Sűrűségfüggvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az X valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f pontosan akkor, ha az X-nek az F-fel jelölt eloszlásfüggvénye előállítható a következő alakban:

A sűrűségfüggvény tulajdonságai[szerkesztés]

  • Diszkrét eloszlású valószínűségi változóknak nincs sűrűségfüggvénye.
  • Sűrűségfüggvénye csak folytonos eloszlású valószínűségi változónak lehet.
  • Még a folytonos eloszlású valószínűségi változók közül sincs mindnek sűrűségfüggvénye, csak egy speciális osztályuknak, az abszolút folytonos valószínűségi változóknak, melyeket pontosan azzal a tulajdonsággal definiálunk, hogy van sűrűségfüggvényük.
  • A definícióból nyilvánvalóan látszik, hogy
bármely sűrűségfüggvény esetén. Ám az is megmutatható, hogy egy tetszőleges f mérhető függvény pontosan akkor sűrűségfüggvény (vagyis pontosan akkor található hozzá olyan valószínűségi változó, melynek sűrűségfüggvénye) ha f(x) ≥ 0 majdnem mindenütt és a fenti tulajdonság teljesül rá.
  • A definícióból adódik, hogy ha X valószínűségi változónak van sűrűségfüggvénye, akkor az eloszlásfüggvénye és a sűrűségfüggvénye között a következő kapcsolat áll fenn: F '(x)=f(x), vagyis az eloszlásfüggvényből egyszerű deriválással kapjuk a sűrűségfüggvényt.
  • A sűrűségfüggvény ismeretében több, a valószínűségi változóval kapcsolatos esemény valószínűsége megadható. Bármely A Borel-halmaz esetén
  • Speciálisan

A sűrűségfüggvény általánosítása[szerkesztés]

Létezik a matematikai statisztikában a sűrűségfüggvénynek egy általánosítása, az általánosított sűrűségfüggvény, mely a valószínűségi mező egy általánosításán, a statisztikai mezőn értelmezett, s definíciójában olyan mély mértékelméleti eszközöket használ, mint a Radon–Nikodym-derivált. Általánosított sűrűségfüggvénye minden valószínűségi változónak van, s abszolút folytonos esetben a sűrűségfüggvénnyel, míg diszkrét esetben a P függvénnyel azonos.

Források[szerkesztés]

  • Bognár J.-né – Mogyoródi J. – Prékopa A. – Rényi A. – Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
  • Lukács O. (2002): Matematikai statisztika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.