Normálosztó

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában egy G csoport N részcsoportjáról azt mondjuk, hogy normálosztója, vagy normális részcsoportja G-nek , ha lehet vele faktorizálni, azaz létezik a faktorcsoport, tehát létezik olyan homomorfizmus, melynek a magja N. Ha egy csoportnak ismerjük a normálosztóit, akkor izomorfia erejéig meg tudjuk határozni a vele homomorf csoportokat. Jelben:

.

Minden csoportnak normálosztója önmaga és az egységcsoport, ezek az illető csoport triviális normálosztói. Azokat a csoportokat, amiknek nincs normálosztója a triviálisokon kívül, egyszerű csoportoknak hívjuk.

A normálosztó a csoportelmélet egyik legalapvetőbb fogalma. Fontosságát Galois ismerte fel. Galois ahhoz, hogy megállapítsa, hogy egy egyenlet megoldható-e gyökjelekkel, az illető egyenlet Galois-csoportjának deriváltláncát vizsgálta, ami normálosztók leghosszabb olyan lánca, aminek a faktorai kommutatívak. Ugyanis a deriváltlánc következő elemét a kommutátor-részcsoportjával vett faktoraként kapjuk. Ha egy egyenlet Galois-csoportja egyszerű, akkor nem oldható meg gyökjelekkel. Így az általános ötödfokú egyenlet sem, aminek a Galois-csoportja az alternáló csoport.

Normálosztókkal és faktorcsoportokkal a csoportok szerkezete egyszerű csoportok felhasználásával elemezhető. A 20. század matematikájának egyik csúcsteljesítménye a véges egyszerű csoportok klasszifikációja.

Ekvivalens definíciók[szerkesztés]

Mellékosztályokkal[szerkesztés]

Tetszőleges G csoport N részcsoportja pontosan akkor normálosztója G-nek, ha ugyanazok a bal és jobb oldali mellékosztályai, azaz

ahol , és .

Ha létezik G-n értelmezett homomorfizmus, melynek a magja N, akkor tetszőleges a,a' csoportelemre igaz, hogy ha

, akkor , azaz , ahonnan , így .

Másfelől könnyen látható, hogy , amiért , következésképp

Ugyanakkor az is igaz, hogy , ahonnan hasonlóan adódik, hogy , ugyanígy triviálisan igaz, hogy , tehát .

Összefoglalva: tetszőleges elem ősképe egyszerre bal és jobb oldali mellékosztálya N-nek, tehát ha N normálosztó, akkor a bal-, és a jobb oldali mellékosztályai ugyanazok.

Ha N bal és jobb oldali mellékosztályai ugyanazok, akkor az a leképezés, ami csoportelemhez rendeli mellékosztályt, homomorfizmus, ugyanis szorzathoz mellékosztályt rendeli, ami és elemek képének a szorzata, tekintve hogy : .

Invariáns részcsoportként[szerkesztés]

N pontosan akkor normálosztója G-nek, ha bármely p csoportelemmel való konjugálásra invariáns, azaz

Ha N invariáns részcsoport, akkor a jobbról beszorozva a fenti azonosságot 'p'-vel kapjuk, hogy

,

tehát N normálosztó. Ha N normálosztó, igen hasonlóan láthatjuk be, hogy invariáns részcsoport.

Ez a felírás megmutatja, hogy a normálosztó teljes konjugáltosztályok uniója. Ez véges csoportok esetén erős eszközt ad keresésükre, mivel a normálosztók méretének osztania kell a G csoport elemszámát, más néven rendjét, hiszen részcsoportok (Lagrange tétele). Ezt az is segíti, hogy a konjugáltosztályok mérete is osztója a csoport rendjének, még akkor is, ha nem részcsoportok.

Tulajdonságai[szerkesztés]

Minden csoportnak vannak normálosztói. Az egész csoport és az egységelem által alkotott egyelemű csoport a csoport nem valódi normálosztói. Az egyszerű csoportok éppen azok, amiknek ez a két normálosztójuk van. Az egyelemű csoportot nem tekintik egyszerűnek; ez ahhoz hasonlít, hogy az 1 nem prímszám.

Ha egy csoport Abel, akkor minden részcsoportja normálosztó. A normálosztóról szóló kijelentések legtöbbje triviális Abel-csoportokra.

Az N normálosztója G-nek reláció nem tranzitív; ha és akkor általában nem következik, hogy . Nem szimmetrikus, hiszen minden csoportnak van egyelemű normálosztója, de az egyelemű csoportnak csak egy normálosztója van, önmaga. Nem is antiszimmetrikus, de reflexív, hiszen minden csoport normálosztója önmagának.

Egy részcsoport éppen akkor normálosztó, ha normalizátora az egész csoport.

Egy csoport karakterisztikus részcsoportjai normálosztók, mivel a konjugálás is automorfizmus, ezért karakterisztikus normálosztónak is szokás őket nevezni. Normálosztó karakterisztikus normálosztója a teljes csoportnak normálosztója. A centrum például karakterisztikus normálosztó.

A 2 indexű részcsoportok normálosztók. Ha , H indexe G-ben p, és p a legkisebb G rendjét osztó prímszám, akkor H normálosztó.

A normálosztó generálható, vagyis mindig létezik a legkisebb, a csoport egy részhalmazát tartalmazó normálosztó. Van olyan normálosztó, ami tartalmazza, és az összes metszete, ami tartalmazza, újra normálosztó lesz, és szintén tartalmazza a halmazt.

Nevezetes normálosztók[szerkesztés]

Centrum[szerkesztés]

Egy csoport centrumán azon elemeinek összességét értjük, amelyek felcserélhetőek a csoport minden elemével.

.

Kommutátor-részcsoport[szerkesztés]

Egy csoport kommutátor-részcsoportján, vagy egyszerűen csak kommutátorán az alakú elemek által feszített részcsoportot értjük.

kommutatív, valamint G kommutátorát minden olyan normálosztója tartalmazza G-nek, amivel vett faktorcsoportja kommutatív.

Faktorcsoportok és homomorfizmusok[szerkesztés]

Faktorcsoportok[szerkesztés]

Legyen G tetszőleges csoport, és . Ekkor minden olyan homomorfizmus képe, melynek a magja N, izomorf egyetlen csoporttal, amit G N-nel vett faktorcsoportjának nevezünk, és így jelölünk .

A faktorcsoport elemei a mellékosztályok. A szorzás, invertálás reprezentánsokkal végezhető, vagyis ha és , akkor . Ez a szorzás felfogható komplexusszorzásnak is, azaz , ami éppen akkor eredményez egy újabb mellékosztályt, ha N normálosztó.

Homomorfizmusok[szerkesztés]

Legyen tetszőleges G-n értelmezett homomorfizmus, aminek a képe H és a magja N, és az a homomorfizmus, ami a csoportelemhez aN mellékosztályt rendeli. Ekkor, mint feljebb láttuk, minden a csoportelemre teljesül, hogy:

.

Azaz ráképzi képét képére. Mivel homomorfizmus, is az. Tekintve hogy inverzfüggvény, injektív, így izomorfizmus N mellékosztályai és képe, H között.

Izomorfizmustételek[szerkesztés]

A tetszőleges homomorfizmus magja is normálosztója annak a csoportnak, amin értelmezve van.

Első izomorfizmustétel: Ha csoporthomomorfizmus, akkor indukálja a izomorfizmust. Ahol ha a homomorfizmus szürjektív, akkor a mag szerinti faktorcsoport izomorf lesz a képpel.

Második izomorfizmustétel: Ha H és N részcsoportok a G csoportban, és N normálosztó G-ben, akkor

.

Normálosztóháló[szerkesztés]

Egy csoport normálosztói hálót alkotnak, amiben a rendezés a tartalmazás, a metszet a halmazelméleti metszet, és az egyesítés az unió által generált normálosztó. A normálosztóháló részhálója a részcsoporthálónak, továbbá mindig moduláris, vagyis:

minden -re.

Komplementerek és belső direkt szorzat[szerkesztés]

A normálosztóhálóban nem mindig találhatók komplementerek. De ha egy normálosztónak van egy komplementere, akkor teljesül, hogy és . Tehát a két normálosztó halmazelméleti metszete az egységelem, és halmazelméleti uniójuk a teljes csoportot generálja. Így a csoport előáll és direkt szorzataként, , ami azt jelenti, hogy a csoport minden eleme előáll alakban, ahol és .

Külső szemlélettel, ha , akkor minden izomorf a csoport egy normálosztójával, aminek normálosztóhálójában komplementere is van, a többi tényező szorzataként előálló csoporttal izomorf normálosztó. Általánosítva, hogyha , akkor az -beli és az -beli elemek felcserélhetők, anélkül, hogy az egyik vagy másik normálosztó elemei egymás között felcserélhetők lennének:

.

Továbbá legkisebb felső korlátjuk a hálóban éppen a komplexusszorzatuk, ami izomorf a direkt szorzatukkal:

Ezek az állítások nem általánosíthatók olyan részcsoportokra, amik nem normálosztók. Például az által generált szabad csoportban az és a csoportok az egyelemű csoportban metszik egymást. -nek azonban nincs az csoporttal izomorf részcsoportja. Az komplexusszorzat nem részcsoport, mivel , de .

Belső szemidrekt szorzat[szerkesztés]

Ha az N és a H részcsoportok közül N normálosztó, és , akkor:

  • az komplexusszorzat részcsoport G-ben
  • minden elem egyértelműen felírható alakban, ahol és
  • N normálosztó U-ban, és H akkor és csak akkor normálosztó U-ban, ha N és H elemei felcserélhetők.

A fent leírt esetben () az csoport az N és a H részcsoportok szemidirekt szorzata. Két csoport, N és H szemidirekt szorzata a külső szemlélet szerint az párokból áll, és a szorzatcsoport számolási szabályát a homomorfizmus írja le. Ez a homomorfizmus H-t az N automorfizmuscsoportjába képezi le. A külső szemidirekt szorzatot jelöli.

Az U szemidirekt szorzatban így számolunk:

ahol azt jelenti, hogy alkalmazzuk a homomorfizmust n-re. Ezzel a szabállyal minden szorzat az alakra hozható.

Belső szemlélettel ez a szabály

ami szerint H konjugálással hat N-en, és automorfizmusa az N normálosztónak. Ebben az értelemben U a két csoport belső szemidirekt szorzata izomorf a külső szemidirekt szorzattal.

Speciálisan, a direkt szorzat is szemidirekt szorzat. Ez akkor, és csak akkor teljesül, ha:

  • , H normálosztó U-ban
  • , a két faktorcsoport elemei felcserélhetők
  • , a H elemeivel való konjugálás N minden elemét fixen hagyja

Források[szerkesztés]