Polinom

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából


A matematikában a polinom (vagy többtagú algebrai kifejezés) egy olyan kifejezés, melyben csak számok és változók nemnegatív egész kitevőjű hatványainak szorzatai illetve ilyenek összegei szerepelnek. Például:

p(x,y,z,u) = 5x4y6 - 3xz³+11y15u7
q(x) = 2x² + 6x + 9
r(x,y) = x³ + 3x²y + 3x²y + y³

A polinomban a számokkal szorzott hatványszorzatokat monomoknak (vagy egytagoknak) nevezzük (például p-nél az 5x4y6, a 3xz³ és az 11y15u7 tagok).

A polinomokról általában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A monomokban lévő számszorzókat a polinom együtthatóinak hívjuk. A változókat néha határozatlanoknak. Az egyes monomokban a változók kitevőinek összege adja meg az adott monom fokát. A polinom fokának a benne lévő monomok fokának maximumát tekintjük.

Általában ha egy változó az első hatványon szerepel, akkor nem szokták a kitevőbe kiírni az 1-et. A 0 fokú monomokat konstans polinomoknak nevezzük.

Egyneműnek nevezünk egy monomot, ha csak együtthatóban különböznek. Polinomokat úgy adunk össze, hogy az egynemű egytagok együtthatóit összeadjuk:

\begin{matrix}
p(x,y) & = & 5x^2y & + 2xy^2 & + 6 y^3\\
q(x,y,z) & = & 2x^2y & - 7xy^2 & + 8yz^6\\
& & & & \\
(p+q)(x,y,z) & = & 7x^2y & -5xy^2 & + 6y^3 & + 8yz^6
\end{matrix}

A szorzás úgy történik, hogy „minden tagot minden taggal beszorzunk” és a keletkező szorzatokban az azonos változók hatványait az azonos alapú hatványok szorzásának szabályával számítjuk ki. Például

p(x,y)= x^2 +xy\,
q(x,z)=3x^3-7z^2\,
(p\cdot q)(x,y,z)=x^2\cdot 3x^3+x^2\cdot(-7z^2)+xy\cdot 3x^3+xy\cdot (-7z^2)=\,
=3x^5+(-7)x^2z^2+3x^4y+(-7)xyz^2\,

A polinomok legegyszerűbb megjelenési formái az egyváltozós polinomok. Például az

8x^3-7x^2+36\,\!

egy harmadfokú, egyhatározatlanú polinom. Az x fokszáma szerint csökkenő sorrendbe írva, az első monom foka 3, a másodiké 2, a harmadiké 0. A harmadfokú tag együtthatója 8, a másodfokúé -7, a konstans tag 36.

Egy másik jellegzetes polinomfajta a homogén fokszámú polinomok, melyekben a monomok foka egyenlő. Ilyenek szerepelnek például a binomiális tételben:

(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\,

A polinomok együtthatói tetszőleges gyűrűből kerülhetnek ki. Ha R ez a gyűrű, akkor az egyváltozós, R-beli együtthatós polinomok körét R[X] jelöli. R[X] maga is gyűrűt alkot. Ha T test (algebra), akkor T[X] végtelen dimenziós vektorteret T felett. Ha T kommutatív test és a T[X] integritási tartományban p felbonthatatlan elem, akkor az T[X]/(p) maradékosztálygyűrű test. A középiskolában egész, racionális vagy valós együtthatós polinomokkal találkozhatunk. Az algebra alaptételében komplex együtthatós polinomokról van szó. Hasznosak még a kvaternió együtthatós (tehát lényegében mátrix együtthatójú), vagy a moduló m maradékosztálybeli együtthatós (véges testbeli) polinomok is.

Egyhatározatlanú polinomok és a köztük lévő műveletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egyhatározatlanú polinomok tekinthetők olyan véges sok nemnulla elemmel rendelkező sorozatoknak, melyek elemei egy R gyűrűből kerülnek ki. Ekkor a sorozat elemeit az annyiadik fokú tag együtthatóját jelenti:

x^2+5x+6 \cong (6,5,1,0,0,0,0,...)

Nemnulla egyhatározatlanú polinom foka a legnagyobb nemnulla indexe (az indexelést 0-ról indítjuk). Például, ha aR nem nulla, akkor (a,0,0,0,0,…) konstanspolinom foka 0. A (0,0,0,0,…) nullapolinom foka nincs értelmezve (nincs legnagyobb indexű nemnulla eleme). A fok jele, mint fent: deg(p).

Összeadás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az ilyen, sorozatként interpretált polinomok esetén az összeadás világos: pontonként történik:

(p+q)_i=p_i+q_i\,

Pl.:

(x^3-5x+10)+(2x^3-x^2+x-10)=3x^3-x^2-4x\,

Szorzás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A polinomszorzás a sorozatok konvolúciószorzata lesz: átlónként kell összeszorozni az elemeket, majd összeadni:

p\cdot q=
\begin{matrix}
p_0q_0 &p_0q_1 & p_0q_2 & p_0q_3 & ...\\
p_1q_0 &p_1q_1 & p_1q_2 &...\\
p_2q_0 &p_2q_1 & ...\\
p_3q_0 & ...\\
...
\end{matrix}=
= (p_0q_0,\quad p_0q_1+p_1q_0,\quad p_0q_2+p_1q_1+p_2q_0,\;...)=\left(\sum\limits_{k,l:\,k+l=i}^{i}p_kq_l\right)_{i\in\mathbb{N}}

Hiszen világos, hogy a szorzatban azonos kitevőt adó monomokat (lehet) kell összeadni.

Polinomgyűrű[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

R[X] ezzel a két művelettel gyűrűt alkot. Ha R egységelemes, akkor R[X] egységelemes gyűrű. Ha R integritási tartomány (kommutatív, nemnulla egységelemes, nullosztómentes gyűrű), akkor R[X] is az.

Maradékos osztás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Gyűrű felett[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha R kommutatív gyűrű, nemnulla egységelemmel, értelmes a maradékos osztás a következő korlátozott módon. Minden a,bR[X]-re, ha b főegyütthatója egység (azaz az egységelem osztója), egyértelműen létezik olyan q,rR[X], hogy

1. a=q\cdot b + r\, és
2. \mathrm{deg}(r) < \mathrm{deg}(b)\, vagy r = 0\,

Például Z[X]-ben x³ + x = x\cdotx² + x (itt deg(x) < deg(x²)).

A Z[X]-beli korlátozott maradékos osztás nem összekeverendő az egész számok körében végezhető korlátlan maradékos osztással. Például világos, hogy

3x + 4 =3\cdot(x+1)+1, ahol |1| < |3|

azonban – bár az 1, 3, 4 számok polinomok Z[X]-ben – világos, hogy deg(1) = deg(3), hiszen mindkettő konstanspolinom. A különbség abból fakad, hogy Z-ben az osztás normája az abszolút érték, Z[X]-ben viszont a polinom foka, mely minden nemnulla konstanspolinomra 0.

Test felett[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha T kommutatív test, akkor minden a,bT[X]-re, egyértelműen létezik olyan q,rT[X], hogy

1. a=q\cdot b + r\, és
2. \mathrm{deg}(r) < \mathrm{deg}(b)\, vagy r = 0\,

Polinomok számelmélete[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az alábbiakban a test feletti egyhatározatlanú polinomok számelméleti tulajdonságait vizsgáljuk. A test feletti polinomok ugyanis integritási tartományt alkotnak, így értelmesek benne a számelméleti fogalmak.

Ha f és g polinomok, akkor azt mondjuk, hogy g osztója f-nek, ha létezik egy olyan h polinom, hogy:

f(x)= g(x)\cdot h(x)\,

Tehát ez azt jelenti, hogy f-et maradékosan elosztva g-vel a nullapolinomot kapjuk maradékul.

Az oszthatóság tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • \, \!f(x)|g(x) és \, \!g(x)|h(x) akkor \, \!f(x)|h(x)
  • \, \!f(x)|g(x) akkor \, \!f(x)|g(x)h(x) ha h(x)\neq 0
  • \, \!f(x)|g_1(x) és \, \!f(x)|g_2(x) akkor \, \!f(x)|g_1(x)h_1(x)+g_2(x)h_2(x) ahol \, \!h_1(x) és \, \!h_2(x) tetszőlegesek.
  • \, \!f(x)|g(x) akkor \, \!f(x)|cg(x) és \, \!f(x)|cg(x) ahol \, \!c tetszőleges konstans.
  • Ha \, \!f(x)|g(x) és \, \!g(x)|f(x) akkor \, \!f(x)=cg(x)

Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\, \!h(x)-re azt mondjuk, hogy \, \!f(x) és \, \!g(x) közös osztója, ha \, \!h(x) osztója \, \!f(x)-nek és \, \!g(x)-nek Egy \, \!d(x) polinomot az \, \!f(x) és \, \!g(x) polinomok legnagyobb közös osztójának nevezzük, ha \, \!d(x) \, \!f(x) és \, \!g(x) közös osztója, valamint osztható \, \!f(x) és \, \!g(x) bármely közös osztójával. Jelölés: \, \!d(x)=(f(x),g(x))

Hasonló módon \, \!h(x)-re azt mondjuk, hogy \, \!f(x) és \, \!g(x) közös többszöröse, ha \, \!h(x)-nek osztója \, \!f(x)-nek és \, \!g(x) is. Egy \, \!e(x) polinomot az \, \!f(x) és \, \!g(x) polinomok legkisebb közös többszörösének nevezzük, ha \, \!e(x) \, \!f(x) és \, \!g(x) közös többszöröse, valamint osztja \, \!f(x) és \, \!g(x) bármely közös többszörösét.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tetszőleges \, \!f(x) és \, \!g(x) polinomoknak mindig van legnagyobb közös osztója, illetve amennyiben ezekből többet találunk, akkor azok csak egy konstans szorzóban térnek el egymástól.

Az egész számok körében a legnagyobb közös osztó gyors meghatározására kitalált Euklideszi algoritmus a polinomok körében is működik.

Irreducibilis polinomok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy n-edfokú polinomra akkor mondjuk, hogy irreducibilis, ha az nem bontható fel két, n-nél kisebb fokú polinom szorzatára. Nevezhetjük őket a polinomok között prímeknek. Fontos azonban, hogy mely számok teste felett értjük az irreducibilitást, ugyanis például az \, \!x^2+2 polinom a valós számok teste felett irreducibilis, a komplexé felett pedig nem.

Állítások irreducibilis polinomokra:

  • Minden elsőfokú polinom irreducibilis.
  • Ha \, \! f(x) irreducibilis, akkor tetszőleges c\ne 0 konstans esetén \, \! cf(x) is az.
  • Ha \, \! p(x)|f(x)g(x) és \, \! p(x) irreducibilis, akkor \, \! p(x)|f(x) vagy \, \! p(x)|g(x).
  • Minden \, \! f(x) polinomhoz megadhatók konstans szorzó erejéig egyértelműen olyan p_1(x),p_2(x),\dots p_n(x) polinomok, hogy f(x)=p_1(x)p_2(x)\dots p_n(x) teljesül.

Polinomfüggvények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha R[X] az R gyűrű feletti polinomgyűrű és p = p(x) polinom, akkor a p által meghatározott polinomfüggvényen a

p:R\longrightarrow R;\quad x\mapsto p(x)

függvényt értjük.

Példák:

1. a komplex számok feletti q(z) = iz4 + 3iz - 5 polinom által meghatározott polinomfüggvény a

g: C \rightarrow C; z \mapsto iz4 + 3iz - 5

függvény

2. a moduló 5 maradékosztályok feletti r(x) = x4 polinom által meghatározott polinomfüggvény a

h: Z5 \rightarrow Z5; x \mapsto x4

Véges gyűrű feletti polinomfüggvény nem jelöli ki egyértelműen azt a polinomot, melyből a polinomfüggvény keletkezett. A 2. példánál h nem más, mint a

h_1(x)=\left\{\begin{matrix}
0 & \mbox{ ha } x=0\\
1 & \mbox{ ha } x=1,2,3,4
\end{matrix}\right.

függvény éspedig a kis Fermat-tétel miatt. De ez ugyanaz, mint a h2(x)= x8 polinomfüggvény, amely azonban más polinom által meghatározott. S míg x4 \ne x8 (mint polinom), addig h1 = h2, mint függvény. Ez amiatt van, hogy míg polinomból végtelen sok van, addig R-ből R-be menő függvényből csak nn db, amennyiben R számossága az n véges szám. Végtelen gyűrűkben már azonban igaz a kölcsönös meghatározottság.

Helyettesítési érték, zérushely, gyök[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha pR[X] polinom és α ∈ R, akkor azt mondjuk, hogy p helyettesítési értéke α-ban a β ∈ R elem, ha a p által meghatározott polinomfüggvény α-n a β-t veszi föl értékül. Ezt a következő képpen jelöljük:

p(\alpha)=\beta \,

Ha p osztható az (x - α) elsőfokú polinommal, azaz létezik olyan qR[X] polinom, hogy

p(x)=(x-\alpha)\cdot q(x)

akkor azt mondjuk, hogy α ∈ R elem gyöke a p polinomnak és hogy (x-α) gyöktényezője p-nek.

Az x0R elem zérushelye a p polinomnak, ha x0-ben a p helyettesítési értéke 0.

Bézout tétele – A pR[X] polinomnak az α ∈ R elem pontosan akkor gyöke, ha zérushelye.

A nemnulla polinom gyökeinek száma legfeljebb annyi, mint a fokszáma. A komplex számok körében ezen kívül még az is igaz, hogy egy nemkonstans polinomnak pontosan annyi gyöke van (a multiplicitással számolva) ahanyad fokú a polinom. Ez az algebra alaptétele.

A (multiplicitással számolva) pontosan n db gyökkel rendelkező n-edfokú polinomok felírhatók ún. gyöktényezős alakban:

f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\dots+a_1 x+a_0=a_n(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)

A jobb oldali alakban a_n a polinom főegyütthatójának, x_1,x_2,...,x_n pedig a polinom gyökeinek felelnek meg.

Helyettesítési érték kiszámítása – Horner-módszer[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A gyökök meghatározására alacsony fokú (első, másod, harmad) polinomok esetében léteznek különféle egyszerű formulák – ehhez lásd a megoldóképlet című cikket – azonban magasabb fokúak esetében ez már igencsak nehézkes. Azt meghatározni azonban, hogy egy komplex szám gyöke-e egy adott polinomnak létezik egy módszer, amit Horner dolgozott ki. A módszer működésének megértéséhez vegyük észre, hogy a polinomok a következő alakban is felírhatók:

p(x)=(\dots(a_nx+a_{n-1})x+\dots+a_1)x+a_0

Tehát egy \, \!\alpha komplex számról úgy tudjuk meg, hogy gyöke-e lesz-e a polinomunknak, hogy megnézzük a helyettesítési értékét az előző képlet szerint:

p(\alpha)=(\dots(a_n\alpha +a_{n-1})\alpha +\dots+a_1)\alpha +a_0

A módszer lényeges eleme az ún. Horner-séma lesz, azaz hogy ezt a fenti egyenletet táblázatba rendezzük azért, hogy a számolást meg tudjuk gyorsítani:

\, \!a_n \, \!a_{n-1} \, \!a_{n-2} \dots \, \!a_0
\, \!\alpha \, \!a_n \, \!\alpha a_n+a_{n-1} \, \!\alpha(\alpha a_n+a_{n-1})+a_{n-2} \dots \, \!p(\alpha)

A fölső sorban a polinom együtthatói állnak. Az alsó sor első eleme a főegyüttható lesz, majd a következő tagokat úgy képezzük, hogy az előző tagot megszorozzuk \, \!\alpha-val majd hozzáadjuk a soron következő együtthatót. Így tehát az alsó sor elemei megfelelnek a fenti képlet egyes zárójeleinek, tehát végül \, \!a_0 alatt \, \!\alpha helyettesítési értéke áll.

Megjegyzések:

  1. A Horner-séma második sorában szereplő számok éppen az \, \!x-\alpha–val vett polinomosztás hányadosának együtthatói. Azaz ha egy gyököt megtaláltunk, szorzattá bonthatjuk a polinomunkat és az így kapott újabb polinomnak egy gyökét is próbálhatjuk megkeresni. Ezzel a módszerrel továbbhaladva eljuthatunk a polinom gyöktényezős alakjához.
  2. Ha \, \!\alpha helyettesítési értékére nem 0 jön ki akkor a kapott érték lesz az osztásunk maradéka.

Például vizsgáljuk meg, hogy a következő polinomnak gyöke-e a 3:

\, \!x^3-5x^2+11x-15

A feladathoz tartozó Horner-séma:

1 -5 11 -15
3 1 3\cdot1-5=-2 3\cdot(-2)+11=5 3\cdot5-15=0

Tehát a 3 gyöke a polinomnak és az \, \!x-3 polinommal való leosztás után szintén a táblázatból leolvasva kapjuk, hogy a hányadospolinom az \, \!x^2-2x+5 lesz.

Gyökök és együtthatók közötti összefüggések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyenek a polinom együtthatói:a_n,a_{n-1},\dots a_1,a_0, a gyökei pedig: x_1,x_2,\dots x_n. Ekkor a polinom gyökei és együtthatói között a következő összefüggések állnak fenn:

\frac{a_0}{a_n}(-1)^n=x_1x_2\dots x_n
\frac{a_1}{a_n}(-1)^{n-1}=(x_1 \dots x_{n-1}+\dots+x_2 \dots x_n)
\dots
\frac{a_{n-2}}{a_n}(-1)^2=x_1x_2+x_1x_3+\dots+x_{n-1}x_n
\frac{a_{n-1}}{a_n}(-1)=x_1+x_2+\dots+x_n

Ezeket az összefüggéseket Viète-formuláknak nevezzük. Előállításuk úgy történik, hogy \, \!p(x) gyöktényezős alakjában elvégezzük a beszorzást és összevetjük az így kapott együtthatókat az általános felírásból adódókkal.

Másodfokú polinomokra így kapjuk meg a formulákat:

\, \!p(x)=a_2x^2+a_1x+a_0=a_2(x-x_1)(x-x_2)

\, \! a_2x^2+a_1x+a_0=a_2x^2-a_2x(x_1+x_2)+a_2x_1x_2

Ezekből adódik tehát hogy:

\, \!a_1=-a_2(x_1+x_2) és \, \!a_0=a_2 x_1\cdot x_2

Polinomok analízise[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Polinomok deriváltja és integráltja könnyen számolható. Tehát vegyük az általánosan felírt polinom képletét:

\sum_{i=0}^n a_i x^i

Ennek az x szerinti deriváltja a következő:

\sum_{i=1}^n a_i i x^{i-1}

A határozatlan integráltja pedig ez:

\sum_{i=0}^n {a_i\over i+1} x^{i+1}+c

A polinomokat végtelen sorok formájában függvények közelítésénél is használatosak. Ekkor a függvényeket Taylor-sorba fejtve kapunk hozzájuk határértékben tartó hatványsorokat. Ha ezeknek a végtelen soroknak csak véges alakjait tekintjük, akkor beszélünk Taylor-polinomokról.

Két a racionális számok teste feletti polinom hányadosát racionális függvénynek vagy racionális törtfüggvénynek hívjuk. Ezeknek az integrálása az integrálszámítás egyik alapváltozata. A művelet elvégzéséhez a parciális törtekre bontás módszerét szükséges alkalmazni.

Interpoláció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az interpoláció módszerének segítségével \, \!n különböző komplex számpárra, vagyis n pontra a komplex számsíkon egyértelműen illeszthető (\, \!n-1)-edfokú polinom, amely áthalad a megadott pontokon.

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyenek az adott pontpárok a következők: (x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots (x_n,y_n). Először az egyértelműséget igazoljuk. Ha \, \!p(x) és \, \!q(x) két a feltételeknek eleget tevő polinom, akkor \, \!p(x)-q(x) egy olyan legfeljebb (\, \!n-1)-ed fokú polinom, amelynek x_1,x_2,\dots ,x_n gyöke. Az algebra alaptétele szerint ez csak akkor lehetséges, ha p(x)-q(x)\equiv 0, vagyis \, \!p(x)=q(x).

Most konstruáljunk meg egy ilyen polinomot Lagrange módszerével. Ehhez konstruáljuk meg az ún. Lagrange-féle alappolinomokat:

l_i(z)=\frac{(z-x_1)\dots (z-x_{i-1})(z-x_{i+1})\dots (z-x_n)}{(x_i-x_1)\dots (x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\dots (x_i-x_n)}=\prod_{j=1}^{n}{\frac{(z-x_j)}{(x_i-x_j)}}

Ezekre \, \!l_i(x_i)=1 és \, \!l_i(x_j)=0, ha i\ne j.

Tehát a p(z)= \sum_{i=1}^n y_i l_i(z) polinom tejesíti a feltételeket.

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyenek a pontok a következők: (-1;1), (0;2),(1;4) Ekkor ezek lesznek a Lagrange-féle alappolinomok:

l_1(x)=\frac{(x-0) (x-1)}{(-1-0)(-1-1)}=\frac {1}{2}(x^2-x)

l_2(x)=\frac{(x+1) (x-1)}{(0+1)(0-1)}= -1(x^2-1)

l_3(x)=\frac{(x+1) (x-0)}{(1+1)(1-0)}=\frac {1}{2}(x^2+x)

Ekkor a feltételeket kielégítő polinom ez lesz:

p(x)=1\cdot (\frac {1}{2}(x^2-x))+2\cdot (-1(x^2-1))+4\cdot (\frac {1}{2}(x^2+x))=\frac {1}{2}x^2 + \frac {3}{2}x +2

Történet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az ax+by+cz+du egyenlet ábrázolása az ókori Kínában
Az x^2+2xy+y^2+2yz+z^2+2zu+u^2+2ux egyenlet ábrázolása az ókori Kínában

A polinom gyökeinek meghatározása, vagyis különféle algebrai egyenletek megoldása már régóta a matematika fontos problémái közé tartozik. A mai praktikus jelölések a XV. században kezdtek el kifejlődni, addig általában az volt a szokás, hogy egy egyenletet szavakkal írtak le vagy az ókori Kínában például a változók szerint „ábrákat” készítettek róluk.

Az egyenlőségjelet először Robert Recorde használta a XVI. században, és ugyanebben az időben terjedt el a + jel használata az összeadásra, valamint a − jel használata a kivonásra. René Descartes volt az, aki elkezdte terjeszteni azt a ma is használt jelölésmódot, hogy a konstansok leírására az ábécé elejéről választunk betűket, míg a változókhoz az ábécé végéről. És ugyancsak ő volt az, aki először felső indexbe írta egy változó kitevőjét.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Polinom témájú médiaállományokat.
  • Horváth Erzsébet: Lineáris algebra
  • Ribnyikov: A matematika története
  • Nagy Attila (BME-TTK) Lineáris algebra c. előadásai