Valószínűségi mező

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A valószínűségi mező a valószínűségszámítás egyik legfontosabb fogalma. Olyan folyamatokat (vagy „kísérleteket”) modellez, amelyeknek köze van a véletlenhez.

Definíció[szerkesztés]

A rövid definíció szerint a valószínűségi mező egy olyan mértéktér, ahol a teljes tér mértéke 1. Bővebben:

Legyen tetszőleges halmaz. Ha a hatványhalmaz egy részhalmaza σ-algebra, azaz

  • , vagyis az üreshalmaz -beli,
  • minden halmaz esetén , vagyis az -ra vett komplementer halmaz is -beli, és
  • minden halmazsorozat esetén ,

és létezik egy mérték, hogy

  • ,
  • , és
  • minden páronként diszjunkt halmazokból álló halmazsorozat esetén ,

akkor az hármast valószínűségi mezőnek nevezzük.

Szerencsekerék modellezése valószínűségi mezővel: az összes lehetséges kimenetel itt . Az alaphalmaz részhalmazainak valószínűségét szektora szögének a teljesszöghöz (360°) viszonyított nagysága adja meg

Ez a definíció azt is jelenti, hogy a valószínűség fogalma tisztán axiomatikus felírással is kezelhető, és nemcsak empirikusan – ahogy azt von Mises leírta. Alapvető az a gondolat, hogy a véletlen kísérlet összes kimenetét egymást kizáró eseményekként adjuk meg. Például egy szerencsekerék csak egy pozícióban állhat meg, ami egy adott null pozícióhoz képest mérhető. A mellékelt kép által mutatott példában csak az 1, 2, 3 számokhoz tartozó tartományokban állhat meg; egy mechanizmus akadályozza meg, hogy pont két szám határára essen (aminek egyébként is nulla a valószínűsége). Emiatt nem következhet be két elemi esemény, ezek diszjunktak. Ez alapozza meg az összeadási tétel kiterjesztését: Véges sok, egymást kölcsönösen kizáró esemény együttes valószínűsége az egyes események valószínűségeinek összege.

Elnevezések[szerkesztés]

Az halmaz eseménytér.

Az elemeket kimeneteleknek, néha elemi eseményeknek nevezzük; bár elemi eseménynek inkább az ezeket egyetlen elemként tartalmazó halmazokat célszerű nevezni, hiszen halmazokon értelmezett.

Az -algebra eseményalgebra.

Az halmazok események.

Az esemény az esemény komplementere.

Az esemény biztos esemény, mert .

Az esemény lehetetlen esemény, mert .

A mérték valószínűség.

Példák[szerkesztés]

Példák diszkrét valószínűségi mezőre[szerkesztés]

Általánosabban, diszkrét valószínűségi mezőről van szó, ha az eseménytér véges vagy megszámlálhatóan végtelen, és eseményalgebrája a hatványhalmaz, vagyis . Ebben az esetben nincsen szükség a σ-algebra fogalmának bevezetésére, diszkrét valószínűségi mezőről beszélhetünk.[1]

Klasszikus valószínűségi mező[szerkesztés]

Legyen véges halmaz, és minden halmaz esetén . Ekkor az valószínűségi mezőt klasszikus valószínűségi mezőnek nevezzük.

Akkor is beszélnek diszkrét valószínűségi mezőről, ha az eseménytér tetszőleges, de a valószínűségek mindig egy véges vagy megszámlálhatóan végtelen halmaz elemeit veszik fel, azaz ennek a halmaznak 1 a valószínűsége.[2]

Bernoulli mező[szerkesztés]

Ha az alaphalmaz, a valószínűségek pedig , akkor Bernoulli-mezőrtől van szó.[3]

Poisson-eloszlásból származtatott[szerkesztés]

A természetes számok halmaza, mint eseménytér, azaz , minden természetes szám lehetséges kimenetel.

Az események ennek véges vagy megszámlálható végtelen részhalmazai.

Valószínűségi mérték lehet a Poisson-eloszlás. A szám valószínűsége , ahol pozitív paraméter.

Ezzel diszkrét valószínűségi tér.

Példák nem diszkrét valószínűségi mezőre[szerkesztés]

Geometriai valószínűségi mező[szerkesztés]

Legyen olyan Lebesgue mérhető halmaz, amelynek Lebesgue-mértéke véges, az halmaz Lebesgue mérhető részhalmazainak -algebrája és minden esemény esetén . Ekkor az valószínűségi mezőt geometriai valószínűségi mezőnek nevezzük.

Exponenciális eloszlásból származtatott[szerkesztés]

Az eseménytér a nemnegatív számok halmaza.

Az események az Borel-részhalmazai, azaz . Ezzel minden nyílt, zárt, félig nyílt intervallum, ezek egyesítése, metszete és komplementere esemény.

Valószínűségi mérték lehet az exponenciális eloszlás, ami minden Borel-halmazhoz a

valószínűséget rendeli, ahol paraméter.

Ezzel valószínűségi mező.

További példák[szerkesztés]

  • Indukált valószínűségi mező, ami egy valószínűségi változó képtere, ellátva a valószínűségi változó eloszlásával mint valószínűséggel.
  • Teljes valószínűségi mező, teljes mértéktér a valószínűséggel mint mértékkel.
  • Szorzattér
  • Szűrt valószínűségi mező, valószínűségi mező szűrővel.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Ulrich Krengel. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt, 8., Wiesbaden: Vieweg (2005). ISBN 3-8348-0063-5 
  2. David Meintrup, Stefan Schäffler. Stochastik. Theorie und Anwendungen. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag (2005). ISBN 978-3-540-21676-6 
  3. Ehrhard Behrends. Elementare Stochastik. Ein Lernbuch – von Studierenden mitentwickelt. Wiesbaden: Springer Spektrum (2013). ISBN 978-3-8348-1939-0 

Források[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Wahrscheinlichkeitsraum című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.