Reziduum

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A komplex függvénytanban a reziduum a Laurent-sorok mínusz egyedik együtthatója. Fontosságát a reziduumtételnek köszönheti, ami lehetővé teszi a komplex értékű függvények komplex síkbeli görbe menti integráljának kiszámítását. Ha a görbével valós intervallumot közelítünk, akkor valós integrálok számításához is hasznos eszközt kapunk.

Definíció[szerkesztés]

Komplex tartományon[szerkesztés]

Legyen tartomány, izolált pont -ben és holomorf. Ekkor minden pontnak van egy pontozott környezete, , ami relatív kompakt -ben, ahol holomorf. Ekkor Laurent-sorba fejthető -ban: , és ekkor reziduuma -ban

.

Riemann-féle számgömb[szerkesztés]

A fenti definíció kiterjeszthető a Riemann-féle számgömbre is. Legyen ismét diszkrét halmaz -ben és holomorf függvény. Ekkor minden mit -ra legyen ugyanaz a definíció, mint az előbb. Ha , akkor a reziduumot a

helyettesítéssel definiáljuk, ahol egy elég nagy sugarú, óramutató járása szerint irányított kör, és a Laurent-sor mínusz egyedik együtthatója.

Tulajdonságok[szerkesztés]

  • Legyen tartomány, és holomorf függvény -ban. Ekkor a Cauchy-integráltétel miatt reziduuma -ban nulla.
  • Az integrálos ábrázolás szerint az differenciálforma reziduumáról is beszélhetünk.
  • Teljesül a reziduumtétel, hogy a zárt görbe menti integrál csak a görbén belül levő szingularitásoktól, az ottani reziduumoktól és az azok körüli körülfordulási számtól függ.

Példák[szerkesztés]

  • Ha egy nyílt környezetében holomorf, akkor .
  • Ha , akkor -nek elsőrendű pólusa van -ban, és ott .
  • A logaritmikus derivált szabálya és a linearitás miatt , mivel -nal elsőrendű nullhelye van -ben.
  • A gammafüggvénynek elsőrendű pólusa van -ben, ahol és ott a reziduuma .

Kiszámítása[szerkesztés]

A komplex értékű függvények reziduuma sokszor a definíciónál könnyebben is kiszámítható. Legyenek komplex függvények, és keressük a reziduumot a-ban!

  • A reziduumképzés lineáris mint alaptest fölött, vagyis minden -re:
  • Ha -nek -ban elsőrendű pólusa van, akkor:
  • Ha -nek elsőrendű pólusa van -ban, és ugyanitt holomorf:
  • Ha -nek -ban elsőrendű nullhelye van:
  • Ha -nek -ban elsőrendű nullhelye van, és ugyanitt holomorf:
  • Ha -nek -ban -edrendű pólusa van: :
  • Ha -nek -ban -edrendű nullhelye van: :.
  • Ha -nek -ban -edrendű nullhelye van, és ugyanitt holomorf:
.
  • Ha -nek -ban -edrendű pólusa van: :.
  • Ha -nek -ban -edrendű pólusa van és ugyanitt holomorf:
.
  • Ha a -beli reziduum kell, akkor:
. Ekkor a helyettesítéssel:

Az logaritmikus derivált az elméletben is kapcsolódik a reziduumtételhez.

Algebrája[szerkesztés]

Legyen test, és egy egyszerű összefüggő reguláris zárt görbe fölött! Ekkor minden közrezárt elemhez létezik egy kanonikus leképezés:

ami minden meromorf differenciálformához hozzárendeli az -beli reziduumát.

Ha -racionális elem és lokális uniformizálandó, akkor a reziduumleképezés explicit módon is megadható: Hogyha meromorf differenciálforma és lokális ábrázolás, és még

Laurent-sora -nek, akkor

Ez esetén megegyezik a függvénytani definícióval.

A reziduumtétel analógja is teljesül: Minden meromorf differenciálformára a reziduumok összege nulla:

Források[szerkesztés]

  • Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000.
  • A. P. Yuzhakov: Residue of an analytic function. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 Online
  • John Tate, Residues of differentials on curves. Annales scientifiques de l'É.N.S. 4e série, tome 1, no 1 (1968), S. 149–159. DJVU/PDF