumokra[szerkesztés]

Az egyenlőtlenség magasabb momentumokra is általánosítható. Ezt nem ritkán szintén Csebisev-egyenlőtlenségnek nevezik,[1] A valószínűségszámításban ez inkább Markov-egyenlőtlenségként ismert.[2][3] Néhány szerző a Csebisev-Markov elnevezést használja.[4]

Az egyenlőtlenség azt mondja, hogy ha mértéktér, mérhető függvény, és , akkor teljesül, hogy:

.

Ez következik abból, hogy:

Ebből speciális esetben adódik az eredeti egyenlőtlenség, ha , és , akkor :.

Példák[szerkesztés]

1. példa[szerkesztés]

A példa kedvéért tegyük fel, hogy egy Wikipédián a cikkek hosszának várható értéke 1000 bájt, a szórás 200 bájt! Ekkor a Csebisev-egyenlőtlenség szerint a cikkek legalább 75%-ának hossza 600 és 1400 közé esik ().

A számítás:

2. példa[szerkesztés]

Az egyenlőtlenség egy másik alkalmazása az, hogy ha egy véges szórású valószínűségi változó várható értéke és szórása , akkor az értékek fele az intervallumba esik.

3. példa[szerkesztés]

Egy véletlen esemény valószínűséggel következik be. A kísérletet -szer végzik el, az esemény -szor következik be. Ekkor binomiális eloszlású, várható értéke , szórásnégyzete ; a bekövetkezés relatív gyakorisága , ennek várható értéke és szórásnégyzete . A Csebisev-egyenlőtlenség szerint a relatív gyakoriság eltérése a várható értéktől

,

ahol a második becslést a számtani és mértani közepek egyenlőtlenségéből következő adja.

Ez a forma már a nagy számok gyenge törvényének speciális esete, ami a relatív gyakoriságok sztochasztikus konvergenciáját mutatja a várható értékhez.

Ennél a példánál a Csebisev-egyenlőtlenség csak durva közelítést ad, pontosabb becslést a Csernov-egyenlőtlenség szolgáltat.

Alkalmazások[szerkesztés]

Bizonyítása[szerkesztés]

A legtöbb szerző a Markov-egyenlőtlenségből vezeti le. A Markov-egyenlőtlenség

ahol és .[6][7][8]

Önálló bizonyítás található például Wirthsnél.[9] Legyen

.

és jelölje az halmaz indikátorfüggvényét. Ekkor minden esetén teljesül az

egyenlőtlenség.

Ha , akkor a jobb oldal nulla, és az egyenlőtlenség teljesül. Ha , akkor definíció szerint a bal oldalon az halmaz definíciója szerint tartalmaz legalább egy értéket, így az egyenlőtlenség megint teljesül. A várható érték monotonitása miatt és a vele való számolás szabályai miatt a szórásnégyzet írható, mint

.

-tel osztva az egyenlőtlenség az állításban megadott alakot ölti.[10]

Története[szerkesztés]

Csebisev a diszkrét valószínűségi változókra bizonyította a tételt, és ezt 1867-ben jelentette meg Szentpéterváron és Párizsban, ott Joseph Liouville újságjában, aminek címe Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Azonban egy általánosabb bizonyítás már 1853-ban megjelent Irénée-Jules Bienaymé tollából, a Considérations a l’appui de la découverte de Laplace sur la loi de probabilité dans la méthode des moindres carrés. című lapban. Ez nem sokkal Csebisev cikkének megjelenése előtt újra közölte a cikket, és Csebisev elismerte Bienaymé elsőbbségét.[11][12]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. 1972, S. 84–85 & S. 227
  2. A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit. 1988, S. 572
  3. R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory. 1979, S. 33
  4. Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 1992, S. 128
  5. Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2002, S. 69 ff
  6. Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6 
  7. Hans-Otto Georgii. Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4., Berlin: Walter de Gruyter (2009). ISBN 978-3-11-021526-7 
  8. Klaus D. Schmidt. Maß und Wahrscheinlichkeit, 2., átnézett, Heidelberg Dordrecht London New York: Springer-Verlag (2011). ISBN 978-3-642-21025-9 
  9. H. Wirths: Der Erwartungswert – Skizzen zur Begriffsentwicklung von Klasse 8 bis 13. In: Mathematik in der Schule 1995/Heft 6, S. 330–343
  10. Ehrhard Behrends. Elementare Stochastik. Ein Lernbuch – von Studierenden mitentwickelt. Wiesbaden: Springer Spektrum (2013). ISBN 978-3-8348-1939-0 
  11. Chebyshev, Pafnutii Lvovich
  12. V.V. Sazonov: Bienaymé, Irenée-Jules

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Tschebyscheffsche Ungleichung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.