Konvolúció
A konvolúció egy olyan művelet, amit függvényeken és disztribúciókon is értelmeznek.
A intervallumon értelmezett integrálható függvények konvolúcióján az integrállal definiált függvényt értik.
A konvolúciónak széles körű alkalmazásai vannak a valószínűségszámításban, a Fourier-sorok és a parciális differenciálegyenletek világában. Segítségével gyorsabban lehet számokat összeszorozni és egyes parciális differenciálegyenleteket megoldani.
A disztribúciókon így értelmezik a konvolúciót:
A függvénykonvolúció tulajdonságai
[szerkesztés]A konvolúció kommutatív, asszociatív és disztributív az összeadásra. Eredménye egy majdnem mindenütt értelmezett integrálható függvény, és
Jelölje a Fourier-transzformációt:
A valószínűségszámításban azért szeretik alkalmazni ezt a műveletet, mert így meg lehet kapni a független valószínűségi változók összegének eloszlását. Így be lehet látni, hogy
- a és a paraméterű független Poisson-eloszlások összege paraméterű Poisson-eloszlás,
- a független normális eloszlások összege is normális eloszlás lesz várható értékkel és szórásnégyzettel.
- darab független paraméterű exponenciális eloszlás összege -edrendű, paraméterű gammaeloszlás:
Diszkrét konvolúció
[szerkesztés]A legtöbb függvény diszkrét a digitális jelfeldolgozásban, a valószínűségszámításban és a képfeldolgozásban. A diszkrét konvolúció képzési szabálya:
ahol az összegzés a két függvény értelmezési tartományának egyesítésén megy. Korlátos értelmezési tartomány esetén -et és -t azonosan nullának tekintik az eredeti értelmezési tartományán kívül.
Két polinom, formális hatványsor vagy véges főrészű Laurent-sor szorzatának együtthatói megadhatók az együtthatókból álló, esetleg nullákkal kibővített sorok diszkrét konvolúciójával. Az eredményül kapott végtelen soroknak csak véges sok nem nulla tagja lehet.
A diszkrét konvolúció hatékonyan számítható gyors Fourier-transzformációval.
A disztribúciók konvolúciójának tulajdonságai
[szerkesztés]A disztribúciók definíciója
[szerkesztés]A disztribúciók a kompakt tartójú végtelenszer folytonosan differenciálható függvények terén értelmezett lineáris funkcionálok, amik folytonosak a következő konvergencia értelmében:
- Van része , supp , supp része
- Tetszőleges indexvektor esetén egyenletesen -n.
Tulajdonságok
[szerkesztés]- Két disztribúció nem mindig konvolválható.
- A konvolúció kommutatív és lineáris, de nem asszociatív. Sőt, még a létezés sem következik.
- Ha az és a disztribúciók konvolválhatók, akkor tartója része és tartójának Minkowski-összegének.
A deriválással való kapcsolata miatt vezetik be:
- Ha az és a disztribúciók konvolválhatók, akkor bármely parciális deriváltja megkapható az egyik disztribúció megfelelő parciális deriváltjának és a másik disztribúciónak a konvolúciójaként.
Elégséges feltételek a konvolúció létezéséhez
[szerkesztés]- Legyenek lokálisan integrálható függvények, és tekintsük a következő disztribúciókat: , és ahol és értelmezési tartománya.
Ekkor és konvolválható.
- Ha és egyike kompakt tartójú, akkor és konvolválható, és
ahol akárhányszor differenciálható, és a kompakt tartó egy környezetében.
- Legyenek és disztribúciók. Legyen az tartója egy féltér része, és legyen tartója egy olyan valódi konvex körkúp része, aminek tengelye párhuzamos normálisával. Ekkor
ahol
- akárhányszor differenciálható,
- egy környezetében, és egy nagyobb -eltolt féltérben
- egy nagyobb -eltolt kúpban, és egy még nagyobb -eltolt kúpon kívül
Források
[szerkesztés]- Simon–Baderkó: Másodrendű parciális differenciálegyenletek
- Gonda János: Véges testek
- Mogyoródi–Somogyi: Valószínűségszámítás jegyzet matematikus szakos hallgatóknak
- Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás
- Pál Lénárd: A valószínűségszámítás és a statisztika alapjai I–II.
- Bourbaki: Integration
- Kôsaku Yosida: Functional Analysis. Springer-Verlag, ISBN 3-540-58654-7.
További információk
[szerkesztés]- 2D konvolúciós kernelek (maszkok) gyűjteménye[halott link]
- A konvolúcióról
- Még néhány szó a konvolúcióról (magyar)
- Interaktív animáció egy csökkenő exponenciális és egy Gauss-görbe konvolúciójáról. Gyakorlati példa: pozitronok élettartamspektruma.