Algebrai számelmélet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Az algebrai számelmélet a számelmélet és így a matematika egy részterülete.

Az algebrai számelmélet a racionális egész illetve racionális számok helyett számtestekkel, azaz a racionális számok testének véges bővítéseivel foglalkozik. Ha egy számtest, akkor vizsgálható a -beli algebrai egészek gyűrűje: ez egész lezártjaként áll elő. Konkrétan fogalmazva -ra

,

valamely és mellett, azaz gyöke egy egész együtthatós (nem konstans 0) polinomnak. Az így kapott gyűrű Dedekind-gyűrű, és mint ilyen, számos tekintetben -hez hasonlóan viselkedik, ugyanakkor bizonyos tulajdonságok csak gyengébb formában érvényesek. Például Dedekind-gyűrűkben nem feltétlenül létezik az elemek prímelemekre való egyértelmű felbontása (azaz nem feltétlenül teljesül a számelmélet alaptétele), viszont az ideálok mindig egyértelműen felbonthatók prímideálok szorzatára (tehát az alaptétel ideálokra teljesül).

Számtestek helyett általánosabban beszélhetünk globális testekről is: ebben a fogalomba a számtestek mellett véges bővítéseit – az úgynevezett függvénytesteket – is beleértjük, ahol egy racionális prímszám. A számtestek és függvénytestek között alapvető különbség, hogy utóbbiak karakterisztikája véges. Ugyanakkor a globális testek két típusa között számos analógia is fennáll. Egy globális test közvetlen vizsgálata helyett gyakran eredményesebb a hozzá tartozó lokális testekkel foglalkozni, és az így kapott eredményekből a lokál–globál-elven keresztül eljutni egy a globális testre vonatkozó eredményhez. Ez az eljárás a racionális számok (mint globális test) esetében a p-adikus számok (mint lokális testek) vizsgálatát jelenti.

Alapvető fogalmak[szerkesztés]

Az egyértelmű prímfelbontás hiánya[szerkesztés]

Legyen egy integritási tartomány. Egy elemet akkor mondunk prímnek, ha

vagy .

Ez a definíció a racionális egészek gyűrűjében a prímszámokénál gyengébb definíciót ad: prímelemei pontosan a prímszámok és a prímszámok ellentettjei. Ez annak az általános állításnak a speciális esete, hogy ha prímelem és egység, akkor is prímelem (a racionális egészek körében az egységek).

Egy elemet irreducibilisnek (felbonthatatlannak) nevezünk, ha

vagy ,

azaz -nek nincs nemtriviális faktorizációja. Általában minden prímelem irreducibilis, de a fordított irányú implikáció nem igaz.

Azt mondjuk, hogy -ben teljesül a számelmélet alaptétele (azaz alaptételes gyűrű, illetve az angol unique factorisation domain rövidítéseként UFD), ha minden elem sorrend és egységszorzók erejéig felbontható irreducibilis elemek szorzatára. Például UFD, de általános esetben nem az. UFD-ben a prím- és az irreducibilis elemek megegyeznek.

Például -ben 3, és irreducibilis elemek, így

a 9 két különböző felbontása irreducibilis elemekre. Valóban, ha a két felbontás nem lenne különböző, akkor egységszerese lenne 3-nak, viszont -ben a 3-mal osztható elemek alakúak ().

Ideálok felbontása prímideálok szorzatára[szerkesztés]

Ha egy számtest, akkor Dedekind-gyűrű, következésképpen bármely ideál sorrend erejéig egyértelműen felbontható prímideálok szorzatára. Másképp fogalmazva -ban a számelmélet alaptétele elemek helyett csak ideálokra teljesül.

Speciálisan ha UFD, akkor minden prímideált egy prímelem generál. Következésképpen akkor és csak akkor UFD, ha főideálgyűrű. (Általános esetben ez nem áll: ha egy integritási tartomány főideálgyűrű, akkor mindig UFD, de a megfordítás nem feltétlenül igaz.)

Osztálycsoport[szerkesztés]

Akkor és csak akkor nincs egyértelmű prímfelbontás, ha a gyűrűben vannak olyan prímideálok, amik nem főideálok. A prímideálok nem-főideálságát méri az osztálycsoport. Ahhoz, hogy csoportstruktúrát kapjunk, az algebrai egészek gyűrűjében vett ideálok helyett egy bővebb halmazzal, a törtideálokkal dolgozunk. A törtideál fogalma az ideálénál általánosabb: egy részhalmaz akkor törtideál, ha additív részcsoport és zárt az elemeivel való szorzásra, azaz . Minden ideál törtideál, és ha törtideálok, akkor az szorzatuk is törtideál. A törtideálok ezzel a szorzással csoportot alkotnak, az egységelem , az inverz . Az osztálycsoport rendje az osztályszám.

Valós és komplex beágyazások[szerkesztés]

Bizonyos számtestek beágyazhatók a valós számtestbe; mások nem. Előbbire példa , utóbbira . Egy ilyen beágyazás nem feltétlenül egyértelmű: a példánál maradva, kétféleképpen ágyazható be a valós számok testébe: a két beágyazást illetve indukálja.

Mivel a komplex számok teste a racionális számtest algebrai lezártja, minden számtest beágyazható a komplex számok testébe. A különböző beágyazások száma megegyezik a fokszámmal. A beágyazások közül valósnak nevezzük azokat, amiknek képe -ben részhalmaza -nek; minden más beágyazást komplexnek nevezünk. A komplex beágyazások párokat alkotnak: ha egy beágyazás, akkor a konjugált is az, ahol , és a felülvonás komplex konjugálást jelöl.

A valós beágyazások számát -gyel, a komplex konjugált beágyazáspárok számát -vel szokás jelölni. Következik, hogy .

Diszkrimináns[szerkesztés]

Azt mondjuk, hogy egy bővítésben az elemek egész bázist alkotnak, ha

.

Minden számtestben létezik egész bázis, és az Abel-csoport rangja megegyezik a bővítés fokával.[1]

Legyen egy egész bázis, és legyenek a beágyazások, azaz a csoport elemei. Ekkor az bázis diszkriminánsa

.

Megmutatható, hogy ez nem függ az egész bázis választásától, így beszélhetünk a számtest diszkriminánsáról.[2]

A fentiekkel analóg módon definiálható számtestek egy bővítésének relatív diszkriminánsa. A diszkrimináns fontos szereppel bír az elágazáselméletben.

Elágazáselmélet[szerkesztés]

Tekintsük számtesteknek egy bővítését. Minden -beli prímideál egy -beli prímideál fölött helyezkedik el, azaz egy prímideál. A megfordítás nem igaz: az egy prímideálja által generált ideál nem feltétlenül prím. A fentiek értelmében mind Dedekind-gyűrű, következésképpen az ideál egyértelműen felírható prímideálok szorzataként, azaz

valamely prímideálokra és pozitív egészekre. Az kitevőt ekkor a elágazási indexének nevezzük. Definiáljuk továbbá inerciafokát: ez a hányadostestének mint hányadosteste feletti testbővítésnek a foka, azaz

.

Az ezekre vonatkozó fontos összefüggés a fundamentális egyenlet:

Azt mondjuk, hogy elágazik az bővítésben, ha valamely -re; máskülönben el nem ágazó. Továbbá ha minden -re, akkor azt mondjuk, hogy teljesen felbomlik. Az elágazási viselkedés meghatározásában központi szereppel bír a diszkrimináns: pontosan azok a prímek ágaznak el, amelyek osztják a relatív diszkriminánst. Minkowski-elméleti eszközökkel megmutatható, hogy minden testbővítés diszkriminánsa 1-nél nagyobb; következésképpen -nak nincsen elágazásmentes bővítése.

Ha az bővítés Galois, akkor a fölötti prímideálok egymás Galois-konjugáltjai. Következésképpen valamennyiük az összes elágazási index megegyezik, és ugyanez igaz az inerciafokokra is.

Zetafüggvény[szerkesztés]

Egy számtest Dedekind-féle zetafüggvénye a Riemann-féle zéta-függvény általánosítása számtestekre. Ennek megfelelően a számtest prímideáljainak viselkedését írja le. Egy K számtest Dedekind-zetafüggvényét először azon komplex számokra definiáljuk, amelyeknek valós része 1-nél nagyobb. Ezekre a zetafüggvényt a következő Dirichlet-sor adja meg:

Itt az gyűrű nemnulla ideáljain fut végig, és az ideál abszolút normáját jelöli. Könnyen látható, hogy a speciális esetben a Riemann-féle zetafüggvényt kapjuk. A sor minden fenti -re abszolút konvergál.

A Riemann-zetafüggvényhez hasonlóan is Euler-szorzatalakba fejthető minden -re:

ahol az prímideáljain fut végig. Az Euler-szorzatalak az ideálok prímideálok szorzatára való egyértelmű felbontásának egyenes következménye.

Hecke megmutatta, hogy kiterjeszthető a komplex számsíkra meromorf függvényként, egyetlen egyszerű pólussal az pontban. Az ebben a pontban vett reziduumot az analitikus osztályszámképlet adja meg – ez az algebrai számelmélet egy központi eredménye.

Főbb eredmények[szerkesztés]

Az osztályszám végessége[szerkesztés]

Az algebrai számelmélet egyik klasszikus eredménye, hogy egy számtest osztálycsoportja véges. Az osztálycsoport rendjét a számtest osztályszámának nevezzük; ezt gyakran -val jelölik.

Minkowski-elmélet[szerkesztés]

Az osztályszám végessége a Minkowski-féle rácselmélet felhasználásával látható be. Ennek felhasználásával egy -beli ideál felfogható egy -beli ún. teljes rácsként, aminek a térfogata a diszkrimináns és az ideál indexének függvénye. A teljes rácsok térfogatáról szól Minkowski rácsponttétele, aminek felhasználásával az előbbi térfogatra adható egy egyenlőtlenség. Ez az egyenlőtlenség lehetővé teszi az osztályszám becslését, speciálisan a végesség bizonyítását.[3]

Dirichlet-féle egységtétel[szerkesztés]

A Dirichlet-féle egységtétel leírja az algebrai egészek gyűrűjének egységcsoportját. A tétel szerint izomorf -gyel, ahol a -beli egységgyökök csoportja, a valós beágyazások száma, pedig a komplex beágyazások számának fele. Másként megfogalmazva, az egységcsoport egy végesen generált rangú Abel-csoport, amelynek torziócsoportja pontosan a -beli egységgyökökből áll.

A tételt a Minkowski-elmélet eszközeivel lehet bizonyítani.

Regulátor[szerkesztés]

Legyenek az szabad részének egy bázisa; ezek létezését a Dirichlet-féle egységtétel garantálja. Legyenek a valós, a komplex beágyazások. Legyen , ha , azaz ha valós, és , ha , azaz ha komplex. Ekkor a számtest regulátora

.

Vegyük észre, hogy a mátrixból kihagytuk az -edik beágyazáshoz tartozó sort, és így kaptunk négyzetes mátrixot. A regulátor értéke független a kihagyott beágyazástól, valamint a beágyazások illetve az egységek sorrendjétől (a külső abszolútértéknek köszönhetően).[4]

A regulátor megközelíthető a Minkowski-elmélet felől is.[5] Ekkor az egységcsoport képe -ben egy rács lesz, amelynek térfogata a regulátorral arányos. Következésképpen minél kisebb a regulátor, annál „több” egység van az gyűrűben, azaz annál „sűrűbben” helyezkednek el az -beli egységek képei az Minkowski-térben.

Analitikus osztályszámképlet[szerkesztés]

Az analitikus osztályszámképlet egy számtest Dedekind-zetafüggvényének helyen vett reziduumát adja meg.

A jobb oldalon szereplő számok a következők:

Általánosságban az osztályszám kiszámítása nehéz kérdés; a fenti képlet részben azért jelentős, mert ezen keresztül az osztályszám meghatározása visszavezethető más invariánsok meghatározására. A bal oldalon álló reziduum kiszámításához egy lehetséges út lehet a számtest prímideáljainak leírása, majd a zetafüggvény Euler-szorzatalakon keresztüli felírása.[6]

A fenti képlet általánosan igaz valamennyi számtestre. Bizonyos speciális számtestek esetén ennél könnyebben kezelhető képletek is léteznek. Például kvadratikus számtestek (azaz a racionális számok másodfokú algebrai bővítései) esetén az osztályszám meghatározható a diszkrimináns és egy Dirichlet-karakter ismeretében; ez az úgynevezett Dirichlet-osztályszámképlet.[7]

Ennél nagyobb általánosságban is beszélhetünk „analitikus képletekről” az algebrai számelméletben és az aritmetikai geometriában. Ezek közös vonása, hogy a vizsgált objektum valamely aritmetikai invariánsa és egy analitikus függvény helyen vett értéke közötti összefüggést adnak meg, néhány további, jellemzően viszonylag egyszerű tényező erejéig. A fenti esetben a vizsgált objektum a számtest, az aritmetikai invariáns az osztályszám és a regulátor szorzata, az említett analitikus függvény , a további tényezők pedig , és . Egy aritmetikai geometriai példa a Birch és Swinnerton-Dyer-sejtés. Abban a speciális esetben, amikor a Mordell–Weil-csoport véges, az aritmetikai invariáns a Tate–Safarevics-csoport rendje, az analitikus függvény pedig a Hasse–Weil-féle L-függvény lesz.[8]

Reciprocitási tételek és osztálytest-elmélet[szerkesztés]

A kvadratikus reciprocitási tételhez analóg módon vizsgálható, hogy egy egész együtthatós, felett irreducibilis polinom mikor bomlik lineáris faktorokra a moduló p, vagyis a polinomgyűrűben. A kvadratikus reciprocitás esetében a vizsgált polinom . Egy további példa a körosztási reciprocitási tétel:

A körosztási polinom akkor és csak akkor bomlik lineáris faktorokra moduló p, ha .

Az általános kérdést Abel-polinomok (olyan polinomok, amiknek Galois-csoportja Abel) esetében az osztálytest-elmélet vizsgálja; a vonatkozó tétel Artin-reciprocitás néven ismert.[9]

Kronecker–Weber-tétel[szerkesztés]

A Kronecker–Weber-tétel szerint minden Abel-számtest beágyazható egy körosztási testbe. Pontosabban ha egy véges Galois-bővítés, amelynek Galois-csoportja egy Abel-csoport, akkor létezik egy olyan egész, melyre . Itt az -edik egységgyökök csoportját jelöli, az -edik körosztási test.[10]

A tétel arra mutat rá, hogy a feletti Abel-bővítések elméletében a körosztási testek játsszák az alapvető építőkövek szerepét. Ez azért hasznos, mert így a körosztási testek viszonylag részletesen ismert tulajdonságaiból lehet következtetni más Abel-bővítések tulajdonságaira.

A tételnek létezik egy lokális verziója is – sőt, a tétel egyik lehetséges bizonyításában először ezt a lokális verziót igazolják elágazáselméleti eszközökkel, majd a globális Kronecker–Weber-tétel bizonyítását visszavezetik a lokális esetre.[10] A lokális Kronecker–Weber-tétel állítása a következő: ha a p-adikus számok testének egy véges Galois-bővítése, amelynek Galois-csoportja egy Abel-csoport, akkor létezik egy olyan egész, melyre .[11]

A tétel az osztálytest-elméleten keresztül is bizonyítható.[12]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Zábrádi 2020 3.2.6.
  2. Zábrádi 2020 3.2.9.
  3. Zábrádi 2020 §§3.4–5
  4. Washington 1997 p. 41
  5. Neukirch 1992 Chapter I, (7.5) Proposition
  6. Neukirch 1992 p. 467ff.
  7. Tian §7.5
  8. Mazur 2020
  9. Wyman 1972 §§1–4
  10. a b Zábrádi 2020 §5.2
  11. Zábrádi 2020 §4.7
  12. Wyman 1972 p. 579

Források[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben az Algebraische Zahlentheorie című német Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
  • Ez a szócikk részben vagy egészben az Algebraic number theory című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Dedekind zeta function című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.