Disztribúció (matematika)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A disztribúciók a kompakt tartójú végtelenszer folytonosan differenciálható függvények terén értelmezett lineáris funkcionálok, amik folytonosak a következő konvergencia értelmében:

  1. Van része , supp , supp része
  2. Tetszőleges indexvektor esetén egyenletesen -n.

Azért vezetik be őket, hogy egy nagyobb függvényosztályon kereshessék a parciális differenciálegyenletek megoldását.

Példák[szerkesztés]

  1. Legyen az függvény értelmezve az halmazon, és integrálható annak minden kompakt részhalmazán. Legyen az a funkcionál, ami a függvényhez az értéket rendeli. Ekkor disztribúció. Az ilyen alakban előálló disztribúciókat reguláris disztribúcióknak nevezik.
  2. A Dirac-féle delta disztribúciót így értelmezik: Legyen Rendelje a funkcionál a függvényhez a helyettesítési értéket. Ekkor nem reguláris disztribúció.
  3. Legyen az függvény értelmezve az halmazon, és integrálható annak minden kompakt részhalmazán, és legyen rögzített indexvektor. Értelmezzük a következő funkcionált: rendelje a függvényhez az értéket.

Tétel: A reguláris disztribúció majdnem mindenütt egyértelműen meghatározza az függvényt.

Műveletek[szerkesztés]

Összeadás: disztribúció -n; ekkor

Számmal szorzás:

Ezekkel a műveletekkel a disztribúciók vektorteret alkotnak. Jelölés:

Konvergencia: legyenek disztribúciók; ekkor ha minden rögzített -re

Függvénnyel szorzás: legyen ; ekkor

lokálisan, ha minden elemhez van nyílt környezete, ahol

Tétel: ha két disztribúció lokálisan egyenlő, akkor globálisan is egyenlők. Azaz, ha van egy nem üres nyílt halmaz, ahol egyenlőek, akkor mindenütt egyenlőek.

Deriválás: disztribúció;

Direkt szorzat: disztribúciók; tulajdonságai: (betű szemlélettel) kommutatív, asszociatív, disztributív és lineáris

Konvolúció: tekintsük a következő konvergenciát: def * értelemben → azonosan 1-hez, ha

1. minden esetén egyenletesen minden rögzített kompakt részhalmazban

2. minden indexvektorhoz van minden minden -re. Definíció:

A konvolúció nem mindig létezik.

Forrás[szerkesztés]

Simon-Baderkó: Másodrendű parciális differenciálegyenletek