Egyenletes eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Az egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénye

A valószínűség-számításban egy X folytonos valószínűségi változót az [a,b] intervallumon egyenletes eloszlásúnak nevezünk, ha sűrűségfüggvénye:


  f(x)=\begin{cases}
  \frac{1}{b - a} & \mathrm{ha}\ a \le x \le b, \\[8pt]
  0 & \mathrm{ha}\ x<a\ \mathrm{vagy}\ x>b
  \end{cases}

A véletlengenerátorokat úgy tervezik, hogy egy adott intervallumon minél inkább megközelítsék az egyenletes eloszlást.

Beszélnek diszkrét egyenletes eloszlásról is. Ilyen például a szabályos dobókockával dobott számok eloszlása.

Jellemző függvényei[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egyenletes eloszlás eloszlásfüggvénye

Eloszlásfüggvénye


  F(x)=\begin{cases}
  0 & \mathrm{ha}\ x<a, \\
  \frac{x - a}{b - a} & \mathrm{ha}\ a \le x \le b, \\
  1 & \mathrm{ha}\ x>b\\
  \end{cases}

Karakterisztikus függvénye


\varphi (t)
=
\frac{e^
{
it{\frac{a+b}{2}}
\sin{t\frac{b-a}{2}}
}}{t\frac{b-a}{2}}

A sűrűségfüggvényének tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Szimmetrikus az (a+b)/2 pontra.
  • Az [a,b] intervallum minden pontja maximumhely.
  • A konvolúció kisimítja az eloszlásfüggvényt.
    • Két egyenletes eloszlású valószínűségi változó konvolúciója háztetőfüggvényt ad.
    • Három egyenletes eloszlású függvény konvolúciója már sima.

Jellemző mennyiségei[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Várható értéke

\bold E(X)=\frac{a+b}{2}

Szórása

\bold D(X)=\frac{b-a}{\sqrt{12}}

Momentumai

A páratlan centrális momentumai nullával egyenlőek, a párosak


\bold E (X -\bold E(X))^{2r}
=
\left(\frac{b-a}{2}\right)^{2r}(2r+1)^{-1}

Ferdesége


\beta_1(X)=0
\,

Lapultsága


\beta_2(X)=-1,2
\,

Diszkrét egyenletes eloszlás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Be lehet vezetni diszkrét egyenletes eloszlást is. Ekkor a felvehető értékek halmaza nem egy intervallum, hanem különálló számok véges halmaza, amik mind ugyanolyan valószínűséggel adódnak. Ilyen például a szabályos kockadobás eredménye. Az értékek halmaza {1,2,3,4,5,6}, és mindegyiknek 1/6 a valószínűsége. Ha a kocka nem szabályos, és valamelyik számnak nagyobb a valószínűsége, mint a többinek, akkor a dobás eredménye nem lesz egyenletes eloszlású.

Többdimenziós egyenletes eloszlás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egydimenziós esethez hasonlóan definiálható a magasabb dimenziós egyenletes eloszlás.

Legyen G véges mérhető halmaz. Akkor mondjuk, hogy X egyenletes eloszlású valószínűségi változó G-n, ha G bármely mérhető részhalmazára annak mértékével arányos valószínűséggel esik.

Jelölje G mértékét (területét, térfogatát) λ(G)! Ekkor X sűrűségfüggvénye:

f(x)=\begin{cases}
  \frac 1{\lambda(G)} & \mathrm{ha}\ x \in G, \\
  0 & \mathrm{egy\acute{e}bk\acute{e}nt} \\
\end{cases}

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Camera-photo.svg

Ennek a szócikknek szüksége lenne egy vagy több képre a cikk minőségének feljavítása érdekében.