Minkowski–Hajós-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Ennek a sejtésnek számos egymással ekvivalens formája van:

1. Ha az n-dimenziós teret egységkockákkal rácsszerűen fedjük le, akkor van két kocka, amelyek egy teljes n-1-dimenziós lap mentén csatlakoznak. (Rácsszerű lefedés esetén a középpontok rácsot alkotnak, ahol rács n lineárisan független v_1,\dots,v_n vektor esetén az összes k_1v_1+\cdots +k_nv_n alakú összeg, ahol k1,…,kn egész számok.)

2. Ha A olyan n-szer n-es mátrix, aminek a determinánsa 1 és nincs csupa egészből álló oszlopa, akkor van olyan egészekből, de nem kizárólag nullákból álló x oszlopvektor, hogy az Ax oszlopvektor minden koordinátája 1-nél kisebb.

3. Ha a G véges Abel-csoport minden eleme pontosan egyszer szerepel az A_1\times\cdots \times A_s Descartes-szorzatban, ahol minden tényezők \{1,\dots,x^n\} alakú halmaz, akkor legalább az egyik tényező csoport.

Minkowski 1896-ban az 1. formát n≤3-ra igazolta, az általános esetet egy későbbi, valójában soha nem publikált cikkben ígérte. Így kapta az állítás a Minkowski-sejtés nevet. Ezt Jansen, Schmidt, Keller és Perron egészen az az n=9 esetig igazolta.

A problémát végül is Hajós György 1941-ben, harmadik formájában, csoportgyűrűket alkalmazó módszerekkel igazolta.