Reziduum

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A komplex függvénytanban a reziduum a Laurent-sorok mínusz egyedik együtthatója. Fontosságát a reziduumtételnek köszönheti, ami lehetővé teszi a komplex értékű függvények komplex síkbeli görbe menti integráljának kiszámítását. Ha a görbével valós intervallumot közelítünk, akkor valós integrálok számításához is hasznos eszközt kapunk.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Komplex tartományon[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen D\subseteq\mathbb{C} tartomány, D_f izolált pont D-ben és f\colon D\setminus D_f \to \mathbb{C} holomorf. Ekkor minden a\in D_f pontnak van egy pontozott környezete, U:=U_r(a)\setminus\{a\}\subset D, ami relatív kompakt D-ben, ahol f|_U holomorf. Ekkor f Laurent-sorba fejthető U-ban: \textstyle f|_U(z) =\sum_{n=-\infty}^\infty c_n(z-a)^n, és ekkor f reziduuma a-ban

\operatorname{Res}_a(f) := c_{-1}=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U} f(z) dz.

Riemann-féle számgömb[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fenti definíció kiterjeszthető a \mathbb{P}_1 = \C \cup \{\infty\} Riemann-féle számgömbre is. Legyen ismét D_f diszkrét halmaz \mathbb{P}_1-ben és f \colon \mathbb{P}_1 \setminus D_f \to \mathbb{C} holomorf függvény. Ekkor minden a \in D_f mit a \neq \infty-ra legyen ugyanaz a definíció, mint az előbb. Ha a = \infty \in D_f, akkor a reziduumot a

\operatorname{Res}_\infty(f) := -c_{-1} = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\gamma} f(z) dz\,

helyettesítéssel definiáljuk, ahol \gamma egy elég nagy sugarú, óramutató járása szerint irányított kör, és c_{-1} a Laurent-sor mínusz egyedik együtthatója.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Legyen D \subset \C tartomány, és f \colon D \to \C holomorf függvény a-ban. Ekkor a Cauchy-integráltétel miatt f reziduuma a-ban nulla.
  • Az integrálos ábrázolás szerint az f(z)\mathrm{d}z differenciálforma reziduumáról is beszélhetünk.
  • Teljesül a reziduumtétel, hogy a zárt görbe menti integrál csak a görbén belül levő szingularitásoktól, az ottani reziduumoktól és az azok körüli körülfordulási számtól függ.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Ha f a egy nyílt környezetében holomorf, akkor \operatorname{Res}_a f=0.
  • Ha f(z)=\tfrac{1}{z}, akkor f-nek elsőrendű pólusa van 0-ban, és ott \operatorname{Res}_0 f=1.
  • A logaritmikus derivált szabálya és a linearitás miatt \operatorname{Res}_1\tfrac{z}{z^2-1}=\tfrac{1}{2}, mivel z\mapsto z^2-1-nal elsőrendű nullhelye van 1-ben.
  • A gammafüggvénynek elsőrendű pólusa van -n-ben, ahol n\in\mathbb{N}_0 és ott a reziduuma \operatorname{Res}_{-n}\Gamma=\tfrac{(-1)^n}{n!}.

Kiszámítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A komplex értékű függvények reziduuma sokszor a definíciónál könnyebben is kiszámítható. Legyenek f,g komplex függvények, és keressük a reziduumot a-ban!

  • A reziduumképzés lineáris \mathbb{C} mint alaptest fölött, vagyis minden \lambda,\mu\in\mathbb{C}-re:
\operatorname{Res}_a \left( \lambda f + \mu g \right) = \lambda\operatorname{Res}_a f + \mu\operatorname{Res}_a g
  • Ha f-nek a-ban elsőrendű pólusa van, akkor:
\textstyle \operatorname{Res}_a f = \lim_{z\rightarrow a} (z-a)f(z)
  • Ha f-nek elsőrendű pólusa van a-ban, és g ugyanitt holomorf:
\operatorname{Res}_a gf=g(a)\operatorname{Res}_a f
  • Ha f-nek a-ban elsőrendű nullhelye van:
\operatorname{Res}_a\tfrac{1}{f} = \tfrac{1}{f'(a)}
  • Ha f-nek a-ban elsőrendű nullhelye van, és g ugyanitt holomorf:
\operatorname{Res}_a\tfrac{g}{f} = \tfrac{g(a)}{f'(a)}
  • Ha f-nek a-ban n-edrendű pólusa van: :\textstyle \operatorname{Res}_a f = \tfrac{1}{\left(n-1\right)!}\lim_{z\rightarrow a}\frac{\partial^{n-1}}{\partial z^{n-1}}[(z-a)^nf(z)]
  • Ha f-nek a-ban n-edrendű nullhelye van: :\operatorname{Res}_a\tfrac{f'}{f}=n.
  • Ha f-nek a-ban n-edrendű nullhelye van, és g ugyanitt holomorf:
\operatorname{Res}_a g\tfrac{f'}{f}=g(a)n.
  • Ha f-nek a-ban n-edrendű pólusa van: :\operatorname{Res}_a\tfrac{f'}{f}=-n.
  • Ha f-nek a-ban n-edrendű pólusa van és g ugyanitt holomorf:
\operatorname{Res}_a g\tfrac{f'}{f}=-g(a)n.
  • Ha a \infty-beli reziduum kell, akkor:
\operatorname{Res}_\infty f = \operatorname{Res}_0\left(-\tfrac{1}{z^2}f(\tfrac{1}{z})\right). Ekkor a w=\tfrac{1}{z} helyettesítéssel:
f(w)\mathrm{d}w=f(\tfrac{1}{z})\mathrm{d}\tfrac{1}{z}=-\tfrac{1}{z^2}f(\tfrac{1}{z})\mathrm{d}z

Az \tfrac{f'}{f} logaritmikus derivált az elméletben is kapcsolódik a reziduumtételhez.

Algebrája[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen K test, és X egy egyszerű összefüggő reguláris zárt görbe K fölött! Ekkor minden x\in X közrezárt elemhez létezik egy kanonikus leképezés:

\operatorname{res}_x\colon\Omega_{K(X)/K}\to K,

ami minden meromorf differenciálformához hozzárendeli az x-beli reziduumát.

Ha x K-racionális elem és t lokális uniformizálandó, akkor a reziduumleképezés explicit módon is megadható: Hogyha \omega meromorf differenciálforma és \omega=f\,\mathrm dt lokális ábrázolás, és még

f=\sum_{k=-N}^\infty a_kt^k

Laurent-sora f-nek, akkor

\operatorname{res}_x\omega=a_{-1}.

Ez K=\mathbb C esetén megegyezik a függvénytani definícióval.

A reziduumtétel analógja is teljesül: Minden \omega meromorf differenciálformára a reziduumok összege nulla:

\sum_{x\in X}\operatorname{res}_x\omega=0.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000.
  • A. P. Yuzhakov: Residue of an analytic function. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 Online
  • John Tate, Residues of differentials on curves. Annales scientifiques de l'É.N.S. 4e série, tome 1, no 1 (1968), S. 149–159. DJVU/PDF