Sűrűségfüggvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search
Annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó értéke és közé esik, megfelel a valószínűségi sűrűségfüggvény és közötti szakaszának görbe alatti területének

A valószínűségszámításban az X valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f pontosan akkor, ha az X-nek az F-fel jelölt eloszlásfüggvénye előállítható a következő alakban:

Szemben a valószínűségekkel, a sűrűségfüggvénynek felvehetnek 1-nél nagyobb értéket is. A valószínűségi eloszlások sűrűségfüggvényeken alapuló konstrukciója szempontjából nem a sűrűségfüggvény által felvett érték a fontos, hanem az integrál.

A sűrűségfüggvény általánosítása az általánosított sűrűségfüggvény, ahol is a Lebesgue-mértékre vonatkozó sűrűségfüggvények a valószínűségi sűrűségfüggvények. A továbbiakban sűrűségfüggvényen valószínűségi sűrűségfüggvényt értünk, kivéve ha azt máshogy jelezzük.

Diszkrét esetben az események valószínűsége megkapható a tartalmazott elemi események valószínűségeinek összegzésével. Folytonos esetben azonban ez nem tehető meg, mivel a nullaszor végtelen értéke bármi lehet. Például két ember csak ritkán pont egyforma magas, eltér egymástól egy hajszállal vagy csak néhány atomnyival. A sűrűségfüggvénnyel tetszőleges intervallum valószínűsége meghatározható, így a nullaszor végtelen probléma megkerülhető.

Definíció[szerkesztés]

A sűrűségfüggvény definiálható valószínűségeloszlás alapján, vagy pedig a valószínűségeloszlást lehet levezetni a sűrűségfüggvényből.

Az önálló definícióban szerepel az tulajdonság, a nemnegativitás, az integrálhatóság és a normáltság, azaz a teljes -en vett integrál egy. Ekkor definiálható hozzá

valószínűségeloszlás.

Megfordítva, levezethető valószínűségi mértékből. Ekkor, ha az függvényre minden esetén

illetve

akkor sűrűségfüggvény.

Tulajdonságai[szerkesztés]

Létezés[szerkesztés]

Különböző lognormális eloszlások sűrűségfüggvényei, ahol
Különböző lognormális eloszlások eloszlásfüggvényei, ahol

Általános tulajdonságok[szerkesztés]

  • A definícióból nyilvánvalóan látszik, hogy
bármely sűrűségfüggvény esetén. Ám az is megmutatható, hogy egy tetszőleges f mérhető függvény pontosan akkor sűrűségfüggvény (vagyis pontosan akkor található hozzá olyan valószínűségi változó, melynek sűrűségfüggvénye) ha f(x) ≥ 0 majdnem mindenütt és a fenti tulajdonság teljesül rá.
  • Speciálisan

a két definíció egyenértékű.

Kapcsolat az eloszlásfüggvénnyel[szerkesztés]

Ha az eloszlásfüggvény folytonos, és legfeljebb megszámlálható végtelen pontban nem differenciálható, akkor van sűrűségfüggvénye, és:

Más jelöléssel, F '(x)=f(x), vagyis az eloszlásfüggvényből egyszerű deriválással kapjuk a sűrűségfüggvényt.

Vannak olyan eloszlások, mint a Cantor-eloszlás, amelyek eloszlásfüggvénye folytonos, és majdnem mindenütt differenciálható, de nincs sűrűségfüggvényük. A folytonos eloszlások eloszlásfüggvénye majdnem mindenütt differenciálható, de a derivált csak az abszolút folytonos részt foglalja magába.

Megfordítva, a sűrűségfüggvényből is kiszámítható az eloszlásfüggvény (abszolút folytonos) része:

ami azonnal következik a definícióból.

Sűrűségfüggvény részintervallumon[szerkesztés]

Ha egy valószínűségi változó csak egy részintervallumból vesz fel elemeket, akkor a sűrűségfüggvény választható úgy, hogy az intervallumon kívül a 0 értéket veszi fel. Erre példa az exponenciális eloszlás, ahol . Egy alternatív lehetőség az értelmezési tartomány leszűkítése, azaz definiálása. Ekkor az eloszlás sűrűségét az intervallumon adja meg a Lebesgue-mérték szerint.

Nemlineáris transzformáció[szerkesztés]

A nemlineáris transzformáció esetén

.

Konvolúció[szerkesztés]

Abszolút folytonos eloszlás esetén a valószínűségeloszlások konvolúciója visszavezethető a sűrűségfüggvények konvolúciójára. Ha abszolút folytonos eloszlások az és eloszlásfüggvényekkel, akkor :.

Itt a és konvolúciója, és az és konvolúciója. Tehát a konvolúció és a sűrűségfüggvény képzése felcserélhető.

Ez a tulajdonság közvetlenül átvihető független valószínűségi változók összegére. Legyenek valószínűségi változók az és sűrűségfüggvényekkel, ekkor

.

Tehát az összeg sűrűségfüggvénye megegyezik a tagok sűrűségfüggvényeinek konvolúciójával.

Példák[szerkesztés]

Az exponenciális eloszlás sűrűségfüggvénye különböző paraméterekkel

Az exponenciális eloszlás abszolút folytonos eloszlás, sűrűségfüggvénye

ahol valós paraméter. Ha , akkor az helyen 1-nél nagyobb értéket vesz fel. Az, hogy sűrűségfüggvény, adódik az exponenciális függvény elemi integrációs szabályából, a nemnegativitás közvetlenül következik a hatványozás szabályaiból, és az integrálhatóság is bizonyítható.

A véges intervallumon egyenletes eloszlásnak is van sűrűségfüggvénye, például a intervallumon. Az általa megadott valószínűség

, ha és

Az intervallumon kívüli események valószínűsége nulla. Az sűrűségfüggvény megfelel az

feltételeknek. Az alkalmas függvény, amit a intervallumon kívül nulla folytat az integrálhatóság kedvéért. Ezzel a folytonos egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénye:

Egy másik megfelelő függvény:

A két függvény egy Lebesgue-nullmértékű halmazon különbözik csak, és mindkettő megfelel a követelményeknek. Mivel egy tetszőleges pontban meg lehet változtatni az értéket, azért egy valószínűségeloszlásnak legalább kontinuum sok sűrűségfüggvénye van. Az integrálok értéke nem változik, tehát a módosított sűrűségfüggvény is sűrűségfüggvény marad.

Megjegyzések a definícióhoz[szerkesztés]

Szigorúan véve a definícióban egy Lebesgue-mérték szerinti integrál szerepel, amit úgy kellene jelölni, hogy . Többnyire azonban a Riemann-integrál is megfelel, emiatt szoktak a definícióban integrált írni. A különbséget az jelenti, hogy a Riemann-integrálnak nincs mértékelméleti háttere, míg a Lebesgue-integrálnak van.

A német szakirodalom meg is különbözteti a két eljárást. Amiből a valószínűségeloszlást származtatják, az a Wahrscheinlichkeitsdichte, a másik a Verteilungsdichte.[1]

Létezés és egyértelműség[szerkesztés]

Valószínűségeloszlásból származtatva[szerkesztés]

A valószínűségeloszlással definiált esetben a valószínűségi mértékből származik a valószínűségeloszlás. A normáltságból következik . Mivel a valószínűségek nem lehetnek negatívak, a függvény sehol se negatív. a σ-additív tulajdonság következik a majorált konvergencia tételéből, a sűrűségfüggvénnyel mint majoránssal és az

függvénysorozattal, ahol az halmazok páronként diszjunktak, és az halmaz karakterisztikus függvénye.

Az egyértelműség következik a mérték egyértelműségének tételéből, és a Borel-σ-algebra generátorainak metszetstabil tulajdonságából, ami itt a zárt intervallumok.

A másik definíció alapján[szerkesztés]

A Radon-Nikodým-tétellel belátható, hogy adott valószínűségeloszláshoz létezik sűrűségfüggvény:

Ha valószínűségeloszlás, akkor akkor és csak akkor van sűrűségfüggvénye, ha abszolút folytonos a Lebesgue-mértékre. Ez azt jelenti, hogy ha , akkor .

Ez nem zárja ki, hogy több sűrűségfüggvény létezik, de mindegyik csak Lebesgue-nullmértékű halmazon különbözik a többitől, azaz majdnem mindenütt egyenlőek.

Emiatt a diszkrét valószínűségeloszlásoknak nincs sűrűségfüggvénye, mivel egy alkalmas elemre mindig teljesül, hogy . Ezeknek a ponthalmazoknak azonban a Lebesgue-mértéke nulla, vagyis a diszkrét valószínűségeloszlások nem abszolút folytonosak.

A valószínűségek számítása[szerkesztés]

Alapok[szerkesztés]

Adva legyen az sűrűségfüggvény, ekkor az intervallum valószínűsége

.

Itt mindegy, hogy az intervallum zárt-e, vagy nyílt, félig nyílt, mivel a folytonos valószínűségi változók esetén egy pont valószínűsége nulla. Formálisan,

Bonyolultabb halmazok esetén az egyes intervallumokon vett integrálokat kell összeadni. Ekkor a képlet

.

Alkalmazható a σ-additivitás is, ami azt jelenti, hogy a páronként diszjunkt intervallumok, és

az összes egyesítése, akkor

.

ahol . Ez érvényes véges sok és végtelen számú intervallumra. Diszjunkt intervallumok valószínűsége összeadódik.

Példa[szerkesztés]

Egy callcenterben két hívás között eltelt idő megközelítően exponenciális eloszlású. Legyen ennek paramétere ! Ekkor a sűrűségfüggvény

.

Az x tengely beosztását a paraméter határozza meg úgy, hogy idő alatt várható értékben egy hívás fut be. Annak a valószínűsége, hogy a következő hívás egy és két időegység után következik be:

.

Tegyük fel, hogy egy munkatárs öt időegység hosszú szünetet tart! Annak a valószínűsége, hogy közben nem érkezik hívás, egyenlő azzal a valószínűséggel, hogy a következő hívásig öt vagy több időegység telik el. Ennek valószínűsége

Jellemző számadatok meghatározása[szerkesztés]

Egy valószínűségi változó jellemző számadatai közül több is megadható a valószínűségi változó sűrűségfüggvényének segítségével.

Módusz[szerkesztés]

Egy valószínűségeloszlás illetve valószínűségi változó módusza definiálható a sűrűségfüggvénnyel: Ahol a sűrűségfüggvénynek maximuma van, ott van a módusz. Formálisan, akkor módusza az sűrűségfüggvényű valószínűségi változónak, ha az hely lokális maximumhely.[2] ez azt jelenti, hogy

van , hogy minden helyen.

Egy sűrűségfüggvénynek több lokális maximumhelye is lehet, ekkor az eloszlás bimodális vagy multimodális. Az egyenletes eloszlás esetén minden hely módusz.

Medián[szerkesztés]

A mediánt rendszerint az eloszlásfüggvénnyel és kvantilisekkel definiálják. Abszolút folytonos eloszlás mediánja számítható sűrűségfüggvénnyel: az eloszlás vagy a valószínűségi változó mediánja, ha:

és

Folytonosság miatt mindig létezik, de az egyértelműség nem garantált, például csak két diszjunkt intervallum unióján nullától különböző értékeket felvevő szimmetrikus sűrűségfüggvény esetén.

Várható érték[szerkesztés]

Ha az valószínűségi változó sűrűségfüggvénye , akkor várható értéke:

,

ha az integrál konvergens. Ha nem konvergens, akkor a valószínűségi változónak nincs várható értéke.

Szórásnégyzet és szórás[szerkesztés]

Ha az valószínűségi változó sűrűségfüggvénye , és várható értéke , akkor szórásnégyzete

.

Vagy az eltolási tétellel:

.

Ezek a képletek csak akkor használhatók, ha az integrálok konvergensek. A szórás a szórásnégyzetből számítható gyökvonással, de sokszor elég a szórásnégyzetet használni.

Magasabb momentumok, ferdeség és lapultság[szerkesztés]

A fent leírt nemlineáris transzformáció felhasználásával közvetlenül kiszámíthatók a további momentumok. Így ha az valószínűségi változó sűrűségfüggvénye , akkor:

és a k-adik abszolút momentum

.

Ha várható értéke , akkor a centrális momentumok:

és az abszolút centrális momentumok:

.

Példa[szerkesztés]

Példaként tekintsük az exponenciális eloszlást:

ahol paraméter!

Az exponenciális eloszlásnak mindig módusza a nulla. A intervallumon a sűrűségfüggvény konstans nulla, és az intervallumon szigorúan monoton csökken, így a 0 helyen lokális maximum van. A monotóniából következik, hogy nincs több lokális maximum, a módusz egyértelmű.

A centrális momentumokból meghatározható a ferdeség és a lapultság.

A medián meghatározásához elég a félegyenesen integrálni, mivel a negatív számokon a függvény értéke konstans nulla:

.

Rövid számolással

.

Ez teljesíti a mediánra vonatkozó második egyenlőséget is, tehát valóban medián.

A várható érték meghatározható parciális integrállal:

.

A parciális integrál kétszeri alkalmazásával számítható a szórásnégyzet is.

További példák[szerkesztés]

Legyen most az sűrűségfüggvény , ha ; ha ; és ha ! Ekkor valóban sűrűségfüggvény, mivel nemnegatív teljes -en, továbbá

.

Minden esetén:

Az eloszlásfüggvény

Ha valószínűségi változó, aminek sűrűségfüggvénye , akkor például

.

Az változó várható értéke

.

Többdimenziós sűrűségfüggvény[szerkesztés]

Többdimenziós valószínűségi változókra is definiálható sűrűségfüggvény, ha eloszlásuk abszolút folytonos. Legyen az valószínűségi vektorváltozó értékű; ekkor az (Lebesgue-mérték szerinti) sűrűségfüggvénye, ha

minden Borel-halmazra.

Speciálisan, az dimenziós intervallumokra, ahol valós számok:

.

Valószínűségi vektorváltozóknak is definiálható eloszlásfüggvény. Itt , ahol az egyenlőtlenség komponensenként értendő. Ekkor az teret a [0,1] intervallumra képezi úgy, hogy

.

Ha n-szer folytonosan differenciálható, akkor a sűrűségfüggvény parciális differenciálással megkapható:

Az komponensek sűrűségfüggvényei a peremeloszlások többi komponens szerinti integrálásával kaphatók.

Továbbá: Ha értékű sűrűségfüggvényes valószínűségi vektorváltozó, akkor a következők ekvivalensek:

  • Az sűrűségfüggvényének alakja , ahol az sűrűsége.
  • Az valószínűségi változók függetlenek.

Becslés diszkrét adatok alapján[szerkesztés]

Gyakorisági sűrűség (hisztogram)

Folytonosnak tekintett eloszlásból származó, de diszkréten mért adatok, például testmagasság centiméterben mérve reprezentálhatók gyakorisági sűrűségfüggvényként. Magsűrűségbecslőkkel a sűrűségfüggvény folytonos függvénnyel becsülhető. Az ehhez használt magnak a mérési hibához kell alkalmazkodnia.

Legyen approximáló véletlen változó, az jellemző mennyiségekkel és valószínűségekkel. Az diszkrét approximáló valószínűségi változó határátmenete az folytonos valószínűségi változóba valószínűségi hisztogrammal modellezhető. Ehhez lehetséges értékeit a szakaszokra osztujk fel. Ezek a hosszú intervallumok és a hozzájuk tartozó osztályközepek a sűrűségfüggvény approximációját szolgálják, szemléletesen a valószínűségi hisztogrammal, ami az osztályközepekre emelt téglalapokból áll. Kis esetén felfogható a folytonos valószínűségi változó approximációjaként. Minél rövidebbek a szakaszok, annál jobban közelíti a folytonos valószínűségi változót. Az határátmenet minden intervallumra a következőhöz vezet:[3]

a szórásnégyzet esetén
a várható érték esetén
.

A sűrűségfüggvény általánosítása[szerkesztés]

Létezik a matematikai statisztikában a sűrűségfüggvénynek egy általánosítása, az általánosított sűrűségfüggvény, mely a valószínűségi mező egy általánosításán, a statisztikai mezőn értelmezett, s definíciójában olyan mély mértékelméleti eszközöket használ, mint a Radon–Nikodym-derivált. Általánosított sűrűségfüggvénye minden valószínűségi változónak van, s abszolút folytonos esetben a sűrűségfüggvénnyel, míg diszkrét esetben a P függvénnyel azonos.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Georgii: Stochastik. 2009, S. 19, 24.
  2. A.V. Prokhorov: Mode
  3. L. Fahrmeir, R. Künstler u. a.: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8. Auflage. Springer 2016, S. 262 ff.

Források[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.