Polinom

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a polinom (avagy többtagú algebrai kifejezés) egy olyan kifejezés, melyben csak számok és változók nemnegatív egész kitevőjű hatványainak szorzatai, illetve ilyenek összegei szerepelnek. Például:

p(x,y,z,u) = 5x4y6 - 3xz³+11y15u7
q(x) = 2x² + 6x + 9
r(x,y) = x³ + 3x²y + 3x²y + y³

A polinomban a számokkal szorzott hatványszorzatokat monomoknak (vagy egytagúaknak) nevezzük (például p-nél az 5x4y6, a -3xz³ és a 11y15u7 tagok).

Történet[szerkesztés]

Az egyenlet ábrázolása az ókori Kínában
Az egyenlet ábrázolása az ókori Kínában

A polinom gyökeinek meghatározása, vagyis különféle algebrai egyenletek megoldása már régóta a matematika fontos problémái közé tartozik. A mai praktikus jelölések a 15. században kezdtek el kifejlődni, addig általában az volt a szokás, hogy egy egyenletet szavakkal írtak le vagy az ókori Kínában például a változók szerint „ábrákat” készítettek róluk.

Az egyenlőségjelet először Robert Recorde használta a 16. században, és ugyanebben az időben terjedt el a „+” jel használata az összeadásra, valamint a „−” jel használata a kivonásra. René Descartes volt az, aki elkezdte terjeszteni azt a ma is használt jelölésmódot, hogy a konstansok leírására az ábécé elejéről választunk betűket, míg a változókhoz az ábécé végéről. És ugyancsak ő volt az, aki először felső indexbe írta egy változó kitevőjét.

Az elemi algebrában[szerkesztés]

Az elemi algebrában P(x) egyváltozós polinom, ha:

.

Itt x a polinom változója, n a polinom foka. Vannak többváltozós polinomok is, ezekben több változó szerepel. Egy többváltozós polinom foka az a legnagyobb szám, amit az egyes tagok tényezőinek kitevőinek összeadásával kapunk. Minden kitevőnek egész számnak kell lennie.

A polinom tagjaiban a számot együtthatónak, az ismeretlenekből álló szorzatot monomnak vagy egytagnak nevezik. A nulladfokú tag együtthatója konstans tag. Az elsőfokúé lineáris, a másodfokúé kvadratikus, a harmadfokúé kubikus tag. Általában ha egy változó az első hatványon szerepel, akkor nem szokták a kitevőbe kiírni az 1-et. A 0 fokú monomokat konstans polinomoknak nevezzük.

Például az

egy egyváltozós, harmadfokú polinom. Az x fokszáma szerint csökkenő sorrendbe írva, az első monom foka 3, a másodiké 2, a harmadiké 0. A harmadfokú tag együtthatója 8, a másodfokúé -7, a konstans tag 36.

A valós együtthatós polinomfüggvények értelmezhetők a teljes valós számegyenesen, a komplex együtthatós polinomok pedig értelmezhetők a teljes komplex számsíkon.

Nullpolinom az a polinom, aminek összes együtthatója nulla. Ennek foka mínusz végtelen. Ha a főegyüttható egy, akkor a polinom normált.

A polinom szimmetrikus, ha bárhogy permutáljuk benne az ismeretleneket, változatlan marad.

Egy másik jellegzetes polinomfajta a homogén fokszámú polinomok, melyekben a monomok foka egyenlő. Ilyenek szerepelnek például a binomiális tételben:

Egyneműnek nevezünk két (vagy több) monomot, ha csak együtthatóikban különböznek. Polinomokat úgy adunk össze, hogy az egynemű egytagúak együtthatóit összeadjuk:

Az n ismeretlenes polinomoknak az egyneműek összevonása után legfeljebb

k fokú monomja lehet.

Az egynemű monomok összevonása után az n-edfokú polinomnak legfeljebb

monomja lehet.

A szorzás úgy történik, hogy „minden tagot minden taggal beszorzunk” és a keletkező szorzatokban az azonos változók hatványait az azonos alapú hatványok szorzásának szabályával számítjuk ki. Például

Emellett a számmal való szorzás művelete is értelmes: minden együtthatót beszorzunk az adott számmal. Például

Ha polinomok, akkor szorzatuk fokszáma becsülhető:

Valós, illetve komplex polinomok esetén:

A polinomok halmaza zárt a helyettesítésre, azaz ha egy ismeretlenbe mindenhová polinomot helyettesítünk, akkor újra polinomot kapunk. Ez csak akkor igaz, ha a változók számát nem korlátozzuk, mert egy helyettesítés új változókat hozhat be. De ha csak a már meglevő változókat használja, akkor a változók száma megmarad.

Gyűrű fölötti polinomok[szerkesztés]

Polinomok tetszőleges gyűrű fölött definiálhatók, ekkor a polinom együtthatói a gyűrű elemei közül kerülnek ki. Ha R ez a gyűrű, akkor az egyváltozós, R-beli együtthatós polinomok körét R[X] jelöli. R[X] maga is gyűrűt alkot. Ha T test (algebra), akkor T[X] végtelen dimenziós vektorteret T felett. Ha T kommutatív test és a T[X] integritási tartományban p felbonthatatlan elem, akkor az T[X]/(p) maradékosztálygyűrű test. A középiskolában egész, racionális vagy valós együtthatós polinomokkal találkozhatunk. Az algebra alaptételében komplex együtthatós polinomokról van szó. Hasznosak még a kvaternió együtthatós (tehát lényegében mátrix együtthatójú), vagy a modulo m maradékosztálybeli együtthatós (véges testbeli) polinomok is. Ha polinomgyűrű fölött veszünk polinomgyűrűt, akkor többváltozós polinomgyűrűhöz jutunk.

A változókat néha határozatlanoknak nevezik. Az egyes monomokban a változók kitevőinek összege adja meg az adott monom fokát. A polinom fokának a benne lévő monomok fokának maximumát tekintjük.

Gyűrű fölötti polinomok esetén az összeg fokának becslésére csak akkor használható a fenti képlet, ha a gyűrű integritási tartomány. Tehát integritási tartomány fölött

általános esetben a becslés. A szorzat fokának becslése ugyanaz, mint valós fölött.

A lineáris algebrában adott n-re a legfeljebb n-edfokú adott test fölötti polinomok vektorteret alkotnak, aminek dimenziója n + 1.

A mátrixok karakterisztikus polinomját többek között a mátrixok diagonalizálásához használják.

Ha R gyűrű, akkor R[X] is gyűrű, amit polinomgyűrűnek neveznek. Ez megkapható úgy, mint R bővítése algebrailag független elemmel. A polinomokat egyértelműen lehet jellemezni együtthatóik véges sorozatával, ahol az összeadás tagonkénti összeadás, a szorzat konvolúció, és a konstanssal (gyűrűelemmel) való szorzás is tagonként kell végezni.

és

Ezzel a polinomgyűrű algebrát alkot. Habár ez a konstrukció nem használja a határozatlant, a behelyettesítés is értelmezhető műveletként. Ezzel behelyettesítési homomorfizmushoz jutunk.

Különböző polinomok definiálhatják ugyanazt a polinomfüggvény, különösen ha vannak nullosztók, vagy ha a test véges. Például legyen a maradékosztálygyűrű, így az

és a polinomok ugyanazt a függvényt állítják elő. Végtelen integritástartomány esetén ez nem fordulhat elő.

Számelméletük[szerkesztés]

Polinomfüggvények[szerkesztés]

Ha R[X] az R gyűrű feletti polinomgyűrű és p = p(x) polinom, akkor a p által meghatározott polinomfüggvényen a

függvényt értjük.

Példák:

1. a komplex számok feletti q(z) = iz4 + 3iz - 5 polinom által meghatározott polinomfüggvény a

g: C C; z iz4 + 3iz - 5

függvény

2. a modulo 5 maradékosztályok feletti r(x) = x4 polinom által meghatározott polinomfüggvény a

h: Z5 Z5; x x4

Véges gyűrű feletti polinomfüggvény nem jelöli ki egyértelműen azt a polinomot, melyből a polinomfüggvény keletkezett. A 2. példánál h nem más, mint a

függvény éspedig a kis Fermat-tétel miatt. De ez ugyanaz, mint a h2(x)= x8 polinomfüggvény, amely azonban más polinom által meghatározott. S míg x4 x8 (mint polinom), addig h1 = h2, mint függvény. Ez amiatt van, hogy míg polinomból végtelen sok van, addig R-ből R-be menő függvényből csak nn db, amennyiben R számossága az n véges szám.

Helyettesítési érték, zérushely, gyök[szerkesztés]

Ha pR[X] polinom és α ∈ R, akkor azt mondjuk, hogy p helyettesítési értéke α-ban a β ∈ R elem, ha a p által meghatározott polinomfüggvény α-n a β-t veszi föl értékül. Ezt a következőképpen jelöljük:

Ha p osztható az (x - α) elsőfokú polinommal, azaz létezik olyan qR[X] polinom, hogy

akkor azt mondjuk, hogy α ∈ R elem gyöke a p polinomnak és hogy (x-α) gyöktényezője p-nek.

Az x0R elem zérushelye a p polinomnak, ha x0-ben a p helyettesítési értéke 0.

Bézout tétele – A pR[X] polinomnak az α ∈ R elem pontosan akkor gyöke, ha zérushelye.

Test fölött nemnulla polinom gyökeinek száma legfeljebb annyi, mint a fokszáma. A komplex számok körében, vagy más algebrailag zárt test fölött ezen kívül még az is igaz, hogy egy nemkonstans polinomnak pontosan annyi gyöke van (a multiplicitással számolva) ahányadfokú a polinom. Ez az algebra alaptétele.

A (multiplicitással számolva) pontosan n gyökű n-edfokú polinomok felírhatók ún. gyöktényezős alakban:

A jobb oldali alakban a polinom főegyütthatójának, pedig a polinom gyökeinek felelnek meg. Végtelen gyűrű fölött teljesül a kölcsönös meghatározottság.

Egész együtthatós polinom racionális gyökeinek meghatározásában segít a Rolle-féle gyöktétel. A jelöltek az x=p/q alakú racionális számok, ahol p és q relatív prímek, és p osztója a konstans tagnak, és q osztója a főegyütthatónak.

A páratlan fokú valós együtthatós polinomoknak van legalább egy valós gyökük.

Az együtthatók és a fok alapján a gyökökre valós és komplex esetben is becslést lehet adni. Valós esetben a korlát a gyökökre, ha a polinom összes gyöke a intervallumban található. B a gyökök felső korlátja, ha a polinom minden gyöke legfeljebb B. Hasonlóan definiálható az alsó korlát is.

Helyettesítési érték kiszámítása: a Horner-módszer[szerkesztés]

A gyökök meghatározására alacsony fokú (első, másod, harmad, negyed) polinomok esetében léteznek különféle egyszerű formulák – ehhez lásd a Megoldóképlet szócikket –, azonban magasabb fokúak esetében ez már igencsak nehézkes. Magasabb fokú polinomok nem oldhatók meg gyökjelekkel, ez az Abel-Ruffini-tétel. Azt meghatározni azonban, hogy egy komplex szám gyöke-e egy adott polinomnak, létezik egy módszer, amit William George Horner angol matematikus dolgozott ki.

A módszer működésének megértéséhez vegyük észre, hogy a polinomok a következő alakban is felírhatók:

Tehát egy komplex számról úgy tudjuk meg, hogy gyöke-e lesz-e a polinomunknak, hogy megnézzük a helyettesítési értékét az előző képlet szerint:

A módszer lényeges eleme az ún. Horner-séma lesz, azaz hogy ezt a fenti egyenletet táblázatba rendezzük azért, hogy a számolást meg tudjuk gyorsítani:

A fölső sorban a polinom együtthatói állnak. Az alsó sor első eleme a főegyüttható lesz, majd a következő tagokat úgy képezzük, hogy az előző tagot megszorozzuk -val majd hozzáadjuk a soron következő együtthatót. Így tehát az alsó sor elemei megfelelnek a fenti képlet egyes zárójeleinek, tehát végül alatt helyettesítési értéke áll.

Megjegyzések:

  1. A Horner-séma második sorában szereplő számok éppen az –val vett polinomosztás hányadosának együtthatói. Azaz ha egy gyököt megtaláltunk, szorzattá bonthatjuk a polinomunkat és az így kapott újabb polinomnak egy gyökét is próbálhatjuk megkeresni. Ezzel a módszerrel továbbhaladva eljuthatunk a polinom gyöktényezős alakjához.
  2. Ha helyettesítési értékére nem 0 jön ki akkor a kapott érték lesz az osztásunk maradéka.

Például vizsgáljuk meg, hogy a következő polinomnak gyöke-e a 3:

A feladathoz tartozó Horner-séma:

1 -5 11 -15
3 1 31-5=-2 3(-2)+11=5 35-15=0

Tehát a 3 gyöke a polinomnak és az polinommal való leosztás után szintén a táblázatból leolvasva kapjuk, hogy a hányadospolinom az lesz.

Gyökök és együtthatók közötti összefüggések[szerkesztés]

Legyenek a polinom együtthatói:, a gyökei pedig: . Ekkor a polinom gyökei és együtthatói között a következő összefüggések állnak fenn:

Ezeket az összefüggéseket Viète-formuláknak nevezzük. Előállításuk úgy történik, hogy gyöktényezős alakjában elvégezzük a beszorzást és összevetjük az így kapott együtthatókat az általános felírásból adódókkal.

Másodfokú polinomokra így kapjuk meg a formulákat:

Ezekből adódik tehát hogy:

és

Analízis[szerkesztés]

A polinomok egyszerűen deriválhatók és integrálhatók:

deriváltja
egy primtív függvénye

Ezek a műveletek sem vezetnek ki a polinomok közül.

Más függvények közelíthetők polinomokkal, például Taylor-sorral, interpolációval, Bernstein-polinomokkal.

A valós és a komplex polinomok hatványok lineáris kombinációi, ezért lassabban nőnek, mint bármely exponenciális függvény, aminek kitevője egynél nagyobb.

A páratlan fokú valós polinomok értékkészlete , azaz szürjektívek. Ha a főegyüttható pozitív, akkor -ből jönnek, majd ingadoznak egy szakaszon, utána -be mennek. Ha a főegyüttható megatív, akkor -ből jönnek, ingadoznak egy szakaszon, majd -be mennek.

A páros fokú polinomok értékkészlete pozitív főegyütthatóval , és negatív főegyütthatóval . Menetük: pozitív főegyütthatóval -ből érkeznek, ingadoznak egy szakaszon, majd -be mennek. Negatív főegyütthatóval --ből jönnek, ingadoznak egy szakaszon, majd -be mennek.

A polinomok végtelen sorok formájában függvények közelítésénél is használatosak. Ekkor a függvényeket Taylor-sorba fejtve kapunk hozzájuk határértékben tartó hatványsorokat. Ha ezeknek a végtelen soroknak csak véges alakjait tekintjük, akkor beszélünk Taylor-polinomokról.

Két a racionális számok teste feletti polinom hányadosát racionális függvénynek vagy racionális törtfüggvénynek hívjuk. Ezeknek az integrálása az integrálszámítás egyik alapváltozata. A művelet elvégzéséhez a parciális törtekre bontás módszerét szükséges alkalmazni.

Interpoláció[szerkesztés]

Az interpoláció módszerének segítségével különböző komplex számpárra, vagyis pontra a komplex számsíkon egyértelműen illeszthető (n–1)-edfokú polinom, amely áthalad a megadott pontokon.

Bizonyítás[szerkesztés]

Legyenek az adott pontpárok a következők: . Először az egyértelműséget igazoljuk. Ha és két a feltételeknek eleget tevő polinom, akkor egy olyan legfeljebb ()-ed fokú polinom, amelynek gyöke. Az algebra alaptétele szerint ez csak akkor lehetséges, ha , vagyis .

Most konstruáljunk meg egy ilyen polinomot Lagrange módszerével. Ehhez konstruáljuk meg az ún. Lagrange-féle alappolinomokat:

Ezekre és , ha .

Tehát a polinom teljesíti a feltételeket.

Példa[szerkesztés]

Legyenek a pontok a következők: (-1;1), (0;2), (1;4); ekkor ezek lesznek a Lagrange-féle alappolinomok:

Ekkor a feltételeket kielégítő polinom ez lesz:

Általánosítások[szerkesztés]

A hatványsorok alakja:

Ha nem foglalkozunk a konvergenciával, akkor a hatványsor formális, ami nem mindig állít elő függvényt. Ha egy bizonyos tartományon (nemcsak egy pontban) konvergens, és előállítja a függvényt, akkor egy analitikus függvényhez jutunk, amit újra vizsgálni lehet.

A Laurent-sorok alakja:


A Laurent-sorok a hatványsorokhoz hasonlóan vizsgálhatók.

Ha az összeg véges, de a monomokban tetszőleges valós hatványkitevőket megengedünk, akkor poliszinomális függvényekhez jutunk.

Források[szerkesztés]

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Polinom témájú médiaállományokat.
  • Horváth Erzsébet: Lineáris algebra (Műegyetemi Kiadó, 2002)
  • Konsztantyin Alekszejevics Ribnyikov: A matematika története (Tankönyvkiadó, Budapest, 1968)
  • Nagy Attila (BME-TTK) Lineáris algebra c. előadásai