Konvolúció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Convanim expminus gauss hu.gif

Egy exponenciális sűrűségfüggvény és egy 0,564-re normált Gauss-görbe konvolúciója.
Az animáció interaktív (lassítható, gyorsítható, megállítható) változatát lásd a Külső
hivatkozások között. A Gauss-görbe középtengelyében látszó szaggatott vonal azt
mutatja, hogy melyik t értékhez rendelődik hozzá a zöld tartomány területe mint az
fg(t) konvolúció értéke.

A konvolúció egy olyan művelet, amit függvényeken és disztribúciókon is értelmeznek.

A intervallumon értelmezett integrálható függvények konvolúcióján az integrállal definiált függvényt értik.

A konvolúciónak széles körű alkalmazásai vannak a valószínűségszámításban, a Fourier-sorok és a parciális differenciálegyenletek világában. Segítségével gyorsabban lehet számokat összeszorozni és egyes parciális differenciálegyenleteket megoldani.

A disztribúciókon így értelmezik a konvolúciót:

A függvénykonvolúció tulajdonságai[szerkesztés]

A konvolúció kommutatív, asszociatív és disztributív az összeadásra. Eredménye egy majdnem mindenütt értelmezett integrálható függvény, és

Jelölje a Fourier-transzformációt:

A valószínűségszámításban azért szeretik alkalmazni ezt a műveletet, mert így meg lehet kapni a független valószínűségi változók összegének eloszlását. Így be lehet látni, hogy

  • a és a paraméterű független Poisson-eloszlások összege paraméterű Poisson-eloszlás,
  • a független normális eloszlások összege is normális eloszlás lesz várható értékkel és szórásnégyzettel.
  • darab független paraméterű exponenciális eloszlás összege -edrendű, paraméterű gammaeloszlás:

Diszkrét konvolúció[szerkesztés]

A legtöbb függvény diszkrét a digitális jelfeldolgozásban, a valószínűségszámításban és a képfeldolgozásban. A diszkrét konvolúció képzési szabálya:

ahol az összegzés a két függvény értelmezési tartományának egyesítésén megy. Korlátos értelmezési tartomány esetén -et és -t azonosan nullának tekintik az eredeti értelmezési tartományán kívül.

Két polinom, formális hatványsor vagy véges főrészű Laurent-sor szorzatának együtthatói megadhatók az együtthatókból álló, esetleg nullákkal kibővített sorok diszkrét konvolúciójával. Az eredményül kapott végtelen soroknak csak véges sok nem nulla tagja lehet.

A diszkrét konvolúció hatékonyan számítható gyors Fourier-transzformációval.

A disztribúciók konvolúciójának tulajdonságai[szerkesztés]

A disztribúciók definíciója[szerkesztés]

A disztribúciók a kompakt tartójú végtelenszer folytonosan differenciálható függvények terén értelmezett lineáris funkcionálok, amik folytonosak a következő konvergencia értelmében:

  1. Van része , supp , supp része
  2. Tetszőleges indexvektor esetén egyenletesen -n.

Tulajdonságok[szerkesztés]

  • Két disztribúció nem mindig konvolválható.
  • A konvolúció kommutatív és lineáris, de nem asszociatív. Sőt, még a létezés sem következik.
  • Ha az és a disztribúciók konvolválhatók, akkor tartója része és tartójának Minkowski-összegének.

A deriválással való kapcsolata miatt vezetik be:

  • Ha az és a disztribúciók konvolválhatók, akkor bármely parciális deriváltja megkapható az egyik disztribúció megfelelő parciális deriváltjának és a másik disztribúciónak a konvolúciójaként.

Elégséges feltételek a konvolúció létezéséhez[szerkesztés]

  • Legyenek lokálisan integrálható függvények, és tekintsük a következő disztribúciókat: , és ahol és értelmezési tartománya.

Ekkor és konvolválható.

  • Ha és egyike kompakt tartójú, akkor és konvolválható, és

ahol akárhányszor differenciálható, és a kompakt tartó egy környezetében.

  • Legyenek és disztribúciók. Legyen az tartója egy féltér része, és legyen tartója egy olyan valódi konvex körkúp része, aminek tengelye párhuzamos normálisával. Ekkor

ahol

    • akárhányszor differenciálható,
    • egy környezetében, és egy nagyobb -eltolt féltérben
    • egy nagyobb -eltolt kúpban, és egy még nagyobb -eltolt kúpon kívül

Források[szerkesztés]

  • Simon-Baderkó: Másodrendű parciális differenciálegyenletek
  • Gonda János: Véges testek
  • Mogyoródi-Somogyi: Valószínűségszámítás jegyzet matematikus szakos hallgatóknak
  • Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás
  • Pál: A valószínűségszámítás és a statisztika alapjai I-II.
  • Bourbaki: Integration
  • Kôsaku Yosida: Functional Analysis. Springer-Verlag, ISBN 3-540-58654-7.

Külső hivatkozások[szerkesztés]