Riemann-féle zéta-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Riemann-féle zéta-függvény a számelmélet, ezen belül az analitikus számelmélet legfontosabb komplex változós függvénye. Különböző tulajdonságai szorosan összefüggenek a prímszámok eloszlásának kérdéseivel. A nemtriviális zérushelyeire vonatkozó Riemann-sejtés sokak szerint a matematika legfontosabb megoldatlan problémája.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Riemann-féle ζ(s) függvényt a


\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}

Dirichlet-sorral definiáljuk ott, ahol ez konvergens, azaz az 1-nél nagyobb valós résszel rendelkező komplex s értékekre. (Az analitikus számelméletben a komplex számokat hagyományosan s=σ+it alakban írják.)

ζ(s) analitikus folytatással az egész síkon meromorf függvénnyé terjeszthető ki, az alábbi módon:


\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s)
\!,

Aminek egyetlen elsőrendű pólusa 1-ben van, az s=-2, -4, … ( ahol a szinusz nulla, és a gamma-függvény véges értéket vesz fel) helyeken zérushelyei vannak, továbbá végtelen sok zérushelye van a 0\leq\sigma\leq1 sávban. Ez az úgynevezett kritikus sáv.

A függvény értékei egész helyeken[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A zéta-függvény értékeit pozitív, páros helyeken Euler határozta meg:


\zeta(2n) = (-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}

ahol B_n az n-edik Bernoulli-szám.

Speciálisan adódik a híres

\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}

formula, aminek meghatározása sokak hiábavaló próbalkozása után, először Eulernek sikerült (ez volt az úgynevezett bázeli probléma). Ismert továbbá, hogy \zeta(2n) \pi^{2n} racionális többszöröse.

A \zeta(3),\zeta(5),\zeta(7),\dots értékekről sokkal kevesebbet tudunk. Hosszú ideig az is ismeretlen volt, hogy \zeta(3) irracionális szám-e. Ezt végül 1977-ben Apéry bizonyította be. 2001-ben Keith Ball és Tanguy Rivoal igazolta, hogy a Q feletti, \zeta(3),\zeta(5),\dots által generált vektortér végtelendimenziós. 2002-ben Rivoal bebizonyította, hogy \zeta(5),\zeta(7),\dots,\zeta(21) valamelyike irracionális. Ezt V. Zudilin megjavította arra az eredményre, hogy \zeta(5),\zeta(7),\zeta(9),\zeta(11) valamelyike irracionális.

Euler heurisztikája[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A \zeta-függvény nempozitív egész helyein felvett értékei a következőképpen adhatók meg:

\zeta(0)=-\frac{1}{2} és \zeta(1-k)=-\frac{B_k}{k}\quad(k=2,3,\dots).

Érdekes módon az utóbbi értékeket Euler heurisztikus módon meghatározta. A \zeta(-1)-re vonatkozó okoskodása, azaz 1+2+3+\cdots=-\frac{1}{12} „igazolása” a következő volt:

Legyen x=1-1+1-1+1\cdots. Ezt egy taggal eltolva x=0+1-1+1-1+\cdots adódik. A két sort tagról tagra összeadva 2x=1-et kapunk, azaz x=\frac{1}{2}. Hasonlóan legyen y=1-2+3-4+\cdots. Ismét eltolva: y=0+1-2+3-4+\cdots. Megint tagonként összeadva a két sort, azt kapjuk, hogy 2y=1-1+1-1+\cdots=x=\frac{1}{2}, azaz y=\frac{1}{4}. Legyen végül z=1+2+3+\cdots. Ekkor z=y+4z, mivel az 1-2+3-4+\cdots sorból az 1+2+3+\cdots sort úgy kaphatjuk, hogy a páros sorszámú tagokhoz rendre hozzáadjuk a sor 4+8+12+\cdots=4(1+2+3+\cdots) tagjait. Innen z=-\frac{y}{3}=-\frac{1}{12} adódik.

Kapcsolat a prímszámok eloszlásával[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Már Euler felfedezte a


\begin{align}
\zeta(s)& = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}\\
& = \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{8^s} + \dots \right) \cdot \left (1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \frac{1}{27^s} + \dots \right ) \cdots
\end{align}

szorzatelőállítást, ami konvergens minden olyan s=σ+ti alakú komplex számra, ahol σ>1. Itt a p változó a prímszámokon fut végig. Valóban, ha a jobb oldali összegeket kiszorozzuk, akkor, a számelmélet alaptételének értelmében minden 1/n^s alakú tagot megkapunk, éspedig pontosan egyszer. Az átrendezés jogosságát az adja, hogy a feltétel miatt a szereplő sor abszolút konvergens.

A függvényegyenlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A függvényegyenlet összekapcsolja a függvény értékeit az s és az 1-s helyeken. Vezessük be a

\xi(s) = \pi^{-s/2}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)

függvényt. A \xi(s) függvény az egész komplex számsíkon analitikus és csak a kritikus sávban vannak zérushelyei (amelyek azonosak a zéta-függvény zérushelyeivel). Ekkor \xi(s) = \xi(1 - s) teljesül.

A függvényegyenlet aszimmetrikus formája:


\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s).

A \xi(s) függvény Weierstrass-féle szorzatelőállítása:

\xi(s)=\frac{1}{2}e^{(-\frac{\gamma}{2}-1+\frac{1}{2}\log 4\pi)s}\prod_{\rho}\left(1-\frac{s}{\rho}\right)e^{\frac{s}{\rho}}

ahol \rho végigfut \zeta(s) nemtriviális gyökein.

A gyökök kapcsolata a prímszámok eloszlásával[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A gyökök közvetlen kapcsolatba hozhatók a prímszámok eloszlásával a következő képlettel:

\psi(x)=x-\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}-\sum_{\rho}\frac{x^\rho}{\rho}-\frac{1}{2}\log(1-x^{-2})

ahol \rho a nemtriviális gyökökön fut végig és

\psi(x)=\sum_{n\leq x}\Lambda(n),

ahol \Lambda(n) a von Mangoldt-féle függvény, azaz \Lambda(n)=\log p, ha n=p^\alpha, egyébként 0. Mivel \psi(x) a prímhatvány helyeken ugrik, a fenti képlet ezekre a számokra csak azzal a korrekcióval igaz, hogy ilyen x esetén az utolsó tag \Lambda(x) helyett \Lambda(x)/2. Egyszerű okoskodással belátható, hogy \psi(x) minél közelebb van x-hez, annál közelebb van \pi(x) \text{Li}(x)-hez. Így például ψ(x)∼x ekvivalens π(x)∼Li(x)-szel, azaz a prímszámtétellel. A jobb oldalon szereplő x^\rho/\rho tagok \rho=\alpha+it esetén így alakíthatók: x^\alpha e^{it\log x}/\rho tehát abszolút értékük kb x^\alpha. Minél közelebb van a nemtriviális gyökök valós része ½-hez, annál közelebb van \psi(x) x-hez. Konkrétan ψ(x)∼x ekvivalens azzal, hogy nincs 1+it alakú gyök és ha 1/2\leq\alpha<1 olyan szám amire igaz, hogy minden gyök valós része legfeljebb \alpha, akkor \psi(x)=x+O(x^\alpha \log^2 x) és így \pi(x)=\text{Li}(x)+O(x^\alpha\log x).

A gyökök eloszlása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A ζ-függvénynek végtelen sok zérushelye van a kritikus sávban. Riemann sejtette, hogy a 0\leq\sigma\leq 1, 0\leq t\leq T téglalapban a zérushelyek száma

N(T)=\frac{T}{2\pi}\log\frac{T}{2\pi}-\frac{T}{2\pi}+O(\log T).

Ezt von Mangoldt 1895-ben gyengébb hibataggal, majd 1905-ben ezzel a hibataggal bizonyította.

1899-ben de la Vallée Poussin igazolta, hogy nincs zérushely a

\sigma>1-\frac{c}{\log t}

tartományban. Ezt Littlewood 1922-ben a

\sigma>1-\frac{c\log \log t}{\log t}

tartományra, majd 1958-ban Korobov és Vinogradov a

\sigma>1-\frac{c(\varepsilon)}{(\log t)^{2/3+\varepsilon}}

tartományra javította (\varepsilon>0, tetszőleges).