Polinom

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából


A matematikában a polinom (vagy többtagú algebrai kifejezés) egy olyan kifejezés, melyben csak számok és változók nemnegatív egész kitevőjű hatványainak szorzatai illetve ilyenek összegei szerepelnek. Például:

p(x,y,z,u) = 5x4y6 - 3xz³+11y15u7
q(x) = 2x² + 6x + 9
r(x,y) = x³ + 3x²y + 3x²y + y³

A polinomban a számokkal szorzott hatványszorzatokat monomoknak (vagy egytagoknak) nevezzük (például p-nél az 5x4y6, a -3xz³ és a 11y15u7 tagok).

A polinomokról általában[szerkesztés]

A monomokban lévő számszorzókat a polinom együtthatóinak hívjuk. A változókat néha határozatlanoknak. Az egyes monomokban a változók kitevőinek összege adja meg az adott monom fokát. A polinom fokának a benne lévő monomok fokának maximumát tekintjük.

Általában ha egy változó az első hatványon szerepel, akkor nem szokták a kitevőbe kiírni az 1-et. A 0 fokú monomokat konstans polinomoknak nevezzük.

Egyneműnek nevezünk egy monomot, ha csak együtthatóban különböznek. Polinomokat úgy adunk össze, hogy az egynemű egytagok együtthatóit összeadjuk:

A szorzás úgy történik, hogy „minden tagot minden taggal beszorzunk” és a keletkező szorzatokban az azonos változók hatványait az azonos alapú hatványok szorzásának szabályával számítjuk ki. Például

A polinomok legegyszerűbb megjelenési formái az egyváltozós polinomok. Például az

egy harmadfokú, egyhatározatlanú polinom. Az x fokszáma szerint csökkenő sorrendbe írva, az első monom foka 3, a másodiké 2, a harmadiké 0. A harmadfokú tag együtthatója 8, a másodfokúé -7, a konstans tag 36.

Egy másik jellegzetes polinomfajta a homogén fokszámú polinomok, melyekben a monomok foka egyenlő. Ilyenek szerepelnek például a binomiális tételben:

A polinomok együtthatói tetszőleges gyűrűből kerülhetnek ki. Ha R ez a gyűrű, akkor az egyváltozós, R-beli együtthatós polinomok körét R[X] jelöli. R[X] maga is gyűrűt alkot. Ha T test (algebra), akkor T[X] végtelen dimenziós vektorteret T felett. Ha T kommutatív test és a T[X] integritási tartományban p felbonthatatlan elem, akkor az T[X]/(p) maradékosztálygyűrű test. A középiskolában egész, racionális vagy valós együtthatós polinomokkal találkozhatunk. Az algebra alaptételében komplex együtthatós polinomokról van szó. Hasznosak még a kvaternió együtthatós (tehát lényegében mátrix együtthatójú), vagy a moduló m maradékosztálybeli együtthatós (véges testbeli) polinomok is.

Egyhatározatlanú polinomok és a köztük lévő műveletek[szerkesztés]

Az egyhatározatlanú polinomok tekinthetők olyan véges sok nemnulla elemmel rendelkező sorozatoknak, melyek elemei egy R gyűrűből kerülnek ki. Ekkor a sorozat elemeit az annyiadik fokú tag együtthatóját jelenti:

Nemnulla egyhatározatlanú polinom foka a legnagyobb nemnulla indexe (az indexelést 0-ról indítjuk). Például, ha aR nem nulla, akkor (a,0,0,0,0,…) konstanspolinom foka 0. A (0,0,0,0,…) nullapolinom foka nincs értelmezve (nincs legnagyobb indexű nemnulla eleme). A fok jele, mint fent: deg(p).

Összeadás[szerkesztés]

Az ilyen, sorozatként interpretált polinomok esetén az összeadás világos: pontonként történik:

Pl.:

Szorzás[szerkesztés]

A polinomszorzás a sorozatok konvolúciószorzata lesz: átlónként kell összeszorozni az elemeket, majd összeadni:

Hiszen világos, hogy a szorzatban azonos kitevőt adó monomokat (lehet) kell összeadni.

Polinomgyűrű[szerkesztés]

R[X] ezzel a két művelettel gyűrűt alkot. Ha R egységelemes, akkor R[X] egységelemes gyűrű. Ha R integritási tartomány (kommutatív, nemnulla egységelemes, nullosztómentes gyűrű), akkor R[X] is az.

Maradékos osztás[szerkesztés]

Gyűrű felett[szerkesztés]

Ha R kommutatív gyűrű, nemnulla egységelemmel, értelmes a maradékos osztás a következő korlátozott módon. Minden a,bR[X]-re, ha b főegyütthatója egység (azaz az egységelem osztója), egyértelműen létezik olyan q,rR[X], hogy

1. és
2. vagy

Például Z[X]-ben x³ + x = xx² + x (itt deg(x) < deg(x²)).

A Z[X]-beli korlátozott maradékos osztás nem összekeverendő az egész számok körében végezhető korlátlan maradékos osztással. Például világos, hogy

3x + 4 =3(x+1)+1, ahol |1| < |3|

azonban – bár az 1, 3, 4 számok polinomok Z[X]-ben – világos, hogy deg(1) = deg(3), hiszen mindkettő konstanspolinom. A különbség abból fakad, hogy Z-ben az osztás normája az abszolút érték, Z[X]-ben viszont a polinom foka, mely minden nemnulla konstanspolinomra 0.

Test felett[szerkesztés]

Ha T kommutatív test, akkor minden a,bT[X]-re, egyértelműen létezik olyan q,rT[X], hogy

1. és
2. vagy

Polinomok számelmélete[szerkesztés]

Az alábbiakban a test feletti egyhatározatlanú polinomok számelméleti tulajdonságait vizsgáljuk. A test feletti polinomok ugyanis integritási tartományt alkotnak, így értelmesek benne a számelméleti fogalmak.

Ha f és g polinomok, akkor azt mondjuk, hogy g osztója f-nek, ha létezik egy olyan h polinom, hogy:

Tehát ez azt jelenti, hogy f-et maradékosan elosztva g-vel a nullapolinomot kapjuk maradékul.

Az oszthatóság tulajdonságai[szerkesztés]

  • és akkor
  • akkor ha
  • és akkor ahol és tetszőlegesek.
  • akkor és ahol tetszőleges konstans.
  • Ha és akkor

Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös[szerkesztés]

-re azt mondjuk, hogy és közös osztója, ha osztója -nek és -nek Egy polinomot az és polinomok legnagyobb közös osztójának nevezzük, ha és közös osztója, valamint osztható és bármely közös osztójával. Jelölés:

Hasonló módon -re azt mondjuk, hogy és közös többszöröse, ha -nek osztója -nek és is. Egy polinomot az és polinomok legkisebb közös többszörösének nevezzük, ha és közös többszöröse, valamint osztja és bármely közös többszörösét.

Tulajdonságok[szerkesztés]

Tetszőleges és polinomoknak mindig van legnagyobb közös osztója, illetve amennyiben ezekből többet találunk, akkor azok csak egy konstans szorzóban térnek el egymástól.

Az egész számok körében a legnagyobb közös osztó gyors meghatározására kitalált Euklideszi algoritmus a polinomok körében is működik.

Irreducibilis polinomok[szerkesztés]

Egy -edfokú polinomra akkor mondjuk, hogy irreducibilis, ha az nem bontható fel két, n-nél kisebb fokú polinom szorzatára. Nevezhetjük őket a polinomok között prímeknek. Fontos azonban, hogy mely számok teste felett értjük az irreducibilitást, ugyanis például az polinom a valós számok teste felett irreducibilis, a komplexeké felett pedig nem.

Állítások irreducibilis polinomokra:

  • Minden elsőfokú polinom irreducibilis.
  • Ha irreducibilis, akkor tetszőleges konstans esetén is az.
  • Ha és irreducibilis, akkor vagy .
  • Minden polinomhoz megadhatók konstans szorzó erejéig egyértelműen olyan irreducibilis polinomok, hogy teljesül.

Polinomfüggvények[szerkesztés]

Ha R[X] az R gyűrű feletti polinomgyűrű és p = p(x) polinom, akkor a p által meghatározott polinomfüggvényen a

függvényt értjük.

Példák:

1. a komplex számok feletti q(z) = iz4 + 3iz - 5 polinom által meghatározott polinomfüggvény a

g: C C; z iz4 + 3iz - 5

függvény

2. a modulo 5 maradékosztályok feletti r(x) = x4 polinom által meghatározott polinomfüggvény a

h: Z5 Z5; x x4

Véges gyűrű feletti polinomfüggvény nem jelöli ki egyértelműen azt a polinomot, melyből a polinomfüggvény keletkezett. A 2. példánál h nem más, mint a

függvény éspedig a kis Fermat-tétel miatt. De ez ugyanaz, mint a h2(x)= x8 polinomfüggvény, amely azonban más polinom által meghatározott. S míg x4 x8 (mint polinom), addig h1 = h2, mint függvény. Ez amiatt van, hogy míg polinomból végtelen sok van, addig R-ből R-be menő függvényből csak nn db, amennyiben R számossága az n véges szám. Végtelen gyűrűkben már azonban igaz a kölcsönös meghatározottság.

Helyettesítési érték, zérushely, gyök[szerkesztés]

Ha pR[X] polinom és α ∈ R, akkor azt mondjuk, hogy p helyettesítési értéke α-ban a β ∈ R elem, ha a p által meghatározott polinomfüggvény α-n a β-t veszi föl értékül. Ezt a következőképpen jelöljük:

Ha p osztható az (x - α) elsőfokú polinommal, azaz létezik olyan qR[X] polinom, hogy

akkor azt mondjuk, hogy α ∈ R elem gyöke a p polinomnak és hogy (x-α) gyöktényezője p-nek.

Az x0R elem zérushelye a p polinomnak, ha x0-ben a p helyettesítési értéke 0.

Bézout tétele – A pR[X] polinomnak az α ∈ R elem pontosan akkor gyöke, ha zérushelye.

A nemnulla polinom gyökeinek száma legfeljebb annyi, mint a fokszáma. A komplex számok körében ezen kívül még az is igaz, hogy egy nemkonstans polinomnak pontosan annyi gyöke van (a multiplicitással számolva) ahányadfokú a polinom. Ez az algebra alaptétele.

A (multiplicitással számolva) pontosan n db gyökkel rendelkező n-edfokú polinomok felírhatók ún. gyöktényezős alakban:

A jobb oldali alakban a polinom főegyütthatójának, pedig a polinom gyökeinek felelnek meg.

Helyettesítési érték kiszámítása – Horner-módszer[szerkesztés]

A gyökök meghatározására alacsony fokú (első, másod, harmad) polinomok esetében léteznek különféle egyszerű formulák – ehhez lásd a megoldóképlet című cikket – azonban magasabb fokúak esetében ez már igencsak nehézkes. Azt meghatározni azonban, hogy egy komplex szám gyöke-e egy adott polinomnak létezik egy módszer, amit Horner dolgozott ki. A módszer működésének megértéséhez vegyük észre, hogy a polinomok a következő alakban is felírhatók:

Tehát egy komplex számról úgy tudjuk meg, hogy gyöke-e lesz-e a polinomunknak, hogy megnézzük a helyettesítési értékét az előző képlet szerint:

A módszer lényeges eleme az ún. Horner-séma lesz, azaz hogy ezt a fenti egyenletet táblázatba rendezzük azért, hogy a számolást meg tudjuk gyorsítani:

A fölső sorban a polinom együtthatói állnak. Az alsó sor első eleme a főegyüttható lesz, majd a következő tagokat úgy képezzük, hogy az előző tagot megszorozzuk -val majd hozzáadjuk a soron következő együtthatót. Így tehát az alsó sor elemei megfelelnek a fenti képlet egyes zárójeleinek, tehát végül alatt helyettesítési értéke áll.

Megjegyzések:

  1. A Horner-séma második sorában szereplő számok éppen az –val vett polinomosztás hányadosának együtthatói. Azaz ha egy gyököt megtaláltunk, szorzattá bonthatjuk a polinomunkat és az így kapott újabb polinomnak egy gyökét is próbálhatjuk megkeresni. Ezzel a módszerrel továbbhaladva eljuthatunk a polinom gyöktényezős alakjához.
  2. Ha helyettesítési értékére nem 0 jön ki akkor a kapott érték lesz az osztásunk maradéka.

Például vizsgáljuk meg, hogy a következő polinomnak gyöke-e a 3:

A feladathoz tartozó Horner-séma:

1 -5 11 -15
3 1 31-5=-2 3(-2)+11=5 35-15=0

Tehát a 3 gyöke a polinomnak és az polinommal való leosztás után szintén a táblázatból leolvasva kapjuk, hogy a hányadospolinom az lesz.

Gyökök és együtthatók közötti összefüggések[szerkesztés]

Legyenek a polinom együtthatói:, a gyökei pedig: . Ekkor a polinom gyökei és együtthatói között a következő összefüggések állnak fenn:

Ezeket az összefüggéseket Viète-formuláknak nevezzük. Előállításuk úgy történik, hogy gyöktényezős alakjában elvégezzük a beszorzást és összevetjük az így kapott együtthatókat az általános felírásból adódókkal.

Másodfokú polinomokra így kapjuk meg a formulákat:

Ezekből adódik tehát hogy:

és

Polinomok analízise[szerkesztés]

Polinomok deriváltja és integráltja könnyen számolható. Tehát vegyük az általánosan felírt polinom képletét:

Ennek az x szerinti deriváltja a következő:

A határozatlan integráltja pedig ez:

A polinomok végtelen sorok formájában függvények közelítésénél is használatosak. Ekkor a függvényeket Taylor-sorba fejtve kapunk hozzájuk határértékben tartó hatványsorokat. Ha ezeknek a végtelen soroknak csak véges alakjait tekintjük, akkor beszélünk Taylor-polinomokról.

Két a racionális számok teste feletti polinom hányadosát racionális függvénynek vagy racionális törtfüggvénynek hívjuk. Ezeknek az integrálása az integrálszámítás egyik alapváltozata. A művelet elvégzéséhez a parciális törtekre bontás módszerét szükséges alkalmazni.

Interpoláció[szerkesztés]

Az interpoláció módszerének segítségével különböző komplex számpárra, vagyis pontra a komplex számsíkon egyértelműen illeszthető ()-edfokú polinom, amely áthalad a megadott pontokon.

Bizonyítás[szerkesztés]

Legyenek az adott pontpárok a következők: . Először az egyértelműséget igazoljuk. Ha és két a feltételeknek eleget tevő polinom, akkor egy olyan legfeljebb ()-ed fokú polinom, amelynek gyöke. Az algebra alaptétele szerint ez csak akkor lehetséges, ha , vagyis .

Most konstruáljunk meg egy ilyen polinomot Lagrange módszerével. Ehhez konstruáljuk meg az ún. Lagrange-féle alappolinomokat:

Ezekre és , ha .

Tehát a polinom teljesíti a feltételeket.

Példa[szerkesztés]

Legyenek a pontok a következők: (-1;1), (0;2),(1;4) Ekkor ezek lesznek a Lagrange-féle alappolinomok:

Ekkor a feltételeket kielégítő polinom ez lesz:

Történet[szerkesztés]

Az egyenlet ábrázolása az ókori Kínában
Az egyenlet ábrázolása az ókori Kínában

A polinom gyökeinek meghatározása, vagyis különféle algebrai egyenletek megoldása már régóta a matematika fontos problémái közé tartozik. A mai praktikus jelölések a XV. században kezdtek el kifejlődni, addig általában az volt a szokás, hogy egy egyenletet szavakkal írtak le vagy az ókori Kínában például a változók szerint „ábrákat” készítettek róluk.

Az egyenlőségjelet először Robert Recorde használta a XVI. században, és ugyanebben az időben terjedt el a + jel használata az összeadásra, valamint a − jel használata a kivonásra. René Descartes volt az, aki elkezdte terjeszteni azt a ma is használt jelölésmódot, hogy a konstansok leírására az ábécé elejéről választunk betűket, míg a változókhoz az ábécé végéről. És ugyancsak ő volt az, aki először felső indexbe írta egy változó kitevőjét.

Források[szerkesztés]

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Polinom témájú médiaállományokat.
  • Horváth Erzsébet: Lineáris algebra
  • Ribnyikov: A matematika története
  • Nagy Attila (BME-TTK) Lineáris algebra c. előadásai