Abel-csoport

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az Abel-csoport vagy kommutatív csoport az olyan csoportok neve a matematikában, amelyekben a csoportművelet kommutatív.

Az Abel-csoportokat Niels Henrik Abel norvég matematikusról nevezték el.

Az Abel-csoportok esetén általában az additív jelölésmódot alkalmazzuk, azaz a művelet jele szorzás helyett összeadás és az egységelem neve nullelem, jele: 0. Ismételt összeadás esetén a szokásos rövidítést alkalmazzuk: x+x+x=3x.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Minden ciklikus csoport kommutatív, mert bennük a csoportművelet visszavezethető az egész számok fölötti összeadásra: x+y = ma+na = (m + n)a = (n + m)a = na+ma = y+x (ez a multiplikatív jelöléssel így nézne ki: xy = aman = am + n = an + m = anam = yx).

További fontos példák Z, az egész számok additív csoportja, Q, a racionális számok additív csoportja, tehát az összadással, mint művelettel.

Adott p prímszámra a Z_{p^\infty} Prüfer-csoportot vagy kváziciklikus csoportot a következőképpen képezzük. Elemei azon komplex egységgyökök, amelyek rendje p valamelyik hatványa, a művelet a szorzás.

A valós és komplex számok az összeadásra nézve, és a nemnulla valós és komplex számok a szorzásra nézve kommutatív csoportot alkotnak.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy Abel-csoport minden részcsoportja egyben normálosztó is.

Kommutatív csoportok részcsoportjai, faktorcsoportjai és direkt összegei is kommutatívak. Ha G és H kommutatív csoport, akkor Hom(G, H), a G-ről H-ra való homomorfizmusok halmaza is kommutatív csoport.

Véges Abel-csoportok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A véges Abel-csoportok alaptétele szerint minden véges Abel-csoport egyértelműen felbontható prímhatványrendű ciklikus csoportok direkt szorzatára. A tétel általánosítható a végesen generált Abel-csoportokra.

Véges Abel-csoportokra vonatkozó tétel Hajós tétele: egy véges Abel-csoport \{1,x,\dots,x^n\} alakú részhalmazainak komplexusszorzata olyan, hogy a csoport minden eleme pontosan egyféleképpen áll elő szorzatként, akkor valamelyik tényező csoport.

Véges Abel-csoportok minden irreducibilis reprezentációja egydimenziós (azaz a reprezentáció és a karakter ugyanaz). A duális csoport elemei az x \mapsto gx alakú függvények lesznek, azaz a duális csoport izomorf az eredeti csoporttal.

Végtelen Abel-csoportok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Direkt szorzat, direkt összeg[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Osztható csoportok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy Abel-csoport osztható csoport, ha minden x elemre és minden n>1 természetes számra van olyan y elem, amire ny=x teljesül. Ilyen például a racionális számok Q csoportja.

Minden Abel-csoport osztható csoportba ágyazható. Minden osztható csoport előáll a racionális számok csoportja példányainak és kváziciklikus csoportok direkt szorzataként.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Pelikán József: Algebra