Polinomok számelmélete

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A polinomok számelmélete, a matematika algebrai számelmélet nevű ága egyik fejezeteként, olyan számelméleti eredetű fogalmakat vizsgál és általánosít polinomokra, mint pl. az oszthatóság, az irreducibilitás és reducibilitás (felbonthatatlanság és felbonthatóság), a maradékos osztás, a legnagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös vagy a prímfaktorizáció.

Egyhatározatlanú polinomok és a köztük lévő műveletek[szerkesztés]

Az egyhatározatlanú avagy egyváltozós polinomok tekinthetők olyan véges sok nem nulla elemmel rendelkező sorozatoknak, melyek elemei egy R gyűrűből kerülnek ki. Ekkor a sorozat elemeit az annyiadik fokú tag együtthatóját jelenti:

Nemnulla egyhatározatlanú polinom foka a legnagyobb nem nulla indexe (az indexelést 0-ról indítjuk). Például, ha aR nem nulla, akkor (a,0,0,0,0,…) konstanspolinom foka 0. A (0,0,0,0,…) nullapolinom foka nincs értelmezve (nincs legnagyobb indexű nemnulla eleme). A fok jele, mint fent: deg(p).

Összeadás[szerkesztés]

Az ilyen, sorozatként interpretált polinomok esetén az összeadás világos: pontonként történik:

Például

Szorzás[szerkesztés]

A polinomszorzás a sorozatok konvolúciószorzata lesz: átlónként kell összeszorozni az elemeket, majd összeadni:

Hiszen világos, hogy a szorzatban azonos kitevőt adó monomokat (lehet) kell összeadni. Például

Polinomgyűrű[szerkesztés]

A polinomok együtthatói tetszőleges gyűrűből kerülhetnek ki. Ha R ez a gyűrű, akkor az egyváltozós, R-beli együtthatós polinomok körét R[X] jelöli. R[X] maga is gyűrűt alkot. Ha T test (algebra), akkor T[X] végtelen dimenziós vektorteret T felett. Ha T kommutatív test és a T[X] integritási tartományban p felbonthatatlan elem, akkor az T[X]/(p) maradékosztálygyűrű test.

R[X] a fenti két művelettel gyűrűt alkot. Ha R egységelemes, akkor R[X] egységelemes gyűrű. Ha R integritási tartomány (kommutatív, nem nulla egységelemes, nullosztómentes gyűrű), akkor R[X] is az.

Maradékos osztás[szerkesztés]

Gyűrű felett[szerkesztés]

Ha R kommutatív gyűrű, nemnulla egységelemmel, értelmesen definiálható a maradékos osztás művelete az alábbi korlátozott módon.

Minden a,bR[X]-re, ha b főegyütthatója egység (azaz az egységelem osztója), egyértelműen létezik olyan q,rR[X], hogy

1. és
2. vagy

Például Z[X]-ben x³ + x = xx² + x (itt deg(x) < deg(x²)).

A Z[X]-beli korlátozott maradékos osztás nem összekeverendő az egész számok körében végezhető korlátlan maradékos osztással. Például világos, hogy

3x + 4 =3(x+1)+1, ahol |1| < |3|

azonban – bár az 1, 3, 4 számok polinomok Z[X]-ben – világos, hogy deg(1) = deg(3), hiszen mindkettő konstanspolinom. A különbség abból fakad, hogy Z-ben az osztás normája az abszolút érték, Z[X]-ben viszont a polinom foka, mely minden nemnulla konstanspolinomra 0.

Test felett[szerkesztés]

Ha T kommutatív test, akkor minden a, bT[X]-re, egyértelműen létezik olyan q, rT[X], hogy

1. és
2. vagy

Számelméleti tulajdonságok[szerkesztés]

Az alábbiakban a test feletti egyhatározatlanú avagy egyváltozós polinomok számelméleti tulajdonságait vizsgáljuk. A test feletti polinomok ugyanis integritási tartományt alkotnak, így értelmesek benne a számelméleti fogalmak.

Ha f és g polinomok, akkor azt mondjuk, hogy g osztója f-nek, ha létezik egy olyan h polinom, hogy:

Tehát ez azt jelenti, hogy f-et maradékosan elosztva g-vel a nullapolinomot kapjuk maradékul.

Az oszthatóság tulajdonságai[szerkesztés]

  • és akkor
  • akkor ha
  • és akkor ahol és tetszőlegesek.
  • akkor és ahol tetszőleges, második esetben nemnulla konstans.
  • Ha és akkor

Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös[szerkesztés]

-re azt mondjuk, hogy és közös osztója, ha osztója -nek és -nek Egy polinomot az és polinomok legnagyobb közös osztójának nevezzük, ha és közös osztója, valamint osztható és bármely közös osztójával. Jelölés:

Hasonló módon -re azt mondjuk, hogy és közös többszöröse, ha -nek osztója -nek és is. Egy polinomot az és polinomok legkisebb közös többszörösének nevezzük, ha és közös többszöröse, valamint osztja és bármely közös többszörösét.

Tulajdonságok[szerkesztés]

Tetszőleges és polinomoknak mindig van legnagyobb közös osztója, illetve amennyiben ezekből többet találunk, akkor azok csak egy konstans szorzóban térnek el egymástól.

Az egész számok körében a legnagyobb közös osztó gyors meghatározására kitalált Euklideszi algoritmus a polinomok körében is működik.

Irreducibilis polinomok[szerkesztés]

Egy n-edfokú polinomra akkor mondjuk, hogy irreducibilis, ha az nem bontható fel két, n-nél kisebb fokú polinom szorzatára. Nevezhetjük őket a polinomok között prímeknek.

Állítások irreducibilis polinomokra:

  • Minden elsőfokú polinom irreducibilis.
  • Ha irreducibilis, akkor tetszőleges konstans esetén is az.
  • Ha és irreducibilis, akkor vagy .
  • Minden polinomhoz megadhatók konstans szorzó erejéig egyértelműen olyan irreducibilis polinomok, hogy teljesül.

Fontos azonban, hogy mely számok teste felett értjük az irreducibilitást, ugyanis például

  • az polinom a valós számok teste felett irreducibilis, a komplexeké felett pedig nem:

Faktorizálás[szerkesztés]

A faktorizálás során a polinomot irreducibilis polinomok szorzatára alakítjuk át.