Riemann-féle zéta-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Riemann-féle zéta-függvény a számelmélet, ezen belül az analitikus számelmélet legfontosabb komplex változós függvénye. Különböző tulajdonságai szorosan összefüggenek a prímszámok eloszlásának kérdéseivel. A nemtriviális zérushelyeire vonatkozó Riemann-sejtés sokak szerint a matematika legfontosabb megoldatlan problémája.

Definíció[szerkesztés]

A Riemann-féle ζ(s) függvényt a

Dirichlet-sorral definiáljuk ott, ahol ez konvergens, azaz az 1-nél nagyobb valós résszel rendelkező komplex s értékekre. (Az analitikus számelméletben a komplex számokat hagyományosan s=σ+it alakban írják.)

ζ(s) analitikus folytatással az egész síkon meromorf függvénnyé terjeszthető ki, az alábbi módon:

Aminek egyetlen elsőrendű pólusa 1-ben van, az s=-2, -4, … ( ahol a szinusz nulla, és a gamma-függvény véges értéket vesz fel) helyeken zérushelyei vannak, továbbá végtelen sok zérushelye van a sávban. Ez az úgynevezett kritikus sáv.

A függvény értékei egész helyeken[szerkesztés]

A zéta-függvény értékeit pozitív, páros helyeken Euler határozta meg:

ahol az n-edik Bernoulli-szám.

Speciálisan adódik a híres

formula, aminek meghatározása sokak hiábavaló próbalkozása után, először Eulernek sikerült (ez volt az úgynevezett Basel-probléma). Ismert továbbá, hogy racionális többszöröse.

A értékekről sokkal kevesebbet tudunk. Hosszú ideig az is ismeretlen volt, hogy irracionális szám-e. Ezt végül 1977-ben Apéry bizonyította be. 2001-ben Keith Ball és Tanguy Rivoal igazolta, hogy a Q feletti, által generált vektortér végtelendimenziós. 2002-ben Rivoal bebizonyította, hogy valamelyike irracionális. Ezt V. Zudilin megjavította arra az eredményre, hogy valamelyike irracionális.

Euler heurisztikája[szerkesztés]

A -függvény nempozitív egész helyein felvett értékei a következőképpen adhatók meg:

és .

Érdekes módon az utóbbi értékeket Euler heurisztikus módon meghatározta. A -re vonatkozó okoskodása, azaz „igazolása” a következő volt:

Legyen . Ezt egy taggal eltolva adódik. A két sort tagról tagra összeadva -et kapunk, azaz . Hasonlóan legyen . Ismét eltolva: . Megint tagonként összeadva a két sort, azt kapjuk, hogy , azaz . Legyen végül . Ekkor , mivel az sorból az sort úgy kaphatjuk, hogy a páros sorszámú tagokhoz rendre hozzáadjuk a sor tagjait. Innen adódik.

Kapcsolat a prímszámok eloszlásával[szerkesztés]

Már Euler felfedezte a

szorzatelőállítást, ami konvergens minden olyan s=σ+ti alakú komplex számra, ahol σ>1. Itt a p változó a prímszámokon fut végig. Valóban, ha a jobb oldali összegeket kiszorozzuk, akkor, a számelmélet alaptételének értelmében minden alakú tagot megkapunk, éspedig pontosan egyszer. Az átrendezés jogosságát az adja, hogy a feltétel miatt a szereplő sor abszolút konvergens.

A függvényegyenlet[szerkesztés]

A függvényegyenlet összekapcsolja a függvény értékeit az s és az 1-s helyeken. Vezessük be a

függvényt. A függvény az egész komplex számsíkon analitikus és csak a kritikus sávban vannak zérushelyei (amelyek azonosak a zéta-függvény zérushelyeivel). Ekkor teljesül.

A függvényegyenlet aszimmetrikus formája:

A függvény Weierstrass-féle szorzatelőállítása:

ahol végigfut nemtriviális gyökein.

A gyökök kapcsolata a prímszámok eloszlásával[szerkesztés]

A gyökök közvetlen kapcsolatba hozhatók a prímszámok eloszlásával a következő képlettel:

ahol a nemtriviális gyökökön fut végig és

ahol a von Mangoldt-féle függvény, azaz , ha , egyébként 0. Mivel a prímhatvány helyeken ugrik, a fenti képlet ezekre a számokra csak azzal a korrekcióval igaz, hogy ilyen x esetén az utolsó tag helyett . Egyszerű okoskodással belátható, hogy minél közelebb van -hez, annál közelebb van -hez. Így például ψ(x)∼x ekvivalens π(x)∼Li(x)-szel, azaz a prímszámtétellel. A jobb oldalon szereplő tagok esetén így alakíthatók: tehát abszolút értékük kb . Minél közelebb van a nemtriviális gyökök valós része ½-hez, annál közelebb van -hez. Konkrétan ψ(x)∼x ekvivalens azzal, hogy nincs alakú gyök és ha olyan szám amire igaz, hogy minden gyök valós része legfeljebb , akkor és így .

A gyökök eloszlása[szerkesztés]

A ζ-függvénynek végtelen sok zérushelye van a kritikus sávban. Riemann sejtette, hogy a , téglalapban a zérushelyek száma

Ezt von Mangoldt 1895-ben gyengébb hibataggal, majd 1905-ben ezzel a hibataggal bizonyította.

1899-ben de la Vallée Poussin igazolta, hogy nincs zérushely a

tartományban. Ezt Littlewood 1922-ben a

tartományra, majd 1958-ban Korobov és Vinogradov a

tartományra javította (, tetszőleges).