Egységgyök

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában n-edik komplex egységgyökök azok a z komplex számok, melyekre igaz, hogy

ahol n = 1,2,3, ... egy pozitív egész szám.

Egy n-edik egységgyök primitív egységgyök, ha semmilyen k<n, k=1,2,...,n-1 pozitív egész szám esetén nem k-adik egységgyök.

Komplex egységgyökök[szerkesztés]

A komplex számok testében az n-edik egységgyökök pontosan az

alakú számok.

Legyen . Ekkor az n-edik egységgyökök alakja:

.

Ha nyilvánvaló, hogy hányadik egységgyökökről van szó, akkor sokszor elhagyják az alsó indexet.

n-edik primitív egységgyök, ha n-edik hatványa 1, de semmilyen kisebb kitevős hatványa nem az. Az egyik primitív egységgyök

.

A további primitív egységgyökök n-hez relatív prím kitevős hatványai.

Az n-edik egységgyökök száma n, a primitív n-edik egységgyököké .

A körosztási testek bővítései, amelyek tartalmazzák az egységgyököket: az n-edik körosztási test az n-edik egységgyököket.

Az egységgyökök összege[szerkesztés]

Ha -edik egységgyök, akkor:

Ez a mértani sorozatok összegzési képletéből következik.

Mértani helyük a komplex számsíkon[szerkesztés]

A komplex egységgyökök annak az egységkörbe írt szabályos n-szögnek a csúcsaiban vannak, amelynek egyik csúcsa az 1.

Így a egységgyök valós és képzetes része ezeknek a csúcsoknak a koordinátái, vagyis -re

   és   .

Példák[szerkesztés]

A második egységgyökök: 1 és -1.

A harmadik egységgyökök: ;

A negyedik egységgyökök alakja ismét egyszerűbb: : ,

Az ötödik egységgyökök[szerkesztés]

A egyenlőség alapján

ahol .

Ezt a negyedfokú egyenletet megoldva adódik. Mivel a szög az 1. negyedben fekszik, azért pozitív, és így . A valós rész ez alapján nyilvánvaló, a képzetes rész Pitagorasz-tétellel adódik.

Körosztási polinom[szerkesztés]

Az n-edik primitív egységgyökök az n-edik körosztási polinom gyökei. A körosztási polinom megkapható a következőképpen:

Gyűjtsük össze azokat az x^k-1 alakú polinomokat, ahol k<n osztója n-nek. Vegyük ezek g_n legkisebb közös többszörösét. Ekkor van egy f_n polinom, amit g_n-nel szorozva (x^n-1)-et kapunk. Ez az f_n polinom az n-edik körosztási polinom. Ezen az úton absztrakt testekhez, sőt gyűrűkhöz is definiálható körosztási polinom azokra az n-ekre, amelyek nem oszthatók a test (gyűrű) karakterisztikájával. Az absztrakt körosztási polinomok nem feltétlenül irreducibilisek, de a racionális számok teste fölöttiek igen.

Egységgyökök absztrakt értelmezése[szerkesztés]

Legyen egységelemes kommutatív gyűrű, és természetes szám. Egy egységgyök, ha eleget tesz a következő, egymással ekvivalens definíciónak:

  • ;
  • a polinom gyöke.

Az n-edik -beli egységgyökök részcsoportot alkotnak a gyűrű multiplikatív csoportjában.

Testekben[szerkesztés]

A testben az n-edik egységgyökök ciklikus részcsoportot alkotnak. Számuk mindig osztója n-nek. Ha egyenlő vele, akkor a test tartalmazza az n-edik egységgyököket. Ekkor a primitív egységgyökök egyike generálja az n-edik egységgyökök ciklikus részcsoportját. Az n-edik primitív egységgyökök a fenti előállítás szerinti körosztási polinom gyökei.

Források[szerkesztés]

  • Szele Tibor: Bevezetés az algebrába
  • Fried Ervin: Algebra I-II.