Maradékos osztás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A maradékos osztás egy matematikai művelet.

Az egész számok körében az osztás nem mindig végezhető el. Ha elvégezhető, akkor az a egész osztható a b egésszel. Ha az a egész nem osztható a b egésszel, akkor az egész számok körében maradék képződik; az osztás nem fejezhető be. A maradékos osztás, más néven bennfoglalás eredménye nemcsak a hányados, hanem a maradék is.

Bármely két pozitív egész szám közül a nagyobbikat el tudjuk osztani a kisebbel úgy, hogy az osztási maradék kevesebb legyen, mint a kisebbik szám.

Formális leírása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tetszőleges a és b ≠ 0 egész számokhoz léteznek olyan egyértelműen meghatározott q és r egész számok, melyekre

  •  a = b\cdot q + r\

és 0 ≤ r < |b|[1]

Az egyértelműség bizonyítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Indirekt módon bizonyíthatunk. Tegyük fel, hogy valamely a és b számokra nem teljesül, azaz találunk q_1, q_2, r_1, r_2 számokat, amikre

a=bq_1+r_1 és
a=bq_2+r_2

teljesül egyszerre. A két egyenlet különbségét véve kapjuk, hogy

0=b(q_1-q_2)+(r_1-r_2)

Átrendezve:

(r_2-r_1)=b(q_1-q_2).

Mivel pedig a maradékok kisebbek, mint b, a különbségüknek csak akkor lehet osztója, ha az nulla, így r_1=r_2. Így pedig kapjuk, hogy a hányadosok különbsége is nulla, azaz q_1=q_2.

Geometriai értelmezése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha adott egy a és egy b hosszúságú szakasz, akkor a maradékos osztás hányadosa az a szám, ahányszor a kisebbik szakasz a nagyobbikra felmérhető, míg a maradék a fennmaradó szakasz hosszát adja eredményül. Vegyük észre, hogy ez az értelmezés némileg szélesebb körű definíciót tesz lehetővé, mivel így a maradékos osztást a valós számokra is ki tudjuk terjeszteni. Tulajdonképpen ebből az értelmezésből vezette le Euklidész a róla elnevezett algoritmust, illetve a szakaszok összemérhetőségének fogalmát.

Euklideszi gyűrűk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fogalom általánosításával definiálható az euklideszi gyűrűk fogalma is: ha egy gyűrűben van egy norma, amire igaz, hogy minden elempár esetén a pár egyik tagját a másik tag egy gyűrűbeli elemmel való szorzatának és egy, a másik tagnál kisebb normájú elemnek az összegeként kaphatjuk meg. Röviden:

\forall(a,b)\in R:\exists(q,r)\in R, (a=bq+r)\wedge \left(||r||<||b||\right)

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Freud Róbert, Gyarmati Edit Számelmélet. Nemzeti Tankönyvkiadó 2000, 2006.