Normális eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A normális eloszlás sűrűségfüggvénye, ha
  m = 0 és σ² = 0,2
  m = 0 és σ² = 1 (standard normális eloszlás)
  m = 0 és σ² = 5
  m = –2 és σ² = 0,5

Az X valószínűségi változó normális eloszlást követ – vagy rövidebben: normális eloszlású – pontosan akkor, ha sűrűségfüggvénye

ahol a két paraméter, m és σR, valamint σ > 0. A normális eloszlást szokták Gauss-eloszlásnak vagy néha normál eloszlásnak is nevezni.

Azt, hogy az X valószínűségi változó normális eloszlást követ, a következő módon szoktuk jelölni:

Speciálisan, ha X ~ N(0, 1), akkor X-et standard normális eloszlásúnak (vagy sztenderd normális eloszlásúnak) nevezzük.

A fenti sűrűségfüggvény grafikonját alakja miatt szokás haranggörbének nevezni.

A normális eloszlást jellemző függvények[szerkesztés]

Eloszlásfüggvénye

Karakterisztikus függvénye

Sűrűségfüggvényének tulajdonságai[szerkesztés]

  • Maximumhelye m (de nem emiatt lesz az eloszlás várható értéke is m, az egybeesés a szimmetriának köszönhető).
  • Szimmetrikus a maximumhelyére vonatkozóan.
  • Folytonos függvény.

A normális eloszlást jellemző számok[szerkesztés]

Várható értéke

Szórása

Momentumai

Abszolút momentumai

Ferdesége

Lapultsága

Normális eloszlású valószínűségi változó néhány fontosabb tulajdonsága[szerkesztés]

  • Ha X ~ N(m, σ²), akkor bármilyen nullától különböző valós a és bármilyen valós b szám esetén az Y = aX + b valószínűségi változó is normális eloszlást követ, pontosabban Y ~ N(am + b, a²σ²).
    Az eloszlás eme tulajdonságán alapul a standardizálás módszere: ha X ~ N(m, σ²), akkor (Xm)/σ ~ N(0, 1).
  • Normális eloszlású független valószínűségi változók összege is normális eloszlású. Pontosabban ha X1 ~ N(m1, σ1²) és X2 ~ N(m2, σ2²) független valószínűségi változók, akkor X1 + X2 ~ N(m1 + m2, σ1² + σ2²).
  • Fordítva: ha X1 és X2 független valószínűségi változó, és X1 + X2 normális eloszlású, akkor X1 is és X2 is normális eloszlású.

Érdekességek[szerkesztés]

A korábbi 10 márkás bankjegy Gauss portréjával

1989-ben a Német Szövetségi Bank olyan 10 márkás bankjegyet bocsátott ki, melyen Gauss képe mellett a standard normális eloszlás sűrűségfüggvényének grafikonja és képlete is látható. Ez a bankjegy 2001-ig volt forgalomban, amikor is Németország áttért az euróra.

Lásd még[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

  • Fazekas István (szerk.): Bevezetés a matematikai statisztikába (Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 2000)
  • Lukács Ottó: Matematikai statisztika (Műszaki, 2002) ISBN 963-16-3036-6

További információk[szerkesztés]

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Normális eloszlás témájú médiaállományokat.